Método Algébrico e Bases da nutrição PDF

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Bases da nutrição e formulação de ração usando métodos lineares ...

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Formulação de Ração Utilizando o Método algébrico Introdução O objetivo dessa aula é entender o método. Com base nisso poderemos formular ração para todas as espécies.

Método Algébrico Simples O Método Algébrico é um método de formulação de ração tão simples quanto do Quadrado de Pearson. Esse método considera o uso de equações lineares. Portanto, vamos assumir que: X = quantidade de milho (%) Y = quantidade de farelo de soja (%). O nosso objetivo é descobrir qual é a quantidade de milho e qual é a quantidade de farelo de soja utilizada nessa mistura para atingir os valores de PB desejável. Ambos são incógnitas, ou seja, grandeza a ser determinada na solução de uma equação, de um problema. A informação que temos até esse momento que ao somar X + Y o valor de ser 100 (X + Y = 100). 1a Equação: X + Y = 100 Obs. A10 equação refere-se a equação da MS. Essa primeira equação iremos chamar de equação da quantidade de MS. Exemplo: Vamos utilizar o milho (M) (9 % de PB) e farelo de soja (FS) com 47% de PB para formular a dieta. O objetivo é ao fazer uma mistura utilizando milho e farelo de soja obter um teor de proteína bruta (PB) de 22%. A informação que temos é que o somatório de X + Y deverá ser 100. Milho Farelo de Soja

9% PB 47% PB.

Objetivo 22% PB O próximo passo é montar a equação da proteína bruta. X = milho. Y = farelo de soja. Sabemos que se multiplicar o X por 0, 09 iremos saber qual é a contribuição em proteína bruta do milho. Não sabemos ainda a quantidade de X mas sabemos que ao multiplicar pelo teor de proteína bruta do milho

iremos chegar no valor da contribuição do milho em proteína bruta. O Y multiplicado pelo teor de proteína bruta do farelo se soja irá representar a quantidade de contribuição da proteína bruta que esse alimento está fornecendo. Teor de PB do milho =

9 100

Teor de PB farelo de soja =

= 0,09

47 100

= 0,47 X x 0, 09 = Y x 0,47 =

O somatório da contribuição de cada nutriente (X e Y) deverá ser 22% de PB. Vamos montar uma equação que irá multiplicar a quantidade de milho que ainda não sabemos pelo teor de proteína bruta do milho e somar com a quantidade de farelo de soja multiplicado pelo valor da proteína bruta do farelo de soja e que esse resultado deverá ser 22%. 2a Equação da proteína bruta: X x 0,09 + Y x 0,47 = 22 Agora vamos montar a nossa equação:

X × 0,09+Y ×0,47 =22 X +Y =100 Resolvendo essa equação linear: precisamos achar qual é o valor de X e qual é o valor de Y. Iremos utilizar um dos coeficientes (0, 09 ou 0, 47) e vamos multiplicar considerando o valor negativo.

X × 0,09+Y ×0,47 =22 X +Y =100(− 0,09) Iremos multiplicar o coeficiente 0, 09 (-0,09). O objetivo agora é eliminar uma incógnitas para encontrar a outra incógnita.

X × 0,09+Y ×0,47 =22 X +Y =100(− 0,09) -0,09 x X = -0,09 X -0,09 x Y = -0,09 Y -0,09 x 100 = - 9 Equação = - 0,09 X + - 0,09Y = -9

Obs. Como estamos multiplicando pelo coeficiente negativos os valores serão todos negativos. Obs. usamos o coeficiente 0, 09 mas também poderia utilizar o 0, 47. Mas se usasse o 0, 47 iriamos eliminar o Y e não X. Então iriamos encontrar o valor de X ao invés de Y. O professor recomenda que entre os dois coeficiente (0, 09 e 0, 47) que escolhemos o menor porque isso irá permitir trabalharmos com valor positivos. Portanto, é recomendado que nesse primeiro passo escolhemos o menor coeficiente. Agora vamos repetir a equação: - 0,09 X + - 0,09Y = -9 0,09 X + 0,47 Y = 22 -----------------------------------------------0,38Y = 13 Y=

13 0,38

Y = 34, 21% Quando fazemos isso temos -0,09 e + 0,09 logo podemos contar. - 0,09 + 0,47 = 0,38y 22 -9 =13 Y = Farelo de soja. Então, 34, 21 % é a quantidade de farelo de soja que vamos utilizar na mistura. Sabendo a quantidade de farelo de soja podemos utilizar qualquer equação anterior para encontrar a quantidade de milho. Milho: 65, 79% X + Y = 100 X = 34, 21 = 100 X = 100 – 34, 21 X = 65, 79% Esse é o método de equação simples. Encontramos as quantidades de cada nutriente. Agora temos que conferir para saber se essa mistura (65, 79% de M + 34, 21% de FS) será = 22% PB. Conferindo o resultado. Milho = 9% de PB.

FS = 47% de PB.

M = 65, 79 x 0,09 = 5, 921 FS = 34, 21 x 0, 47 = 16, 079 -------------------------------------------------Mistura = 22% PB 5, 921 + 16, 079 = 22 Outra opção para conferir os valores: PB =

[( 65,79 x 0,09) +( 34,21 x 0,47 ) ]=22 % PB

Concluindo! O método algébrico é um sistema de equações lineares. Temos o X e Y que refere a quantidade do milho e farelo de soja que buscamos encontrar para fazer uma mistura de 22% PB. Primeiro sabemos que X + Y = 100 (equação da matéria seca). Considerando que o nosso alimento X representa o milho que possui 9% de PB na MS e o nosso alimento Y representa o farelo de soja que possui 47% de PB. O nosso objetivo é adquirir uma ração com 22% de proteína bruta. O próximo passo, portanto, é montar a equação da PB (X x 0,09 + Y x 0,47 = 22). Ou seja, ao multiplicar a quantidade do milho (que não sabemos ainda) pela quantidade de PB do milho somado com a quantidade de farelo de soja pela quantidade de proteína bruta do farelo de soja o valor deve ser igual a 22%. Montar e calcular a equação é o próximo passo.

X × 0,09+Y ×0,47 =22 X +Y =100 Por fim, iremos fazer a conferência. PB =

[( 65,79 x 0,09) +(34,21 x 0,47 ) ]=22 % PB

Nesse método algébrico simples trabalhamos com 2 equações, entretanto, iremos trabalhar com 3 equações. Para escolher os ingredientes da mistura temos que escolher dois alimentos na qual um valor da proteína bruta esteja abaixo e o outro esteja acima do objetivo. O alimento que tem o valor mais próximo do objetivo será o que terá a maior quantidade. Outra forma de fazer essa equação simples pelo método algébrico possível quando temos 2 alimentos (milho e farelo de soja) e 1 nutriente (PB). Quando tem 3 alimentos não é possível fazer dessa forma. Exemplo:

X + Y = 100 Também podemos dizer que: X = 100 – Y

Considerando a equação da proteína bruta: X x 0,09 + Y x 0,47 = 22 0,09 X + 0, 47 Y = 22 0, 09 (100-Y) + 0, 47 Y = 22 9 + (- 0, 09Y) + 0,47Y = 22 - 0,09 Y + 0,47Y = 22-9 0,38Y = 13 Y=

13 0,38

Y = 34, 21% Quantidade de farelo de soja = 34, 21% X = 100 – Y X = 100 – 34, 21 X = 65, 79% Quantidade de milho = 65, 79% Obs. 0, 09 (100-y) refere o valor de x. Só substituímos o valor do X (primeira equação). 0, 09 x 100 = 9 0, 09 x Y = 0, 09Y Em seguida fazer a conferência. PB =

[( 65,79 x 0,09) +( 34,21 x 0,47 ) ]=22 % PB

Método algébrico com mais componentes Vamos fazer uma mistura que além do milho e farelo de soja iremos colocar 3% de mistura mineral. Logo, teremos que deixar um espaço reserva.

M + FS + ER = 100 

Milho = M



Farelo de soja = FS



ER = espaço reserva.

- Objetivo: 22% de PB. - Espaço reserva: 3%. M + FS + 3 = 100 M + FS = 100 – 3 M + FS = 97. Dessa parte adiante o procedimento é o mesmo que fizemos acima. M + FS = 97 (-0,09) 0,09 M + 0,47 FS =22 -0,09 M – 0,09 FS = - 8,73 ---------------------------------0,38 FS= 13,27 FS = 34,92

Próximo passo: M + FS = 97 M + 34, 92 = 97 M = 97 – 34, 92 M = 62, 08% Conferindo: M = 62, 08 x 0,09 = 5, 5872 FS = 34, 92 x 0, 47 = 16, 4124 -------------------------------------------------Mistura = 21,99% PB

Considerações! Esse último exemplo mudou apenas a quantidade de farelo de soja. Comparando com os resultados desse exemplo com o outro exemplo percebemos que o farelo de soja aumentou a quantidade e o milho diminui a quantidade. Isso ocorreu porque no exercício anterior não tínhamos espaço reserva. Com o espaço reserva foi necessário aumentar a quantidade de PB para concentrar. Se deixar para colocar o espaço reserva no final do cálculo estará errado pois estará diluindo a proteína bruta.

Método Algébrico calculando 2 nutrientes Objetivo: fazer uma mistura com 13% de proteína bruta e 74% de NDT com os seguintes ingredientes: Cana de açúcar (volumoso) Farelo de algodão (proteico) Milho

2% PB 40% PB 9% PB

60% NDT 74% NDT 84% NDT

O nosso objetivo é formular uma dieta com 13% de proteína bruta. Observando na tabela temos alimentos que está abaixo de 13% de PB e alimentos que estão acima de 13% de PB, ou seja, com esses ingredientes é possível atender a proteína bruta. O mesmo raciocínio deve ser feito para o NDT. Observando os valores de NDT dos alimentos acima percebemos que temos alimentos que estão abaixo do objetivo (74%) e alimentos que estão com valores acima do objetivo, ou seja, também é possível fazer uma mistura com os teores de NDT almejado nessa dieta. Apesar dos valores de PB e NDT serem possível de atender com uma mistura desses ingredientes pode acontecer que ao combinar os três ingredientes iremos conseguir fechar a proteína bruta mas não conseguiremos fechar o NDT. Temos que encontrar uma situação que as quantidades atendam a proteína bruta e NDT ao mesmo tempo. O primeiro passo para a formulação é saber escolher os ingredientes. Temos que sempre escolher ingredientes na qual o valor seja superior e inferior ao objetivo. 10 Passo: deve fazer a proteína bruta se atentando para os teores de NDT. Uma das opções é utilizar a cana de açúcar e farelo de algodão para atender a PB. Nesse momento o NDT deve dar menos que 74% quando fizer a mistura de cana de açúcar e farelo de algodão. Se misturássemos a milho e a cana de açúcar não conseguiríamos fazer uma mistura com 13% de PB pois ambos os valores estão abaixo de 13% de PB. 

CA = cana de açúcar.



FA = farelo de algodão.



M = milho

Agora vamos montar uma equação com 3 incógnita. 10 Equação na MS: CA + FA + M = 100 20 Equação; PB 0,02 CA + 0, 40 FA + 0,09 M = 13

30 Equação do NDT: Obs. Como a primeira incógnita é a cana de açúcar para montar a equação de NDT temos que continuar com a mesma ordem. 0,60 CA + 0, 74 FA + 0, 84 M = 74 É possível com esses nutrientes encontrar combinação com milho, farelo de algodão e cana de açúcar que contém 13% de PB e 74% de NDT? Matematicamente é possível calcular o determinante. Toda vez que o determinante tiver valores diferentes de zero significa que o sistema de equação lineares tem solução e essa solução é única. Podemos montar essa equação de diferentes formas: estamos utilizando por exemplo o valor de 0, 02 (valor quebrado) pois desejamos que o valor do resultado seja um valor inteiro (valor ordinário) e não decimal. Mas, é possível ao invés de trabalhar com o número 0, 02 trabalhar com o número 2 e ao invés de 100 iremos colocar 1. Exemplo: CA + FA + M = 1 (-2). Quando se trabalha com valores ordinário os resultados é que darão valores decimais. O professor recomenda que sempre que for calcular o determinante é mais fácil trabalhar com valores inteiros. Se for calcular o determinante com valores decimais a chance de errar é maior. O objetivo de calcular o determinar é verificar se no nosso cálculo é possível encontrar ou não um mistura que atenda a PB e NDT, logo, sempre que o determinar tiver valores diferente de zero significa que existe uma solução (pode ser uma resultado negativo). Mas ao observar os ingredientes sabemos que será uma solução positiva pois já temos ingredientes que possuem PB e NDT com valores abaixo e acima do objetivo da mistura. O professor está querendo nos dizer que pode ter 3 ingredientes com valores menores do que o objetivo e o determinante ser diferente de zero, mas nesse caso o valor será negativo. Resolução do cálculo: o primeiro passo é pegar duas equações: a primeira e a segunda equação e depois a primeira e a terceira. Vamos extrair as primeiras equações. CA + FA + M = 100

0,02 CA + 0, 40 FA + 0,09 M = 13 Pega o coeficiente menor (para não ter valores negativos) e multiplica pela primeira equação e em seguida repita a segunda equação. Com o resultado irá conseguir eliminar um incógnita – cana de açúcar. CA + FA + M = 100 (-0,02) 0,02 CA + 0, 40 FA + 0,09 M = 13 -----------------------------------------------------------0, 02 CA – 0, 02 FA – 0, 02 M = -2 0,02 CA + 0, 40 FA + 0,09 M = 13 -------------------------------------------------------+0, 38 FA + 0,07 M = 11 Equação 50.

É importante destacar que como no primeiro foi utilizado o coeficiente da cana de

açúcar no segundo cálculo inevitavelmente teremos que utilizar o coeficiente da cana de açúcar mesmo se no fosse o menor valor. Coincidentemente nesse cálculo o valor da cana de açúcar é o menor, mas pode não ser. CA + FA + M = 100 (-0,60) 0,60 CA + 0, 74 FA + 0, 84 M = 74 -----------------------------------------------------------0, 60 CA – 0, 60 FA – 0, 60 M = - 60 0,60 CA + 0, 74 FA + 0, 84 M = 74 -------------------------------------------------------+0, 14 FA + 0,24 M = 14 Nessa equação 5 conseguimos portanto eliminar o CA. As incógnitas que sobraram na equação 4 e equação 5 é portando a FA e M. O próximo passo é juntar as duas equações. Juntar as equações 4 e 5. O coeficiente agora pode ser o 0,14 + e o debaixo multiplicar 0,38 negativo. O coeficiente de cima iremos multiplicar pelo coeficiente de baixo positivo e o coeficiente de baixo iremos multiplicar pelo coeficiente de cima porém negativo. Teremos um valor positivo e um valor negativo. Considerações! Até aqui temos 4 equação:

 10 Equação na MS: CA + FA + M = 100  20 Equação PB; 0,02 CA + 0, 40 FA + 0,09 M = 13  30 Equação do NDT: 0,60 CA + 0, 74 FA + 0, 84 M = 74  40 Equação: +0, 38 FA + 0,07 M = 11. A equação 4 só tem 2 incógnita. A equação 4 foi feita a partir do cálculo da equação 1 com a equação 3.  50 Equação. É calculada a partir da equação 1 e equação 3. Equação 5 = +0, 14 FA + 0,24 M = 14 +0, 38 FA + 0,07 M = 11 (0,14) +0, 14 FA + 0,24 M = 14 (-0,38) -------------------------------------------0,0532FA + 0, 0098 M = 1, 54 - 0, 0532FA – 0,0912M = - 5,32 -------------------------------------------- 0,0814 M = - 3,78 (-1) M=

3,78 0,084

M = 46, 44% Quantidade de milho = 46, 44%. Agora podemos pegar o resultado da incógnita 4 e substituir o valor para encontrar o valor do farelo de algodão. Iremos pegar a equação 4 e multiplicar o valor do M (46, 44) pela quantidade de milho dessa equação.

0, 38 FA + 0,07 M = 11 0,38 FA + 0,07 M (46,44) = 11 --------------------------------------------0, 38FA + 3,2508 =11 0,38 FA = 11 – 3, 2508 0,38 FA = 7, 7492 FA =

7,7492 0,38

FA = 20, 39%. Uma outra opção para fazer para deixar o cálculo mais fácil:

Portanto, a quantidade de farelo de algodão é de 20, 39%. Agora iremos encontrar o valor de CA. CA + FA +M = 100 CA + 20, 39 + 46, 44 = 100 CA = 100 – 20, 39 – 46, 44 CA = 33, 17% Encontramos as quantidades de cada nutriente. O próximo passo é fazer a conferência. Lembrando que o objetivo era 13% de PB e 74% de NDT. - Conferência da proteína bruta: 

Milho. 46, 44 × 0,09=4, 1796 13% de PB -------------- 100% 4, 1796 --------------------- X X = 32,15% R. O milho está contribuindo com 32, 15% da proteína bruta.



Farelo de algodão.

20,39 × 0,40=8,156 13% de PB -------------- 100% 8, 156 --------------------- X X = 62, 7384%

R. O farelo de algodão está contribuindo com 62, 7384% da proteína bruta.



Cana de açúcar:

33,17 × 0,02=0,6634 13% de PB -------------- 100% 0, 6634 --------------------- X X = 5, 1030%

R. A cana de açúcar está contribuindo com 32, 15% da proteína bruta.

Total = 4, 1796 + 8, 156 + 0, 6634 = 12, 99 % PB

R: Quantitativamente percebemos que quem participa com maior quantidade dessa dieta é o milho, seguido pela cana de açúcar e farelo de algodão. Entretanto, é o farelo de algodão que está contribuindo mais com a proteína. É um dado importante pois existe diferenças na qualidade das proteínas dos diferentes alimentos.

Conferência do NDT 

Milho. 46, 44 × 0,84 =39,0096 74% de PB -------------- 100% 39, 0096 --------------------- X X = 52, 7156 R. O milho está contribuindo com 52, 7156% do NDT



Farelo de algodão.

20,39 × 0,74 =15,0886 74% de PB -------------- 100% 15, 0886 --------------------- X X = 20, 39%

R. O farelo de algodão está contribuindo com 20, 39 % do NDT



Cana de açúcar:

33,17 × 0,60=19,902 74% de PB -------------- 100% 19, 902 --------------------- X X = 26, 894 R. A cana de açúcar está contribuindo com 26, 894% do NDT

Total = 39, 0096 + 15, 0886 + 19, 902 = 74,00 % PB

Método linear pelo método de Sarrus e Cramer O objetivo formular uma mistura com 3 ingredientes que permita atingir 14% de PB e 72% de NDT. Ingredientes Bagaço de cana (BC) Sorgo (S) Farelo de Soja (FS)

% PB 1% 9% 47%

% NDT 33% 83% 81%

Considerações! O bagaço de cana é um alimento volumoso, com valor nutricional muito baixo devido já ter extraído toda a sacarose. O bagaço de cana é interessante seu uso para animal ruminante pois é uma fonte de fibra que estimula a ruminação. É importante em dietas de ruminantes principalmente quando se utiliza elevada proporção de concentrado. O primeiro passo é olhar para o nosso objetivo (14% de PB e 72% de NDT) e verificar se os teores de cada ingrediente permita uma combinação que atinja o objetivo. Para isso é necessários termos valores abaixo e valores acima do almejado. Com base nessa observação já podemos deduzir qual ingrediente será o mais utilizado que nesse caso é o sorgo devido os seus valores de proteína e NDT estarem mais próximo do objetivo. Uma vez feito essas avaliações podemos calcular o determinante para saber se essa mistura terá uma combinação que permita atingir a proteína bruta e o NDT. Para isso, iremos utilizar o método de Sarrus e Cramer que também são um método de equações lineares. 10. Passo: Montar as 3 equações: A primeira equação é a equação da quantidade:

BC + S + FS = 1. Obs. estamos utilizando o valor 1 ao invés de 100 iremos utilizar os valores inteiros. A segunda equação é a equação da proteína bruta (equação 2) e do NDT (equação 3). 1 BC + 9 S + 47 FS = 14 33 BC + 83 S + 81 FS = 72 Na equação 1 o somatório de cada ingrediente deve dar o valor 1, na equação 2 o somatório de cada deve dar valor 14 ao multiplicar as quantidades pelos respectivos teores de proteína de cada alimento; e já na equação 3 ao multiplicar os teores de NDT pelos seus respectivos teores de NDT deve somar 72. A partir dessas equações podemos extrair os coeficientes e montar uma matriz que iremos denominar de Matriz A. Iremos construir uma matriz uma matriz 3/3, ou seja, 3 linhas e 3 colunas. Na primeira linha os coeficiente serão 1. Já na segunda linha os coeficientes deve ser com os respectivos teores de proteína e a linha 3 com os respectivos teores de NDT de cada alimento.

Matriz A =

1 1 1 1 1 9 47 =14 33 83 81 72

Temos agora uma matriz com 3/3. A primeira coisa que temos que saber é que a matriz precisa ter o mesmo número de linha e de colunas. A matriz (1, 14 e 72) é igual ao vetor (coluna) resposta. O vetor coluna é com 3 linhas. Considera vetor quando tem apenas uma coluna ou uma linha. A partir desse ponto, vamos calcular o método de Sarrus para calcular o determinante. Lembrando, que calculamos o método de Sarrus partindo do princípio que não sabemos que utilizando esses ingredientes iremos conseguir formular uma mistura que atinge a quantidade de NDT e PB. O determinante irá nos indicar se essa mistura terá uma solução. Método de Sarrus. O método de Sarrus nos orienta que para calcular o determinante temos que pegar a matriz e repete as duas primeiras colunas. Matriz A =

1 1 1 1 1 1 9 47 1 9 33 83 8133 83 Agora iremos fazer o cálculo. Agora iremos multiplicar os elementos da diagonal principal. Teremos 3 diagonal principal. Iremos multiplicar cada elemento da diagonal principal e somá-...