Matematica Basica - EJERCICIOS RESUELTOS DE RECTA, SISTEMA DE ECUACIONES Y MATRICES PDF

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EJERCICIOS RESUELTOS DE RECTA, SISTEMA DE ECUACIONES Y MATRICES...

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PRACTICA CALIFICADA N° 1 Representemediantelaecuaciondeformageneralygrafiquelasrectasdelossiquientes: a) (1,2) (3,9) =

 −   − 

=

9−2 3−1

 = 3.5

( −  ) = ( −  ) ( − 2) = ( − 1)  − 2 = 3.5( − 1)  = 3.5 − 1.5

Gráfica:

b) (2,8) (5,4).

= =

  −   − 

4−8 5−2

 = −1.33

( −  ) = ( −  ) ( − 2) = ( − 1)  − 2 = 3.5( − 8)

 = −1.33 − 10.67 Gráfica:

c) (-2,5) (7,6)

=

=

 −   − 

6−5 7 − (−2)

 = 0.11 ( −  ) = ( −   ) ( − (−2)) = ( − 5)  + 2 = 0.11( − 5)

 = 0.11 − 5.22

Gráfica:

d) (2,2) (3,3)

=

 −   − 

=

3−2 3−2

=1

( −  ) = ( −  ) ( − 2) = ( − 2)  − 2 = ( − 2) =

e) (3,2) (9,2)

=

 −   − 

=

2−2 9−3

=0

( −  ) = ( −  ) ( − 2) = ( − 3) =2

f)

(1,2) (1,7)

=1

g) (4,2) (3,6)

=

 −   − 

=

6−2 3−4

 = −4

( −  ) = ( −  ) ( − 2) = −4( − 4)  − 2 = −4( − 2)  = −4 + 18

h) (5,9) (0,0)

=

 −   − 

=

0−9 0−5

 = 1.8

( −  ) = ( −  ) ( − 9) = 1.8( − 5)  − 9 = 1.8( − 5)  = 1.8

Determinar la pendiente, intersección con los ejes cartesianos y el grafico para las siguientes: + + , + - = 0 + =− , + + , + - = 0./0/1234054661ó2, ℎ/640 = 0,  = 0

a)

5x + 3y = 0 5  = −3  = −1.67 5 + 3 = 0;  = 0 5(0) + 3 = 0 =0 5 + 3 = 0;  = 0 5 + 3(0) = 0 =0

b)

X – 8y = 0

1 −8  = 0.13  − 8 = 0;  = 0 (0) − 8 = 0 =0  − 8 = 0;  = 0  − 8(0) = 0 =0 =−

c)

4x + 5y + 6 = 0

4 5  = −0.8 4 + 5 + 6 = 0;  = 0 4(0) + 5 = −6  = −1.2 4 + 5 + 6 = 0;  = 0 4 + 5(0) = −6  =-1.5 =−

d)

-x +2x – 10 = 0 (−1) 2  = 0.5 − + 2 − 10 = 0;  = 0 −(0) + 2 = 10 =5 − + 2 − 10 = 0;  = 0 − + 2(0) = 10  = −10 =−

e)

-6x + 7y = 0

(−6) 7  = 0.86 −6 + 7 = 0;  = 0 −6(0) + 7 = 0 =0 −6 + 7 − 10 = 0;  = 0 −6 + 7(0) = =0 =−

f)

X + y – 9 =0 1 1  = −1  +  − 9 = 0;  = 0 (0) +  = 9 =9  +  − 9 = 0;  = 0  + (0) = 9 =9 =−

g)

7y – 2y + 7 = 0

0 7 =0 7 − 2 + 7 = 0;  = 0 =−

5 = −7  = −1.4

h)

5x – 3y + 9 = 0 5 (−3)  = 1.67 5 − 3 + 9 = 0;  = 0 5(0) − 3 = −9 =3 5 − 3 + 9 = 0;  = 0 5 − 3(0) = −9  = −1.8 =−

Determinar que rectas (de las anteriores): a) Pasan por el origen: a, b, c, f. b) Son paralelas al eje X: g. c) Son paralelas al eje Y: ninguna. Determinar que rectas (DE LAS ANTERIORES) nunca tocan el: a) Cuadrante I: a, c, f, g. b) Cuadrante II: b, e, g. c) Cuadrante III: f, c. d) Cuadrante IV: a, b, d, e, h.

Determine la solución de cada uno de los siguientes sistemas de ecuación (para efectos de comprobación) dos de los métodos desarrollados, si los tuviera; en caso contrario, explique:

2x + 3y = 12 4x + 5y = 7 Método 1 (-2) 2x + 3y = 12 ==> 2x+3y=12 (1) 4x + 5y = 7 2x+3(17)=12 ---------------------x=19.5 -4x-6y=-24 4x+5y=7 ------------y=17 Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones 12  3 = 2 7  9  4

⇒ 4 * 5  7 4  7  5#17$   19.5

7  5 12  3  4 2 3.5  2.5  12  3   17

X + 5y = 6 X + 2y = 9 Método 1

#1$ * 5  6 #1$ * 2  9 _________________  * 5  6#*$   2  9 ______________________ 3  3   1  * 2  9  * 2#1$  9   11

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones:  = 6  5   9  2 Igualamos ambas:

⇒   6  5   6  5#1$   11

6  5  9  2 3  3   1

5x + 3y = 45 3x + 5y = 45

Método 1

#3$5 * 3  45 #5$3 * 5  45 _________________ 15 * 9  135#*$ 15  25  225 ______________________ 16  90   5.625

5 * 3  45 5 * 3#5.625$  45   5.625 Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 45  3 5 45  5  3 

Igualamos ambas:

⇒

45  3 5 45  3#5.625$  5   5.625

45  3

45  3 5 135 59 225  25   5.625



10x + 8y = 2 5x + 4y = 5 Método 1

#1$10 * 8  2 #2$5 * 4  5 _________________ 10 * 8  2#*$ 10  8  10 =>?@A=AB>CD-@Ó=

2x + 3y = 29 4x + 5y = 17

Método 1

#2$2 * 3  29 #1$4 * 5  17 _________________ 4  6  58#*$ 4  5  17 ______________________   41   41

2 * 3  29 2 * 3#41$  29   47 Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 29  3 2 17  5  4 

Igualamos ambas:

⇒

29  3 2 29  3#41$  2   47

29  3

17  4 5  2 6  17  5 58    41



X – 3y = 11 4x + 5y = 94 Método 1

#4$  3  11 #1$  4 * 5  94 _________________ 4  12  44#*$ 4 * 5  94 ______________________ 7  138   19.71   3  11   3#19.71$  11   48.14

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones:   11 * 3 94  5  4 Igualamos ambas:

94  5 4 44  12  94  5   19.71 11 * 3 

⇒   11 * 3   11 * 3#19.71$   48.14

2x – 3y = 120 4x – 5x = 100 Método 1 

2  3  120 4  5  100 4  5  100   100   100

2  3  120 2#100$  3  120   106.67

20x – 30y - = 1200 0.4x + 0.7y = -41 Método 1

#1$20  30  1200 #50$  0.4 * 0.7  41 _________________ 20  30  1200#*$ 20 * 35  2050 ______________________ 5  850   170 20  30  1200 20  30#170$  1200   195

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 1200 * 30 20 41  0.7  0.4



Igualamos ambas:

1200 * 30 41  0.7  0.4 20   170

⇒

1200 * 30 20 1200 * 30#170$  20   195

=

2x + 3y = 12 4x – 5y = 0 Método 1

#2$2 * 30  12 #1$4  5  0 _________________ 4  6  24#*$ 4  5  0 ______________________ 11  24   2.18 2 * 30  12 2 * 30#2.18$  12   2.72

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 12  3 2 5  4 

Igualamos ambas:

⇒

5 4 5#2.18$  4  2.72 

12  3 5  4 2 24  6  5   2.18

2x = 3y 4x – 9y = -7 Método 1

(−2$2  3  0 #1$4  9  7 _________________ 4 * 6  0#*$ 4  9  7 ______________________ 3  7   2.33 2  3  0 2  3#2.33$  0   3.5

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 3 2 7 * 9  4 

Igualamos ambas:

⇒

3 2 3#2.33$  2  3.5 

3 7 * 9  4 2 6  7 * 9   7/3   2.33

x + 30 = 11y – 5y = 7x Método 1

(7$2  11  30 #2$  7  5  4 _________________ 14  77  210#*$ 14  10  8 ______________________ 87  218   2.51 2  11  30 2  11#2.51$  30   1.22

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 30 * 11 2 4 * 5  7



Igualamos ambas:

⇒

30 * 11 2 30 * 11#2.51$  2  -1.22



30 * 11 4 * 5  2 7 210  77  81 * 10 218  87   2.51

5

3 1 12  *    4x 2 – 5y4= 7 Método 1

5 3 1 #1.6$  *   12 2 4 #1$4  5  7 _________________ 4  1.2  0.133#*$ 4  5  7 ______________________ 6.2  6.867   1.107 4  5  7 4  5#1.107$  7   0.365

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 1 12  3/4  5/2 7 * 5  4 Igualamos ambas:

1 12  3/4  7 * 5 4 5/2

1  3  35/2 * 25/2 3   1.107 ⇒

7 * 5 4 7 * 5#1.107$  4  0.365 



2 * 3   G 4 5   7   2 2 Método 1

#1$2 * 3 

12 5

5 4 #1$  *   7 2 2 _________________ 2 * 3 

 #*$ G

2  2.5  7 ______________________ 23 0.5  5   9.2 2 * 3 

12 5

2 * 3#9.2$    15

12 5

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 12  3  5 2 7  5/2  4/2 Igualamos ambas:

⇒

12  3  5 2 12  3#.92$  5 2  15

12 5  3  7  5/2 2 4/2 12  3  7  2.5 5   9.2

H

I

2       

18 4  3   2 ES LA MISMA ECUACIÓN DIVIDIDA POR 2 21x + 13y = 12 24x – 15y = 7 Método 1

#15$  21 * 13  12 #13$  24  15  7 _________________ -315 * 195  180#*$ 312  195  91 ______________________ 627  271   0.43 24  15  7 24#0.43$  15  7   0.22

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones: 12  13 21 7 * 15  24 

Igualamos ambas:

12  13 7 * 15  24 21

24#12$  #24$13  21#7$ * 15#21$   0.22

⇒

7 * 15 24 7 * 15#0.22$  24  -0.43 

X+y=1 4   5.1  7 5 Método 1

#0.8$ *   1 4    5.1  7 5 _________________ -0.8  0.8  0.8#*$ 0.8  5.1  7 ______________________ 5.9  6.2   1.05 *  1  * #1.05$  1   2.05

Método 2 Despejando x en ambas ecuaciones:   1 7  5.1  4/5 Igualamos ambas: 1 

7  5.1 4/5

4 4    7  5.1 5 5   1.05

⇒   1   1  #1.05$  2.05

Considere las siguientes matrices y desarrolle lo solicitado:

1

3

2

7

1 2 K Transpuesta: J 3 7 Determinante: 1 Inversa: J

15 -31 20

11

Transpuesta: J 15 20K −31 11 Determinante: 785 Inversa: J

1

0

0

-11

9

-1

6

0.01 0.04 K −0.03 0.02

1 0 K Transpuesta: J 0 −11 Determinante: -11 Inversa: J

5

7 −3 K −2 1

1 0 K 0 −0.09

Transpuesta: J5 −1K 9 6 Determinante: 39 Inversa: J0.15 −0.23 K 0.03 0.13

15

Transpuesta: J15 −14K 53 −27

53

-14 -27

Determinante: 337 Inversa: J

6

6 4 K Transpuesta: J 3 6

3

4

−0.08 −0.16 K 0.04 0.04

6

Determinante: 24 Inversa: J 0.25 −0.13 K −0.17 0.25

3

2

1

1

-1

-2

-3

2

2

3 1 −3 Transpuesta: L 2 −1 2 M 1 −2 2 Determinante: 13 0.15 −0.15 −0.23 Inversa: L 0.31 0.69 0.54 M −0.08 −0.92 −0.38

8 1 4

9 1 9

-5

2

-7

3

2

-11

6 5 4

6 6 0

8 1 4 2 M Transpuesta: L −5 −7 2 3 −11 Determinante: 513 0.14 −0.10 0 Inversa: L0.04 −0.19 −0.04M 0.06 −0.07 −0.10 9 1 9 Transpuesta: L 6 5 4M 6 6 0 Determinante: -138 0.17 −0.17 −0.04 Inversa: L−0.39 0.39 0.35 M 0.30 −0.30 −0.28

1 1

2 5

1 0

3

7

9

4

6

-8

1 -1

1

1

3

0

12 15 37 M 1 0 9 Determinante: 19

Transpuesta: L

2.37 −0.58 −0.26 Inversa: L−0.47 0.32 0.05 M −0.42 −0.05 0.16

4 1 1 Transpuesta: L 6 −1 0 M −8 1 3 Determinante: -32 0.09 0.56 0.06 Inversa: L 0.06 −0.63 0.38M −0.03 −0.19 0.31

3

2

1

-6

4

2

7

9

-8

15

-2

3 −6 Transpuesta: L 2 4 1 2

7 9M −8

Determinante: -300

0

-1

12

0

3

21

0

0.17 −0.08 0 Inversa: L0.11 0.10 0.04 M 0.27 0.04 −0.08

15 −1 Transpuesta: L −2 12 0 0 Determinante: 0 Inversa: 2N31424

3 21M 0

33

-12

18

7

9

-11

4

-9

0

1

9

1

0

8

33 18 −12 7 −11 4 M Transpuesta: L 18 9 −9 Determinante: --1341

18

0.07 0.03 0.17 Inversa: L−0.05 0.07 −0.02M −0.11 0 −0.33 0 1 8 Transpuesta: L 1 0 1M 9 1 0

1

1

Determinante: 17

0

−0.06 0.53 0.06 Inversa: L 0.47 −4.24 0.53 M 0.06 0.47 −0.06 a) b)

1

Determine la transpuesta, determine e inversa. Tomándolas dos a dos, súmelas y multiplíquelas 15 -31

3 +

20

11

5

9

2

7

1

0

0

-11

-1

6

15

53

6

3

4

6

+

+

-14 -27

3 1 -3

2 -1

1 -2

2

2

+

16 −28 K = J 22 18 6 9 K = J −1 −5

56 =J 21 K −10 −21

8

-5

2

1

-7

3

2

-11

4

11 −3 3 =L 2 −8 1 M 1 4 −9

9

6

1

5

6

1

6

1

+

2

1

5

0

=L

9

4

0

3

7

9

4

6

-8

3

2

1

-6

4

2

7

9

-8

33

-12

1 -1

1

1

0

3

15

-2

+

0

-1

12

0

3

21

0

3

2

7

x

1

0

x

0

15

15 -31 20

11

5

9

-11

-1

6

53

6

3

4

6

x

-14 -27

1 -3

2 -1

1 -2

2

2

7

-11

1

3

18

+

x

18 9

4

-9

10 8 6 7 2 10

M 12 11 9

7 8 −7 =L−5 3 3 M 8 9 −5

48 −14 18 =L 17 19 9M −8 25 −9

2 = J 75 K 170 15 9 = J5 K 11 −66

363 = J 302 K −192 −204

8

-5

2

1

-7

3

2

-11

4

30 −27 1 =L −1 −2 21 M −14 5 −22

9

6

1

6

5

1

6

1

2

1

5

33 69 90 55 63 24 M =L 13 38 9

0

x 9

4

0

3

7

9

4

6

-8

3

2

1

-6

4

2

7

9

-8

33

-12

1 -1

1

1

0

3

15

-2

x

0

-1

12

0

3

21

0

c)

2

7

1

0

0

-11

-3

7

-11

9

4

15 -31

3

1

18

-9

459 −194 252 =L183 96 90 M 477 111 243

Tomándolas tres a tres, súmelas y multiplíquelas

1

3

18

x

−80 −40 80 =L 16 7 −9 M 24 29 −23

+

+

2 -1

11

5

9

-1

6

1 -2

2

20

2

+

+

+

1

0

0

-11

6

3

4

6

8

-5

2

1

-7

3

2

-11

4

17 −28 K = J 22 7 = J12 12K 3 1

+

9

6

6

1

5

6

9

4

0

20 3 9 =L 3 −3 7 M 10 8 −9

1

2

1

1

5

1

0

3

7

15

-2

+

9

0

-1

12

0

3

21

0

+

1

2 5

0

3

7

33

-12

18 -11

1

7 4

+

9

18 9 -9

+

3

2

1

-6

4

2

7

9

-8

0

1

9

1

0

1

8

1

0

5 6 3 =L−4 14 2 M 13 5 10

48 −13 27 =L18 19 10M 0 26 −9

Multiplíquela cada una por 4, 8, 2/9, √8

d) 1

3

2

7

=J

4 12 2.83 8.49 0.22 0.67 8 24 K K ,J K ,J K ,J 5.66 19.80 0.44 1.56 16 56 8 28

=J

42.43 −87.68 3.33 −6.89 60 −124 K , 120 −248 K K ,J K ,J J 80 44 56.57 31.11 4.44 2.44 160 88

=J

2.83 0 K ,J0.22 0 4 0 K , 8 K ,J J 0 −44 0 −88 0 0 −2.44

=J

1.11 2 20 36 K , 40 72 K ,J J K ,J 14.14 25.46K −1 6 −8 48 −0.22 1.33 −2.83 16.97

15 -31 20

11

1

0

0

-11

5

9

-1

6

15

53

-14 -27

0 K −31.11

42.43 149.91 3.33 11.78 120 424 212 = J 60 K K ,J K ,J K ,J −39.6 −76.37 −3.11 −6 −112 −216 −56 −108

6

3

4

6

3 1