M18 S1 Funcion logaritmica G19 PDF

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Módulo 18 Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Funciones logarítmicas

Funciones

logarítmicas La función logarítmica se utiliza en la vida cotidiana, de manera frecuente, mediante cálculos, matemáticas, ciencias sociales y ciencias naturales, por ejemplo, para medir la intensidad de los terremotos. Por esta razón, se debe tener en cuenta que la función logarítmica tiene gran cantidad de propiedades explicativas. Definición y fórmula La función logarítmica de base b es la inversa de la función exponencial de la base b. Se usará la notación f(x) = logb(x), la cual se lee como logaritmo (log) base b de x. Por consiguiente: y = logbx si y sólo si x = b y

A continuación, te presentamos algunos ejemplos de logaritmos:

logaritmo 32 = 9  log39 = 2

Número de logaritmo

3

2 =8

log28 = 3

1

1 1 1 1 2 = (  log 1 ) = 2 4 4 16 16

Base de logaritmo

En los siguientes ejemplos se explica el método para obtener los valores de los logaritmos: Ejemplo 1

Ejemplo 2

Sea log7 49 = y Esta ecuación es equivalente a 7y = 49, ya que: 49 = 72, se tiene: 7y = 72, por consiguiente: y = 2; esto es: 49 =72

Se toma: log5√5 = y, por esta razón: 5 y = √5, o bien equivalentemente: 5 y = 5 entonces: y =

1 ; 2

es decir: log5√5 =

1 2

1 2

1

Módulo 18

Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Funciones logarítmicas Al recordar los ejemplos anteriores, el log puede tener distintas bases. Las bases más usadas son la decimal y la exponencial. Incluso, es tan usada la base decimal que es común no indicarla, esto es: f (x) = log10x = log x En tanto que el logaritmo con base e se denota comúnmente con f (x) = ln x A manera de ejemplo, se muestra la gráfica de una función logarítmica de base 10.

y

−100

−50

x

De lo anterior, se puede hacer el siguiente resumen: las funciones exponencial y logarítmica se usan de manera frecuente en los cálculos de fenómenos naturales y sociales y en las matemáticas en general, muestra de ello es la forma en que se mide la intensidad y magnitud de los terremotos, así como los modelos de crecimiento de poblaciones, entre otras aplicaciones.

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Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Funciones logarítmicas Ahora, veamos las escalas logarítmicas representadas en un fenómeno natural: Cuando un terremoto, seísmo, sismo, o temblor de tierra sucede, es posible medir su magnitud y su intensidad. Para ello, se utilizan las escalas logarítmicas de Richter y Mercalli.

Se dice que una función es logarítmica cuando presenta la forma:

y = loga x donde la base a es un número real y positivo distinto de 1

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Módulo 18

Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Funciones logarítmicas

Escala de Richter La escala Richter es una escala logarítmica que mide las ondas tipo P y S tomadas a 100 kilómetros del epicentro. La fórmula para calcular la escala de Richter utiliza un logaritmo decimal:

A representa la amplitud máxima revelada por el sismógrafo.

A0 representa una amplitud de referencia: las ondas sísmicas de magnitud 6, tienen una amplitud diez veces más grande que aquellas de magnitud 5.

Richter se inspiró en la escala de magnitud estelar. Una técnica astronómica para describir el brillo de las estrellas y de otros objetos celestiales. En la escala de Richter se establecen las siguientes categorías de un sismo: Menos de 3.5: generalmente no se siente, pero es registrado. 3.5 - 5.4: a menudo se siente, pero sólo causa daños menores. 5.5 - 6.0: ocasiona daños ligeros a edificios. 6.1 - 6.9: puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas. 7.0 - 7.9: terremoto mayor. Causa graves daños. 8 o mayor: gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas. Para medir la magnitud local de un sismo se realizan lecturas en un sismógrafo, representadas en una escala. En 1935, Charles Richter definió la magnitud de un terremoto como:

ML = logA − logA0

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Módulo 18

Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Funciones logarítmicas

Callejón de Huaylas, Perú El 31 de mayo de 1970 un terremoto asoló el Callejón de Huaylas, Perú, durante 45 segundos, causando la destrucción de las principales ciudades y la muerte de 67,000 personas. Si a 100 km del epicentro hubiera habido un sismógrafo, éste habría registrado una lectura de 31,622.77 mm de la magnitud del sismo. Todos los sismos se comparan con uno de nivel cero, cuya lectura sismográfica mide un milésimo de milímetro a una distancia de 100 km del epicentro. A = 31,622.77 ML = log (31,622.77/0.001) ML = log 31,622,770 ML = 7.5 La magnitud de este terremoto fue de 7.5 en la escala de Richter.

Logaritmo

f(x) = log10x = logx En la gráfica se puede apreciar la función logarítmica respecto a la recta .

la cual es el reflejo de la gráfica de la función

y 7

6

5

4

y=x

3

2

y = logbx

1

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

5...