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École de technologie supérieure Département de génie mécaniqueMEC-DYNAMIQUENotes de coursNgoc Sang Hô Van Ngan LêRévision : Décembre 2021 Chapitre 4 : Cinématique des corps rigides Bibliographie Exercices du chapitre 4 Introduction 4 Mouvement en rotation d’un corps rigide autour d’un axe fixe 4 Mou...

Description

École de technologie supérieure Département de génie mécanique

MEC-222 DYNAMIQUE Notes de cours

Ngoc Sang Hô Van Ngan Lê

Révision : Décembre 2021

Table des matières 1. Chapitre 1 : Cinématique des particules 1.1 Introduction 1.2 Mouvement rectiligne des particules 1.2.1 Position, Vitesse, accélération d’une particule 1.2.2 Conditions suffisantes d’un mouvement rectiligne 1.2.3 Mouvement rectiligne uniforme 1.2.4 Mouvement rectiligne à accélération constante 1.3 Mouvement de plusieurs particules 1.3.1 Mouvement relatif de 2 particules 1.3.2 Mouvements dépendants-Poulies et câbles 1.4 Mouvement curviligne des particules 1.4.1 Vecteurs position, vitesse, accélération 1.4.2 Composantes cartésiennes du mouvement curviligne 1.4.3 Composantes tangentielles et normales du mouvement curviligne 1.4.4 Composantes radiales et transversales du mouvement curviligne 1.5 Mouvement relatif Exercices du chapitre 1 2. Chapitre 2 : Cinétique des particules 2.1 Rappel de terminologie 2.2 Équation du mouvement d’une particule 2.2.1 Deuxième loi de Newton 2.2.2 Équation du mouvement d’une particule dans un plan 2.3 Quantité de mouvement d’une particule 2.3.1 Quantité de mouvement linéaire 2.3.2 Quantité de mouvement angulaire 2.4 Mouvement d’une particule sous l’action d’une force centrale 2.5 Loi de Newton de la gravitation Exercices du chapitre 2 3. Chapitre 3 : Énergie et Quantité de mouvement des particules 3.1 Introduction 3.2 Travail d’une force suivant un parcours 1-2 3.3 Cas particuliers de travail d’une force sur une particule (1) Travail d’une force constante sur un parcours rectiligne (2) Travail du poids d’une particule sur la terre (3) Travail de la force d’un ressort de rigidité k constante (4) Travail de la force gravitationnelle (Fg) 3.4 Travail et énergie cinétique 3.5 Puissance 3.6 Bilan d’énergie entre deux positions 3.7 Mouvement d’une particule sous l’effet d’une force centrale 3.8 Impulsion et quantité de mouvement 3.9 Principe de la quantité de mouvement d’un système de particules 3.10 Collision colinéaire 3.11 Collision ou impact oblique sans friction 3.12 Problèmes de dynamique

1 1 1 4 7 7 9 9 10 11 11 12 14 16 19 21 25 25 25 26 31 31 31 31 32 34 36 36 36 37 37 37 37 38 38 41 43 46 47 48 49 51

Exercices du chapitre 3 52 4. Chapitre 4 : Cinématique des corps rigides 4.1 Introduction 55 4.2 Mouvement en rotation d’un corps rigide autour d’un axe fixe 56 4.3 Mouvement général d’un corps rigide dans le plan 58 4.3.1 Mouvement relatif par rapport à un point au choix dans un corps rigide 58 4.3.2 Centre instantané de rotation (C.I.R) dans un mouvement plan 61 4.3.3 Accélérations absolues et relatives dans un mouvement plan 63 4.4 Mouvement sur une trajectoire plane en rotation - Accélération de Coriolis – 65 Exercices du chapitre 4 69 5. Chapitre 5 : Cinétique des corps rigides 5.1 Introduction 73 5.2 Centre de masse et moment d’inertie d’un corps rigide 73 5.3 Trois équations du mouvement plan d’un corps rigide 74 5.4 Mouvements avec contraintes (liés) 76 5.4.1 Mouvement contraint par 2 plans 76 5.4.2 Mouvement de rotation autour d’un point fixe 78 5.4.3 Roulement d’une roue sans glissement 79 Exercices du chapitre 5 82 6. Chapitre 6 : Énergie et Quantité de mouvement des corps rigides 6.1 Introduction 84 6.2 Équation d’énergie pour un corps rigide 84 6.3 Impulsion et quantité de mouvement plan d’un corps rigide 88 6.4 Quantité de mouvement libre des corps rigides interconnectés 90 6.5 Impact excentrique sur un corps pivotant autour d’un axe fixe 91 Exercices du chapitre 6 93 Bibliographie Annexes

Chapitre 1 Cinématique des particules – Mouvement rectiligne 1.1 Introduction La dynamique comprend la cinématique et la cinétique. La cinématique est l’étude du mouvement d’un corps, c.à.d. des relations déplacementvitesse-accélération-temps sans tenir compte des forces causant son mouvement. La cinétique est l’étude des relations entre le mouvement d’un corps et les forces qui ont causé ce mouvement. La cinétique permet d’évaluer les forces pour créer un mouvement, et de déterminer un mouvement en fonction des forces appliquées. Une particule est un corps simplifié comme un point (son centre de gravité) lorsque la rotation du corps est négligée. DYNAMIQUE = CINÉMATIQUE + CINÉTIQUE CINÉMATIQUE Relations entre déplacements (x θ), vitesses (v, ω), accélérations (a, α) et temps (t).

CINÉTIQUE Relations F = m·a, M = I·α, quantités de mouvement m·v, I·ω et énergies m·g·h, ½ m·v2, ½ I·ω2, ½ k·x2 …

Chapitre 1 x, v, a, t

Chapitre 2 F = m·a Chapitre 3 m·v, m·g·h, ½ m·v2

Particules, c.à.d. corps simplifiés comme un point (rotation négligée) MEC222

Chapitre 4: x, θ, v, ω, a, α, t

Chapitre 5 F = m·a, M = I·α … Chapitre 6 I·ω, m·g·h, ½ I·ω2 …

MEC335 Mécanique des fluides (dynamique …)

MEC523 Conception vibratoire et dyn. des structures

MEC645 Automatique et mécatronique

Corps rigides (déplacement et rotation considérés)

MEC729 Mécanismes et dynamique des machines

/2

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1.2 Mouvement rectiligne des particules Mouvement rectiligne : C’est le déplacement d’un corps sur une ligne droite. Soit un corps considéré comme

P’(t+t)

P(t)

O (x=0)

une particule P qui se déplace sur la ligne Ox.

x x

x

1.2.1 Position, distance parcourue, vitesse et accélération d’une particule Position (x) : x = distance par rapport à un repère O au  choix, ayant le signe + ou - selon le sens de O x aussi au choix. Si le corps est en mouvement, x est une fonction du temps t. Exemple, voir la courbe x(t) ci-contre. Distance parcourue (Δx) : Δx = distance d’une position P au temps t à une autre position P’ au temps t + Δt, Δx  pouvant être + ou – selon le sens de l’axe O x .

x

Courbe x(t) b’

P’ P

Δx

b x

O

xmax

Δt t

t

t+Δt

Vitesse (v) : v = distance parcourue par unité de temps. * Vit. moyenne pendant Δt : v moy =

Δx , pente b-b’ --- (1.1a) Δt

Δx dx * Vit. instantanée : v = li m , tangente en b -- (1.1b) = Δ t 0 Δ t dt

La vitesse v est aussi une fonction du temps, obtenue par la dérivée de x(t). Exemple, la valeur v de la courbe v(t) ci-contre est égale à la pente de la courbe x(t) ci-dessus.

v

Courbe v(t) c’ vmax c

0

Δv Δt

t

t

t+Δt xmax/min ↔ v = 0

Unités de la vitesse : L/T. Avec SI, v est en m/s. Accélération (a) : Changement de vitesse par unité de temps * Accélération moyenne : amoy = * Accél. instantanée : a= li m

Δt 0

ou

Δv Δt

(pente de c-c’) --- (1.2a)

Δv dv dérivée de v(t); = Δt dt

d2x a= 2 dt

dérivée seconde de x(t) ---

a 0

Courbe a(t) Δt

t

vmax/min ↔ a = 0

(1.2b)

Unités de l’accélération : L/T2. Avec SI, « a » est en m/s 2. Relation additionnelle et couramment utilisée : dx  v  dt 1  En éliminant dt entre (1) et (2) on obtient : v·dv = a·dx --------- (1.3)  dv a   2 dt 

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Exemple 1.1 Une particule se déplace sur la ligne horizontale Ox. Le chronomètre est remis à t = 0 lorsqu’elle passe par le point O. Les temps de passage aux points A, B, C et D sont montrés dans le schéma ci-contre.

t=1 s

O

A

t=1,5 s

t=3 s

t=2 s

B

C

D

(m)

(0,0)

3m 5,25 m

8m

15 m

a) Calculer les vitesses moyennes dans chacun des intervalles OA, AB, BC et OD et tracer le diagramme de la distance parcourue en fonction du temps. b) Vérifier que ce mouvement est décrit par la fonction x(t) = t 2 + 2·t et calculer les vitesses instantanées en passant par les points A, B, C et D. c) Calculer l’accélération en passant par ces points. Solution

x (m) 15

D

a) Calcul des vitesses moyennes :  O-A : VOA = (x A - xO)/(t A - tO) = (3 – 0)/(1 - 0) = 3 m/s  A-B : V AB = (xB – xA)/(t B – tA ) = (5,25 – 3)/(1,5 - 1) = 4,5 m/s  B-C : V BC = (xC – x B)/(tC – t B) = (8 – 5,25)/(2 – 1,5) = 5,5 m/s  C-D : V CD = (xD – xC)/(t D – tC ) = (15 – 8)/(3 – 2) = 7 m/s  O-D : VOD = (x D – xO )/(tD – t O) = (15 – 0)/(3 - 0) = 5 m/s

Parabole (x = t2 + 2t)

C B

5,25 3

O

A

1

1,5

2

3

t (s)

Diagramme de la distance parcourue x = f(t)

b) Vérifier x(t) = t2 + 2·t et calculer vitesses instantanées: x(t) = t 2 + 2·t ► v = dx / dt = 2·t + 2 ◄ Point A vérifié;  t = 1 s : x(1 s) = t2 + 2·t = 3 2  t = 1,5 s : x(1,5 s) = t + 2·t = 5,25◄ Point B vérifié; ◄ Point C vérifié;  t = 2 s : x(2 s) = t2 + 2·t = 8  t = 3 s : x(3 s) = t2 + 2·t = 15 ◄ Point D vérifié;

Vitesse vA = 2·t + 2 Vitesse v B = 2·t + 2 Vitesse vC = 2·t + 2 Vitesse vD = 2·t + 2

= = = =

c) Accélérations : v(t) = 2·t + 2 ► a = dv / dt = 2 constante à tous les points.

4 m/s 5 m/s 6 m/s 8 m/s

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1.2.2 Conditions suffisantes d’un mouvement rectiligne Le mouvement d’une particule est complètement défini si l’on peut déterminer sa position (x), sa vitesse (v) et son accélération (a) en tout temps. Il y a plusieurs conditions suffisantes pour qu’un mouvement rectiligne soit défini dont voici les 4 types les plus courants. Type 1 : Position connue en fonction du temps : x(t) donnée Énoncé :

La position x(t) est connue, calculer la vitesse « v » et l’accélération « a ».

Solution :

Les dérivées (1.1) et (1.2) sont directement utilisées :

x(t) donnée; v = d x dt

► v(t) connue; a 

dv d2x  ► a(t) connue dt dt 2

Type 2 : Accélération connue en fonction du temps et un état connu : a(t), x1 et v1 Énoncé : L’accélération a(t), la position x1 et la vitesse v1 au temps t1 sont connues, calculer la vitesse « v » et la position « x » à un temps t quelconque. Solution : Données : a(t), x1, v1 au temps t1 . Par a = dv/dt ► dv = a·dt, donc t

 1ère intégration donne :

v - v1 =

 2ère intégration donne :

x - x1 =

 t a dt 1

t

 t a  dt

ou v(t) = v1 +

1

t

 t v dt 1

--------------- (1.4a)

t

 t v  dt . --------------- (1.4b)

ou x(t) = x1 +

1

Type 3 : Accélération connue en fonction de la position et un état connu : a(x), x1, v1 Énoncé : L’accélération a(x) en fonction de la position et la vitesse v1 à une position x1 sont connues, calculer la vitesse « v » et le temps « t » lorsque la particule passe par une autre position « x ». Application : Ressorts. Solution a(x) étant connue, la relation v·dv = a·dx ----- (1.3), s’applique avantageusement : L’intégration de (1.3) donne : (1) donne : dt 

dx  v

t

t 1

dt =

1 2

v

2

x

x

1

- v21  =

x

x

1

a  dx ---------------------- (1.5a)

dx  t - t1 = v

x

x

1

dx v

------------------ (1.5b)

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Type 4 : Accélération connue en fonction de la vitesse et un état connu : a(v), x1, v1 Énoncé : L’accélération a(v) en fonction de la vitesse et la vitesse v 1 à une position x1 sont connues, calculer la vitesse « v » et la position « x » à un temps « t ». Application : amortissement visqueux.      dv dv  ∫ dt = ∫   t − t  = ∫  ------- (1.6a) alors dt     dt a        vdv = adx alors dx  v dv  ∫ dx = ∫  x − x = ∫ ------ (1.6b)      a

Solution : a 

Exemple 1.2 (Conditions du type 2 : a(t), x1 , v1 donnés) Une voiture part du repos (vitesse initiale nulle) avec une accélération constante de 2,4 m/s 2 pendant 10 s et ensuite diminue linéairement à zéro à 12 s (voir le diagramme ci-contre). Calculer la vitesse et la distance parcourue à 10 s et à 12 s.

a (m/s2 ) 2,4

10

Solution

12

t (s)

t2

 Vitesse : v 2  v 1   a dt ----------------- [1] t 1

Entre 0 ≤ t ≤ 10 s : a = 2,4 m/s 2 = constante donc [1] donne : v  v 1 



t2 t t1  0

2, 4 dt  v = 2,4t --------------- [2]

v = 2,4t  v = 24 m/s

- À t = 10 s , [2] donne la vitesse :

Entre 10 ≤ t ≤ 12 s : a =  1,2t + 14,4 (équation d’une droite) donc [1] donne : v  v t 10 s  1



t 2 t t 1 10

( 1, 2 t  14 , 4 ) dt  v =  0,6t2 +14,4t  60 ---- [3]

- À t = 12 s, [3] donne la vitesse : v =  0,6t2 +14,4t  60  v = 26,4 m/s x 2  x1 

 Distance parcourue :



t2 t1

v  dt ---------- [4]

Entre 0 ≤ t ≤ 10 s : v = 2,4t Donc, [4] donne : x  x 1 



t 2 t t1 0

2 , 4  t  dt  x = 1,2t 2 ---------- [5]

- À t = 10 s, [5] donne : x = 1,2t2  la distance à 10 s est x = 120 m Entre 10 ≤ t ≤ 12 s : v = 0,6t2 + 14,4t – 60 [4] donne : x - x t1=10s =

t

 (-0,6t +14,4t-60)dt ► x = 0,2t3 + 7,2t 2  60t + 200 ------ [6] 2

10

- À t = 12 s, [6] donne la position x 12s = 0,2t3 + 7,2t2  60t + 200 = 171,2 m

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Exemple 1.3 (Conditions du type 3 : a(x), x1 , v1 donnés) Une masse ayant une vitesse initiale de 2 m/s vers la droite est freinée par un ressort de sorte que son accélération est proportionnelle à la distance parcourue « x » suivant la relation a = -16∙x avec « x » en mètre (m) et « a » en m/s2. Déterminer la distance maximum de compression du ressort.

V0

0,0

x

x+

Solution Relation entre la vitesse, l’accélération et la position est donnée par 1 2

1 2

v

v

2 2

2

 

- v 21 =

-2

2

x2 x1

=

x 0

a  dx . Avec a = 16x; v 1 = 2 m/s et x1 = 0 m, on a

(-16  x) dx  v 2 = 4  16 x2

Le déplacement est maximum lorsque v = 0 : 0 = 4  16x 2  xmax = 0,5 m -----------------------------------Exemple 1.4 (Type 4 : a(v), x1 , v1 données) En poussant le piston vers la droite avec une vitesse piston initiale de 0,8 m/s à la position O, l’air fuit par l’orifice A. La résistance à l’échappement est proportionnelle à la vitesse du piston. La relation entre l’accélération O (0,0) et la vitesse est donnée par « a = -2v », « v » en m/s et « a » en m/s2. Calculer : a) la vitesse du piston après 0,5 s; b) la position du piston après 0,5 s. Solution a) Calcul de la vitesse du piston après 0,5 secondes v v dv 1 ► v = 0,8·e-2t  t - 0 =  v d v = - 2 ln t 2  t1   v 0,8 ( -2  v ) 0,8 a 2

1

à t = 0,5 s,  v = 0,8·e(-2·0,5) 

v = 0,2943 m/s

b) Calcul de la position du piston après 0,5 secondes

x2 - x1 =



v2

v1

v  dv  x-0= a

v dv =  1 ( v  0,8 ) ► x =  1 ( v  0,8 ) 0,8 -2  v 2 2



v

À t = 0,5 s, v = 0,2943 m/s  x =  ½·(v – 0,8)  x = 0,2528 m --------------------------------------------

air

x+

A

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1.2.3 Mouvement rectiligne uniforme Un mouvement rectiligne est dit uniforme si la vitesse est constante : dx/dt = v0 constante. dx = v0 ∙dt ►(x - x0) = v0 ∙(t - 0) ou x = x0 + v 0∙t ----- (1.7a) On dit aussi qu’un mouvement est uniforme si la distance parcourue est une fonction linéaire du temps, ou si l’accélération est nulle (a = dv/dt = 0 car v = constante). Exemples : Voiture qui roule à une vitesse constante; Parachutiste qui tombe à une vitesse constante; Véhicule spatial en régime de croisière dans l’espace.

x

Position (x) x(t) = x0 + v0 ·t 1

x0 O

Si a = Cte ► v - v0 = a·t;

Donc

v = v0 + a·t (vitesse linéaire avec le temps) ------ (1.7b)  dx = v·dt = (v0 + a·t) ·dt ► x - x0 = v0 ·t +

½·a·t2 ;

Donc

t

v v0 O

t Accélération (a) a(t) = 0

a 0

* Relation additionnelle : v∙dv = a∙dx avec « a » constante donne : 2

½·(v2 – v0 ) = a·(x - x0) ----------------------------- (1.7d) Exemples : Voiture accélérée ou freinée; Chute libre.

x x0

x(t) = x0 + v0 ·t + ½·a·t2 0

t

v0

v

0 v = 0 : xmax/min a a

(c) Calculer la vitesse moyenne pendant ces 25 secondes.

t

Accélération (a) a = constante

O

Une voiture part du repos avec une accélération constante. L’accélération est telle qu’elle atteint une vitesse de 50 km/h après 10 secondes. Cette vitesse est gardée constante pendant les 10 secondes suivantes. Finalement on freine la voiture avec une décélération constante pour l’arrêter complètement en 5 secondes. (b) Déterminer les distances parcourues à 10 s, 20 s et 25 s;

t

Vitesse (v) v(t) = v0 + a·t

Exemple 1.5

(a) Dessiner le diagramme de la vitesse pendant ces 25 secondes;

t

Position (x) xmax

x = x0 + v0 ·t + ½·a·t2 (variation parabolique) ----- (1.7c) On appelle aussi le mouvement à accélération constante comme uniformément accéléré ou à vitesse linéaire avec le temps ou à distance parcourue parabolique avec le temps.

v0

t Vitesse (v) v(t) = v0

1.2.4 Mouvement rectiligne à accélération constante  dv = a·dt;

/7

t

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/8

Solution V (m/s)

a) Diagramme de la vitesse en fonction du temps Conversion de la vitesse en [m/s] :

13,9

A

B

10

20

1h km m v = 50 h  1000 km  3600s = 13,9 m/s

b) Calcul des distances parcourues :

O

C 25

t (s)

Diagramme de V = f(t)

 0 ≤ t ≤ 10 s : Mouvement à accélération a = a 0 = cte a0 = v / t = (13,9 - 0)/(10  0)  a0 = 1,39 m/s2 = cte Position : x = ½(a0 )t2 + v0 t + x0 ; avec v 0 = 0 et x0 = 0 ; donc x = 0,695t2 Au temps t = 10 s, la distance parcourue est x = 0,695·10 2 = 69,5 m

 10 ≤ t ≤ 20 s : Mouvement rectiligne uniforme (a = 0 ; v = 13,9 m/s = cte) x = vt + x 1 [1] ; avec t = 10 s, x = 69,5 m, donc [1] donne x1 = 69,5/(13,9∙10) = 69,5 m Alors, l’équation de position est : x = 13,9t – 69,5 Au temps t = 20 s, la distance parcourue est v = 13,9·20 – 69,5  x = 208,5 m  20 ≤ t ≤ 25 s : Mouvement rectiligne uniformément accéléré (a = a 1 = cte) a1 = v / t = (0 – 13,9) / (25 – 20) = –2,7 m/s2 = cte v = a1 t + v 1 [2] ; avec t = 20 s, v = 13,9 m/s, donc [2...