Metodo DE LA Secante - Apuntes Métodos numéricos PDF

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Esto son buenos documentos para aquellos que quieren profundizar en este campo...

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FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS DEPARTAMENTO MATEMATICA Y ESTADISTICA Lic. Matematica e Ing. Estadística

ANALISIS NUMERICO I

Métodos de Solución de Ecuaciones no lineales

Prof. MSc.W MSc.Wilfredo ilfredo Calderón C

DIOS ES BUENO

SEMANA #5,6,7 y 8

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES INTRODUCCIÓN En este ítem trataremos sobre uno de los problemas más vastos de la aproximación numérica la solución de ecuaciones no lineales analizado de diferentes maneras desde la óptica analítica y su interpretación geométrica. En el campo de la tecnología principalmente en la ingeniería nos encontramos generalmente con el siguiente problema determinar las raíces de la ecuación f(x) = 0. Como la teoría de la difracción de la luz se precisa de la siguiente ecuación; x-tanx=0 . Para determinar las orbitas planetarias se precisa de la ecuación llamada ecuación de Kepler, x- a senx =b, para diversos valores de a y b. Es decir f(x) puede ser una función de variable real x, como es un polinomio en x, o como una función trascendente es decir: O una función trascendente

f ( x)  Pn ( x)  an xn  an 1x n 1  ...  a2 x 2  a1 x1  a0  0 f ( x)  sen( x) e x  ln( x)  x 2

Para dar solución a estos problemas existen distintos algoritmos o métodos para encontrar las raíces de f(x) = 0, pero debemos tener en cuenta que ninguno es general, pues en otras palabras no existe un método que funcione con todas las ecuaciones perfectamente. Pero sólo en un reducido caso será posible obtener las raíces exactas de f(x) = 0, es decir cuando se trata de f(x) factorizable, en tal sentido tenemos:

f( x) ( x  r1 )( x  r2 ).....( x  rn ) Donde r1, r2; r 3;…. rn; son las raíces de la ecuación es decir la solución al problema planteado. En el caso general se pueden obtener soluciones muy próximas a dichas raíces, esto utilizando métodos numéricos que serán visto en esta oportunidad iniciando con el Método de Punto fijo, que se conoce también como aproximaciones sucesivas de iteración funcional. Existen métodos abiertos y métodos cerrados Loa métodos abiertos son los que no usan intervalos y los métodos cerrados son los que usan intervalo. MÉTODO DE LA BISECCIÓN MÉTODO DE PUNTO FIJO MÉTODO DE NEWTON RAPSHON ACELERACIÓN DE LA CONVERGENCIA MÉTODO DE LA SECANTE .MÉTODO DE REGULA FALSI (REGLA FALSA) .MÉTODO DE HORNER CON NEWTON RAPHSÓN MÉTODO DE MULLER (RAÍCES COMPLEJAS)

Solución de ecuaciones no lineales Resolver la ecuación f(x)=0 no lineal con determinada precisión, tolerancia o error ε= 10-1, 10 -2,10-3,… etc. (0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,… etc) Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de x que la hagan verdadera, a tales valores de x se les llama ceros, soluciones, raíces de la ecuación. No existen métodos analíticos para resolver , sino que nos limitaremos a encontrar aproximaciones a tales raíces. Estudiaremos ecuaciones del tipo:

Problema 1: Modelo de población:

Raiz de una ecuación: La raíz de una ecuación se localiza geométricamente en la intersección de f(x) con el eje x. Th: f(x) tiene una raíz en [a,b] si f(a) * f(b)< 0 (existe cambio de signo).

Método Gráfico A veces es difícil o imposible graficar f(x)=0 cuya solución es la intersección con el eje x. El método grafico consiste en descomponer f(x)=0 en dos funciones equivalentes, más sencillas de graficar, y cuya solución se ubica en la intersección de ambos gráficos. Por ejemplo: 𝐟(𝐱) = 𝟎 ≡ 𝐠(𝐱) = 𝐡(𝐱)

Aceleración de la convergencia Cuando la convergencia a la raíz buscada se hace lenta, es decir, el número de iteraciones se hace grande podemos mejorar el problema usando la formula recursiva para agilizar o acelerar el cálculo rápido de la raíz. El proceso consiste en usar la sucesión de aproximaciones x 0 , x1 , x 2 ,..., x n para generar una nueva aproximación x0 ' , x1' ,..., xm ' con m < n que converja más rápidamente. Usando las diferencias finitas se reescribe el método de N-R en diferencias finitas.

x1  x1  x0 x2  x2  x1 ⁞

xi  xi  xi 1 Y además sacando las diferencias de las diferencias tenemos:

2 xi  ( xi )

  xi1  xi   xi 2  xi1   xi 1  xi  2 xi  xi 2  2 xi1  xi

Aplicando N-R obtenemos: . xi 1  xi 

 xi 1  xi 2

Fórmula de aceleración de la convergencia se llama Aitken si se

xi 2  2 xi 1  x i

aplica si se aplica a punto fijo, en los otros casos se llama Steffenssen.

Ejemplo 1 Acelerar la convergencia al calcular la raíz de x 3  2x 2  10x  20  0 por el método de punto fijo con x n  1 y ε =10-3. Use x 

20 x  2x  10





2

Solución:

x0 '  x0 

x1'  x1 

x 2 ' x 2 

x3 '  x3  ⁞

 x1  x0 2  x2  2 x1  x0  x 2  x 1  2 x 3  2x 2  x 1   x3  x 2  2  x4  2x3  x2   x 4  x 3 2 x5  2 x4

 x3 

 x 0 ' 1 

1.5385 12  1.3708 1.2950  2 1.2950   1

 x1 ' 1.5385 



1.2950  1.5385 2  1.3692 1.4018  21.2950  1.5385

2  1.4018 1.2950  1.3689 x2 '  1.2950  1.3542  2 1.4018  1.2950

 x3 '  1.4018 

1.3542  1.40182  1.3688 1.3753  21.3542  1.4018

Así sucesivamente obtenemos:

⁞ METODO DE LA SECANTE

EI método de Newton-Raphson para aproximar una raíz simple  de una ecuación f( x) = 0 , consiste en generar la sucesión {xn } a partir de la fórmula de iteración: 𝐱𝐧 = 𝐱 𝐧−𝟏 −

𝐟(𝐱𝐧−𝟏 ) , 𝐟(𝐱𝐧−𝟏)

𝐧 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …

y escogiendo x0 cercano a la raíz . Como 𝐟 ′ (𝐱𝐧−𝟏 ) = 𝐥𝐢𝐦

𝐟(𝐱)−𝐟(𝐱𝐧−𝟏) 𝐱−𝐱 𝐧−𝟏

𝐱→𝐱𝐧−𝟏

entonces si queremos evitar el uso de la derivada

en la fórmula de iteración del método de Newton-Raphson, una forma es tomar x=xn-2 , y aproximar f’(xn-1) por

𝐟(𝐱 𝐧−𝟏)−𝐟(𝐱𝐧−𝟐) 𝐱 𝐧−𝟏−𝐱 𝐧−𝟐

que no es otra cosa que la pendiente de la recta

secante L a la gráfica de f por los puntos (𝐱𝐧−𝟏 , 𝐟(𝐱 𝐧−𝟏)) 𝐲 (𝐱𝐧−𝟐 , 𝐟(𝐱 𝐧−𝟐)). Remplazando, en la fórmula de iteraci6n del método de Newton-Raphson, f'(xn-1) por su aproximación

𝐟(𝐱 𝐧−𝟏)−𝐟(𝐱𝐧−𝟐) 𝐱 𝐧−𝟏−𝐱𝐧−𝟐

Obtenemos :

𝐟(𝐱𝐧−𝟏 )(𝐱 𝐧−𝟏 − 𝐱𝐧−𝟐 ) , 𝐧 = 𝟐, 𝟑, … 𝐟(𝐱𝐧−𝟏) − 𝐟(𝐱 𝐧−𝟐) que constituye la fórmula de iteración para el método de la Secante. Nótese que para calcular con el método de la Secante se requiere conocer dos aproximaciones iniciales x0 y x1. 𝐱𝐧 = 𝐱 𝐧−𝟏 −

Gráficamente:

Ejemplo: Use el método de la secante para encontrar una raíz de la ecuación f(x)=x3+2x2+10x-20=0 con x0=0 y x1=1 realizar 6 iteraciones.

Solución: 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −

3 (𝑥𝑛−1 3 2 (𝑥𝑛−1 +2𝑥𝑛−1

+2𝑥2𝑛−1 +10𝑥𝑛−1 −20)(𝑥𝑛−1 −𝑥𝑛−2 )

2 3 +10𝑥𝑛−2 −20) +10𝑥𝑛−1 −20)−(𝑥𝑛−2 +2𝑥𝑛−2

Asi obtenemos la siguiente secuencia de datos en la tabla: n

xn

Método de Horner con Newton-raphson Calcula la raíz de funciones polinómicas específicamente Pn ( x)  a0  a1 x  a 2 x2  ...  a n x m Usa el método de N-R.

x i 1  x i 

P( xi ) P ' (x i )

Para calcular P( xi ) y P ' ( x i ) usamos el método de Horner o división sintética

Ejemplo 1:

Para P( x)  x 3  2 x 2  3x  2 calcule P (2) y P' (2) .

Método 

P(2)  8 8  6 2 P ' (2)  12  8  3

Ejemplo 2: Encuentre la raíz de x 3  x  1  0 en [1,2] con ε= 10-2 = 0.01 Usando el método de Horner con N-R. Solución:

x 0  1 .5 x 0  1 .5 x1  x 0 

P (x0 ) P (1.5)  1.5  P ' (1.5) P' ( x0 )

x1  1.5 

0.875  1.3478 5.75

x2  1.3478 

P(1.3478) P' (1.3478)

x3 1. 3252 

P(1.3252 ) P' (1.3252 )

La raíz es 1.3247

INVESTIGACION: Investigar el método de MÜLLER que calcula la raíces reales y complejas de un polinomio. Entregar y exponer el cálculo de todas las raíces usando el método de Müller, de los siguientes polinomios 1)f(x)=-x4+2x2+2=0 2) f(x)=-2x3+3x2+2=0 3) f(x)=x4+x3 - 2x2+1=0 4) f(x)=x4-4x3 +16x+1=0 5) f(x)=x3-3x2+5=0 6) f(x)=x3-3x2+x+3=0 7) f(x)=x4-4x3+10=0

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA NICARAGUA-MANAGUA -MANAGUA RECINTO UNIVERSITARIO RUBEN DARIO FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS DEPTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA

Prof. MSc.Wilfredo Calderón C ING.ESTADISTICA Y LIC. MATEMATICA ANALISIS NUMERICO I SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES DIOS ES BUENO

I.-Resolver por bisección, punto fijo y Newton-Raphson

1. 2. 3.

𝑥 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 − 𝑥 2 − 3𝑥 = 0 𝑥 2 + ln 𝑥 = 0

II.-Usando todos los Método con error de 10-3, calcular una raíz de las siguientes ecuaciones: 1. 5𝑥 3 + 𝑥 2 − 12𝑥 + 4 = 0, 2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑒 𝑥 = 0, 3. √𝑥 − 5𝑒−𝑥 = 0, 4. 𝑒 −𝑥 − lnx = 0, 3

III.-Calcule √25con e=10-4 IV. La forma de un silo para almacenar granos, es de un cilindro circular recto con una semi-esfera en la parte superior. Si la altura total de la estructura es de 30 mt que radio debe tener el cilindro para que el volumen total sea de 1800m3 4 V.Resolver √656112√𝑥 =6xUse bisección

VI.Resolver la ecuación𝑒 √𝑥

2 −1

= 2√𝑥 + 1.24 con x0=1.5 usar cinco decimales,

VII.Calcular el área entre las gráficas de: a)y=ln(x), y=4-x2 el eje x en 1,2 b)y=e-x , y=x2 el eje x en 0,2. VIII.Supóngase que en el crecimiento de la población N(t) es el # de individuos en el tiempo t,  es la tasa de natalidad vde la población, N0 es el # de individuo al inicio, y v la tasa de 𝑣 inmigración de la población,donde 𝑁(𝑡) = 𝑁0 𝑒 𝜆𝑡 + 𝜆 (𝑒 𝜆𝑡 − 1) Determinar la tasa de natalidad de la población que cuenta con 1000000 de individuos inicialmente y bque 435000 inmigran a la comunidad en el primer año, y que 1564000 estan presente al final del año.

IX. El siguiente modelo describe la demanda d de cierto producto, donde x está en meses:d(x)=20xe-0.075xEncuentre en cuántos meses la demanda alcanzara un valor de 70 unidades.

X. Un modelo de crecimiento poblacional está dado por P(t)=5t+2e0.1t en donde P es el número de habitantes y t el tiempo en años. Calcule en cuántos años la población será de 400 habitantes. XI.Un empresario desea producir recipientes cilíndricos de aluminio de un litro de capacidad. Cada recipiente debe de tener un borde de 0.5cm. Adicionales para sellarlo. Determine las dimensiones del recipiente para que la cantidad de material utilizado en la fabricación sea mínima. XII.Para el traslado de ciertos materiales de construcción se debe diseñar y construir una caja rectangular con las siguientes especificaciones: de base cuadrada, que sea de volumen 100 pulg3, y área superficial de 350 pulg2

XIII.Una esfera de madera de radio r se coloca en el agua para determinar la profundidad h a la cual se hundirá, igualamos el peso del agua en el peso de la esfera (/3) (pw h2) (3r – h = (4/3) (pbr3) donde pw es la densidad del agua, y pb es la densidad de la esfera supongamos que pb= 0.4 pw y r=2 pulg. Calcule la altura la cual se hundirá la esfera con precisión de 0.001

XIV. Dos escaleras se encuentran entrecruzadas en un pasillo. Cada escalera va desde la base de un muro hasta algún punto en la pared opuesta. Las escaleras se cruzan a una altura h por encima del suelo. Dado que las longitudes de las escaleras son L1=20 pies y L2=30 pies, y que h=8 pies .Determine el ancho z del pasillo.

XV.-Una artesa de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (ver figuras). Cuando se llena con agua hasta una distancia h desde la parte superior, el volumen V de agua es: V=L[0.5πr2 - r2arcsen(h/r) – h(r2 –h2)1/2].Suponga que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4 pies3. Encuentre la profundidad ( D ) del agua en la artesa dentro de 0.10 pie.La solución se obtiene aplicando la profundidad 𝐷 = 𝑟 − ℎ

XVI. El desplazamiento de una estructura está definido por 𝑦 = 9𝑒 −𝑘𝑡 cos (𝜔𝑡) con k=7 y 𝜔 = 4 estime el tiempo inicial que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5.

XVII. Una viga de voladizo de 20 pies de longitud con una carga de 600 lbs en su extremo se desvía por una cantidad 𝑑 =

60𝑥 2 −𝑥3

, donde d se mide en pulgadas y x en pies. Calcule el tamaño de la viga x para una desviación de 0.01 pulgada. 16000

XVIII.-Para un puente colgante, la longitud s de un cable entre dos soportes verticales cuya extensión es l (distancia horizontal)está relacionada con la flexión d del cable por: 𝑠=𝑙+

8𝑑2 3𝑙

−

32𝑑4 5𝑙2

como en la figura Si s=404 pies y l=400 pies. Determine la flexión d

del cable en [20,30]

XIX.- Una columna vertical cilíndrica sólida de radio fijo r que soporta su propio peso termina por flexionarse cuando aumenta su altura. Es posible demostrar que la altura máxima, o crítica, de tal columna es ℎ𝑐𝑟 = 𝑘𝑟 2/3 , donde k es una constante y r se mide en metros. Aproximar el diámetro de una columna para la cual hcr =10 m y k= 35....