Mathe für Informationsmanager PDF

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Zusammenfassung für Mathe IM...

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Mathe-Informationsmanagement Negation: Aussage wird negiert und ihr Wahrheitswert umdreht. Aus A wird ¬A und aus ¬A wird A.

Quantoren: Existenzquantor ꓱ x: „es existiert ein x“ , „mindestens ein x erfüllt“ , „für ein/manche/einige x gilt:“ Allquantor ꓱ x: „für alle x gilt“ , „jedes x erfüllt“ Konjunktion „ʌ“: nur wahr, wenn A und B wahr sein Disjunktion „v“: nur wahr, wenn A oder B wahr sind bzw. wenn A und B wahr Implikation „⇒“: aus A folgt B. A ist hinreichend zu B. Immer wahr außer wenn A wahr und B falsch. Die Aussage (A⇒B) ist äquivalent zu (¬A v B) Äquivalenz „⇔“: A und B sind äquivalent (gleich). Nur wahr, wenn A und B äquivalent. A ist notwendig und hinreichend für B, gleichzeitig ist B notwendig und hinreichend für A. Definition einer Menge: Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte werden Elemente der Menge genannt. Obermenge, Teilmenge: x ϵ M : x ist ein Element von M x ∉ M : x ist kein Element von M Ø : die leere Menge A ⊆ B (A ist Teilmenge von B) : ⇔ x ϵ A ⇒ x ϵ B (wenn jedes Element von A auch in B liegt)  B wird somit als Obermenge von A bezeichnet, hier gilt: B ⊇ A⇔ A ⊆ B Weiterhin kann A als echte Teilmenge von B beschrieben werden. Das bedeutet, das A in B liegt, aber nicht genau das gleiche wie B ist (A ⊆ B ʌ A ≠ B).  A ⊂ B und B ⊃ A ⊆ = Teilmenge ⊇ = Obermenge ⊂ = echte Teilmenge ⊃ = echte Obermenge Kardinalität (Mächtigkeit): Mit |A| bezeichnet man die Kardinalität der Menge, d.h. die Anzahl ihrer Elemente Potenzmenge: Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A: P(A)={X | X⊆A}:  Die Potenzmenge von A ist die Menge aller X für die gilt: X ist Teilmenge von A. Dazu gehört auch die leere Menge und die Menge A selbst. Bsp.: A={a,b}  P(A)={{},{a},{b},{a,b}} Kardinalität der Potenzmenge: Die Kardinalität der Potenzmenge berechnet sich folgendermaßen: |P(A)|= 2|A| Hierbei ist |P(A)| die Kardinalität der Potenzmenge von A und |A| die Kardinalität der Menge A Bsp.: A={a,b}  |A| = 2  |P(A)|= 2

|A|

= 2² = 4

Durschnitt: A ∩ B:= ( x: x ϵ A ʌ x ϵ B ):  Der Durschnitt der Mengen von A und B. Die Menge X in der sowohl A als auch B drin ist Vereinigung: A ∪ B:= ( x: x ϵ A v x ϵ B ):  Die Vereinigung der Mengen A und B ist die Menge die zu A, B oder zu beiden gehört. Differenz: A \ B:= ( x: x ϵ A ʌ x ∉ B ):  Die Differenz aus A und B ist die Menge, welche zu A gehört aber nicht zu B. Der Durschnitt ist somit auch von A ausgeschlossen. Rechenregeln: Kommutativgesetz: A ∪ B = B ∪ A bzw. A ∩ B = B ∩ A Assoziativgesetz: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) bzw. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Distributivgesetz: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) bzw. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Regeln von de Morgan: Mengenalgebra: Aussagenalgebra:

Kartesisches Produkt (ähnlich wie das Kreuzprodukt): L = A X B:= { (a,b): a ϵ A ʌ b ϵ B }  A Kreuz B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit der ersten Komponente a aus der Menge A und der zweiten Komponente b aus der Menge B. Wichtig: Beim Aufschreiben der Tupel immer die Reihenfolge beachten! Bsp.: A = {1,2,3} ; B= {3,4} L = A x B = { (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,3) , (3,4)} Supremum/Maximum: Das Maximum einer Menge ist der größte Wert, welcher noch innerhalb der Menge liegt. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke, welche die Menge annehmen kann. Bsp.1: M= [0,1[  hier haben wir kein Maximum, da das Intervall nach oben offen ist. Das Supremum ist jedoch hierbei eins. Man schreibt 1 = sup M Bsp.2: M= [0,1]  da das Intervall nicht offen ist, können wir hier von einem Maximum sprechen. Man schreibt 1 = max M Infinum/Minimum: Das Minumum einer Menge ist der kleinste Wert, welcher noch innerhalb der Menge liegt. Das Infinum ist die kleinste untere Schranke, welche die Menge annehmen kann. Bsp.1: M= ]0,1]  hier haben wir kein Maximum, da das Intervall nach unten offen ist. Das Infinum ist jedoch hierbei 0. Man schreibt 0 = inf M Bsp.2: M= [0,1]  da das Intervall nicht offen ist, können wir hier von einem Maximum sprechen. Man schreibt 0 = max M

Binomialkoeffizienz:

( nk )

ohne zurücklegen; ohne Beachtung der Reihenfolge. (Kombinatorik).

Ausgeschrieben kann man den Binomialkoeffizienten folgendermaßen definieren:

n! k !∗( n−k ) !

Binomische Lehrsatz: Um eine Potenz n-ten Grades zu bestimmen, benutzt man den Binomischen Lehrsatz.



n

()

n n−k k ( x+ y ) =∑ n x ( ) y k=0 k

Einfacher geht es mit ablesen kann. Das Pa

Binome n-ten Grades :

Vollständige Induktion: Beweis, dass eine Aussage für beliebige Werte gültig ist. 1. Induktionsanfang: Beweise, dass A(n) wahr ist. n ist hierbei die kleinste Zahl der Menge. 2. a) Induktionsvoraussetzung: A(n) gilt für beliebiges n. Damit kann man schreiben: n=k b) Induktionsbehauptung: Die Aussage gilt ebenfalls für n=k +1 c) Induktionsbeweis: Die Induktionsbehauptung folgt aus der Voraussetzung. Hierbei nimmt man die gebildete Formel der Voraussetzung und ergänzt Sie um k +1 n

Bsp.: 1 + 2 + 3 +… n=

n∗( n+1 ) n∗( n+1 ) ⇨ ∑ n= 2 2 i=1

Voraussetzung: Die Aussage gilt für ein beliebiges n, z.B. n = k

k∗( k +1 ) Behauptung: Die Aussage gilt ebenfalls für n=k +1 : 2 (k +1)∗( k + 1 + 1 ) 1 + 2 + 3 + … k +(k + 1)= 2 1 + 2 + 3 +… k =

(k +1)∗( k +2 ) Man nehme an, die Voraussetzung und Behauptung ist wahr. Daraus folgt 2 V→B ¿

Beweis: Ergänze die Voraussetzung um

1 + 2 + 3 +… k + ( k +1 ) =

k +1

k∗( k +1 ) +(k+ 1) Wichtig ist nun die rechte Seite. Diese muss so aufgelöst 2

werden und am Ende muss dasselbe wie auf der rechten Seite der Behauptung stehen.

Bernoulli-Ungleichung: Die Bernoulli-Ungleichung erlaubt die Abschätzung von Potenzen. Für alle reellen Zahlen x ≥−1 und alle natürlichen Zahlen n0 gilt: ( 1+ x)n ≥ 1+ nx Beweis durch Induktion: Induktionsanfang: Für n=0 ⇨ ( 1+ x)0 ≥ 1+0 x ⇨ 1≥ 1 ( Die Aussage ist wahr ) Voraussetzung: Die Ungleichung gilt für ein beliebiges n Behauptung: Die Ungleichung gilt ebenfalls für k +1  ( 1+ x )n+1 ≥ 1+ ( n+1 )∗x

( 1+ x )∗( 1+ x ) n n ≥ (1+ x )∗( 1+ nx ) Dies lässt sich folgendermaßen Umformen: ( 1+ x)∗ (1+ x ) 2 ¿ 1+nx+ x+ n x ≥1+ x +nx Der Linke Teil lässt sich auch wie folgt schreiben:

Abbildungen: Abbildungen, auch Funktion genannt sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen. Eine Menge A wird mithilfe der Abbildung f auf die Menge B abgebildet. Jeder Wert einer Menge A wird auch jeden Wert der Menge B abgebildet. Wenn eine Wert aus A nicht auf B abgebildet wird, ist dies keine Abbildung mehr. Gleiches gilt, wenn ein Wert aus A mehrmals auf B abgebildet wird. Schreibweise: f: A -> B (f bildet die Menge A auf B ab) Die Zielmenge B muss groß genug sein, d.h. alles, was von Menge A auf B abgebildet wird, muss auch in der Zielmenge B liegen. Beispiel Lineare Funktion: f: R -> R (in einer linearen Funktion kann man jede reelle Zahl einsetzen und es kann auch jede reelle Zahl herauskommen). Die Abgebildete Menge wird als Definitionsmenge bezeichnet. Das sind die Werte, die man in der Funktion einsetzen darf. Bsp.:

¿ 1 f ( x ) = D f =R x

„alle Zahlen außer ( \ ) 0.

Die Wertemenge ist alles das, was rauskommen kann, wenn man die Elemente der Definitionsmenge einsetzt. Schreibweise: f ( A )= { f ( x )|x ϵ A } Man unterscheidet zwischen Injektiven, surjektiven und bijektiven Funktionen. ( Die Menge X wird auf die Menge Y abgebildet) Man geht davon aus, dass f : X → Y Injektiv: gilt, wenn x 1 ≠ x2 → f ( x 1 ) ≠ f (x 2 ) jedes y ∈ Y besitzt höchstens 1 Element in seinem Urbild.  Verschiedene Argumente Werten auf verschiedene Funktionswerte abgebildet und jeder Funktionswert besitzt höchstens EIN Urbild. Surjektiv: falls es zu jedem y ∈ Y mindestens ein x ∈ X für das f ( x ) = y gilt. Das bedeutet, dass jedes y ∈ Y mindestens ein Element in seinem Urbild besitzt. Es können aber mehr sein.  Jeder Funktionswert wird mindestens 1x durch die Abbildung getroffen und jeder Funktionswert besitzt mindestens ein Urbild Bijektiv: wenn f sowohl Injektiv als auch surjektiv ist. Das bedeutet, dass jedes y ∈ Y genau EIN Element in seinem Urbild besitzt.  Jeder Funktionswert besitzt genau ein Urbild. Aus bijektiven Funktionen können Umkehrfunktionen gebildet werden. Urbild: Sei f : A → B eine Funktion und M eine Teilmenge von B, dann bezeichnet man die Menge f −1 ( M )≔ { x ∈ A| f (x )∈ M als das Urbild von M unter f. Verkettung:

( f 2 o f 2 )( x )=f 2(f 1 ( x ) )

, wenn

f 1 : A → B und f 2 : B →C . Beide Mengen sind in B

enthalten und sind deshalb Verkettungen voneinander.

Umkehrfunktion (bijektive Funktion): Man spricht von einer Umkehrfunktion, wenn man jeden Wert aus der Menge B in A abbilden kann. Dafür muss die Funktion bijektiv sein. −1 Gegeben ist f ( x ) = y . Die zugehörige Umkehrfunktion lautet demnach: f ( y ) =x  Vorgehensweise: Funktionsgleichung nach x auflösen und anschließend x und y vertauschen. Bsp.: y=2 x , demnach ist x=0,5 y Die Umkehrfunktion lautet jetzt: y=0,5 x Eine solche Funktion wird als invertierbar bezeichnet [steht vielleicht etwas in Schulblättern drin] Polynom: Eine Polynomfunktion ist eine Funktion, welche aus mehreren Mononomen besteht. Der Grad eines Polynoms ist die höchste Potenz. Bsp.: f ( x ) =4 x 7 +2 x 2 +5 x+ 4 → Grad : 7 Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. In unserem Beispiel kann die Funktion höchstens 7 Nullstellen haben. Nullstellen findet man bei höheren Polynomen (mehr als Grad 2)

mithilfe von Raten (NS ist ein Teiler von der ganzen Zahl in der Formel. In unserem Beispiel die 4) Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n-1 Extremstellen. Grenzwerte:

Eigenschaften von Funktionen: gerade: f ( x ) =f (− x ) ungerade: f (− x ) =− f (x ) Monotonieverhalten: monoton steigend, wenn gilt: aus x 1 < x 2 folgt f ( x 1 )≤ f ( x 2) Die Funktion verläuft hier entweder steigend ODER teils auch horizontal. streng monoton steigend, wenn gilt: aus x 1< x 2 folgt f (x 1)< f (x 2 ) . Die Funktion wächst hier durchgehend und verläuft hier gar nicht horizontal oder fallend. monoton fallend, wenn gilt: aus x 1< x 2 folgt f (x 1 )≥ f (x 2 ) . Die Funktion verläuft hier entweder fallend ODER teils auch horizontal. streng monoton fallend, wenn gilt: aus x 1 < x 2 folgt f ( x 1 )> f (x 2 ) . Die Funktion fällt durchgehend und verläuft hier gar nicht horizontal oder steigend.

 jede streng monotone Funktion ist Injektiv! Gauß-Klammer (Treppenfunktion) : Monoton wachsend und nicht injektiv Abrundungsfunktion: Für eine reelle Zahl x ist [x] die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. [ x ] ≔ max {k ∈ Z :k ≤ x } Bsp.: [2,8] = 2 [-2,8] = -3 [2] = 2 Aufrundungsfunktion: Für eine reelle Zahl x ist [x] die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist. [ x ] ≔ min {k ∈ Z :k ≥ x } Bsp.: [2,8] = 3 [-2,8] = -2 [2] = 2 Beschränktheit: wenn die Menge/Funktion ein Supremum/Infimum besitzt, ist die Funktion beschränkt bzw. wenn es eine Zahl C gibt, für die gilt: ¿ f ( x )∨≤ C oben beschränkt: f ( x ) ≤ C unten beschränkt: f ( x ) ≥ C Wenn die Funktion die o.g. Eigenschaften nicht besitzt, nennt man diese unbeschränkt.

Folgen und Reihen: -Folgen, Konvergenz, Divergenz -Beschränktheit, Monotonie -Konvergenz vs. Beschränktheit -Konvergenzsätze -Cauchy-Folge -Häufungspunkt -Reihe -Kovergenzkriterien (Cauchy-Kriterium)(Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen) (Majorantenkriterium)(Quotientenkriterium) -Exponentialfunktion und Trigonometische Funktionen (und dessen Konvergenz)...