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13 TRAZADO DE CURVAS

13.1 Extremos relativos 13.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado 13.3 Concavidad 13.4 Prueba de la segunda derivada 13.5 Asíntotas 13.6 Aplicación de máximos y mínimos 13.7 Repaso

Cambio de la población a lo largo del tiempo

Tasa de impuestos

Aplicación práctica

A

mediados de la década de 1970, el economista Arthur Laffer explicaba su visión de los impuestos a un político que, según la versión que se escoja, era Ronald Reagan, futuro aspirante a la presidencia, o bien Richard Cheney miembro del equipo de Ford (luego vicepresidente bajo el régimen de George W. Bush). Para ilustrar su argumento, Laffer tomó una servilleta e hizo un bosquejo de la gráfica que ahora lleva su nombre: curva de Laffer.1 La curva de Laffer describe el ingreso total del gobierno debido a los impuestos como una función de la tasa de impuestos. Es obvio que si la tasa de impuestos es cero, el gobierno no obtiene ingresos; pero si la tasa de impuestos es 100%, el ingreso sería también igual a cero, ya que no hay incentivo para generar dinero si todo se esfuma. Puesto que una tasa entre 0 y 100% debe generar ingresos, según el razonamiento de Laffer, la curva que relaciona los ingresos con los impuestos debe verse, en forma cualitativa, más o menos como la que se muestra en la figura al final de esta página. El argumento de Laffer no pretendía mostrar que la tasa óptima de impuestos fuese 50%. Lo que quería mostrar era que bajo ciertas circunstancias, a saber, cuando la tasa de impuestos está a la derecha del máximo de la curva, es posible aumentar el ingreso del gobierno bajando los impuestos. Éste fue un argumento clave para la reducción de impuestos aprobada por el Congreso durante el primer periodo de la presidencia de Reagan. A consecuencia de que la curva de Laffer sólo es un dibujo cualitativo, en realidad no proporciona una tasa de impuestos óptima. Los argumentos que se basan en los ingresos para reducir los impuestos incluyen la hipótesis de que el punto del máximo de ingresos está a la izquierda, en el eje horizontal, del esquema de impuestos actual. De la misma manera, quienes abogan por una elevación en los impuestos para aumentar los ingresos del gobierno suponen que, o bien existe una relación diferente entre impuestos e ingresos, o bien una localización diferente en el máximo de la curva. Entonces, la curva de Laffer es por sí misma demasiado abstracta para ayudar en la determinación de la tasa óptima de impuestos. Sin embargo, incluso un bosquejo muy simple de curvas, como las curvas de oferta y demanda y la curva de Laffer, pueden ayudar a los economistas a describir los factores causales que dirigen una economía. En este capítulo, se estudiarán técnicas para el trazado e interpre0 100% tación de curvas. Ingreso por impuestos 1 Para una de las versiones de esta historia, vea Jude Wanniski, The Way the World Works, 3a. ed. (Morristown, NJ: Polyconomics, 1989), p. 299.

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Secc. 13.1 Extremos relativos OBJETIVO

Encontrar cuándo una función es creciente o decreciente, determinar los valores críticos, localizar máximos y mínimos relativos y establecer la prueba de la primera derivada. También, hacer el bosquejo de la gráfica de una función por medio del uso de la información obtenida de la primera derivada.

567

13.1 Extremos relativos Naturaleza creciente o decreciente de una función El análisis del comportamiento gráfico de las ecuaciones es una parte básica de las matemáticas y tiene aplicaciones en muchas áreas de estudio. Cuando se hace el bosquejo de una curva, si sólo se colocan puntos quizá no se obtenga información suficiente acerca de su forma. Por ejemplo, los puntos (⫺1, 0), (0, ⫺1) y (1, 0) satisfacen la función dada por y ⫽ (x ⫹ 1)3(x ⫺ 1). Con base en estos puntos, podría concluirse a la ligera que la gráfica debe tener la forma que se muestra en la figura 13.1(a), pero de hecho, la forma verdadera es la que se ilustra en la figura 13.1(b). En este capítulo se explorará la gran utilidad de la diferenciación en el análisis de una función, de manera que se pueda determinar su forma verdadera y el comportamiento de su gráfica. y

y

1

x

1

1

1 1

1

(a) FIGURA 13.1

x

(b)

Curvas que pasan por los puntos (⫺1, 0), (0, ⫺1) y (1, 0).

Se comenzará por analizar la gráfica de la función y ⫽ f (x) de la figura 13.2. Observe que conforme x aumenta (de izquierda a derecha) en el intervalo I1, entre a y b, los valores de f (x) también aumentan y la curva asciende. En forma matemática, esta observación significa que si x1 y x2 son dos puntos cualesquiera en I1, tales que x1 ⬍ x2, entonces f (x1) ⬍ f (x2). Se dice que f es una función creciente en I1. Por otra parte, conforme x aumenta en el intervalo I2, entre c y d, la curva desciende. En este intervalo, x3 ⬍ x4 implica que f (x3) ⬎ f (x4) y se dice que f es una función decreciente en I2. Estas observaciones se resumen en la definición siguiente.

DEFINICIÓN Se dice que una función f es creciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera dos números x1, x2, en I, si x1 ⬍ x2, entonces f (x1) ⬍ f (x2). Una función f es decreciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera dos números x1, x2 en I, si x1 ⬍ x2, entonces f (x1) ⬎ f (x2). En términos de la gráfica de la función, f es creciente en I si la curva se eleva hacia la derecha y f es decreciente en I si la curva cae hacia la derecha. Recuerde que una y y

f (x)

Pendiente positiva f' (x) 0

a

FIGURA 13.2

Pendiente negativa f' (x) 0

f (x1)

f (x2)

x1

x2

b

c

f (x3)

f (x4)

x3

x4

d

I1 I2 f creciente f decreciente Formas creciente y decreciente de una función.

x

568

Capítulo 13 Trazado de curvas

línea recta con pendiente positiva se eleva hacia la derecha y una recta con pendiente negativa cae hacia la derecha. De vuelta a la figura 13.2, se nota que en el intervalo I1, las rectas tangentes a la curva tienen pendientes positivas, por lo que f ⬘(x) debe ser positiva para toda x en I1. Una derivada positiva implica que la curva se eleva. En el intervalo I2, las rectas tangentes tienen pendientes negativas, por lo que f ⬘(x) ⬍ 0, para toda x en I2. La curva desciende donde la derivada es negativa. Así, se tiene la siguiente regla que permite usar la derivada para determinar cuándo una función es creciente o decreciente:

REGLA 1 Criterios para funciones crecientes o decrecientes Sea f diferenciable en el intervalo (a, b). Si f ⬘(x) ⬎ 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en (a, b). Si f ⬘(x) ⬍ 0, para toda x en (a, b), entonces f es decreciente en (a, b). Para ilustrar estas ideas, se usará la regla 1 para determinar los intervalos en que y ⫽ 18x ⫺ 32x3 es creciente o decreciente. Sea y ⫽ f (x), debe determinarse cuándo f ⬘(x) es positiva y cuándo es negativa. Se tiene f ⬘(x) ⫽ 18 ⫺ 2x2 ⫽ 2(9 ⫺ x2) ⫽ 2(3 ⫹ x)(3 ⫺ x) Si se emplea la técnica de la sección 10.4, es posible encontrar el signo de f ⬘(x) probando los intervalos determinados por las raíces de 2(3 ⫹ x)(3 ⫺ x) ⫽ 0, esto es, 3 y ⫺3. Estos valores deben disponerse en orden creciente en la parte superior de un diagrama de signos para f ⬘ de manera que se divida el dominio en f intervalos. (Vea la figura 13.3.) En cada intervalo, el signo de f ⬘(x) está determinado por los signos de sus factores: 3 3

x

3

x

f'(x)

3

0 0 0

0

f(x) FIGURA 13.3 Diagrama de signos para f ⬘(x) ⫽ 18 ⫺ 9x2 y su interpretación para f (x).

Si x ⬍ ⫺3,

entonces el signo (f ⬘(x)) ⫽ 2(⫺)(⫹) ⫽ ⫺, por lo que f es decreciente.

Si ⫺3 ⬍ x ⬍ 3, entonces el signo (f ⬘(x)) ⫽ 2(⫹)(⫹) ⫽ ⫹, por lo que f es creciente. Si x ⬎ 3,

y

y

2 3

18x

x

36

3

x

3

3

entonces el signo (f ⬘(x)) ⫽ 2(⫹)(⫺) ⫽ ⫺, por lo que f es decreciente.

Se indican estos resultados en el diagrama de signos que se da en la figura 13.3, donde la línea inferior es una versión esquemática de lo que dicen los signos de f ⬘ acerca de f. Observe que los segmentos de recta horizontal en el renglón inferior indican tangentes horizontales para f en ⫺3 y en 3. Así, f es decreciente en (⫺q, ⫺3) y (3, q) y es creciente en (⫺3, 3). Esto corresponde a la naturaleza creciente y decreciente de la gráfica de f mostrada en la figura 13.4. De hecho, la utilidad de un diagrama de signos bien construida consiste en proporcionar un esquema para la construcción subsiguiente de la gráfica de una función.

Extremos 36 Decreciente

Creciente

Decreciente

FIGURA 13.4 Creciente/decreciente para y ⫽ 18x ⫺ 32x3.

Ahora vea la gráfica de y ⫽ f (x) en la figura 13.5. Pueden hacerse algunas observaciones. Primero, hay algo especial con respecto a los puntos P, Q y R. Observe que P está más alto que cualquier otro punto “cercano” sobre la curva, lo mismo puede decirse para R. El punto Q está más bajo que cualquier otro punto “cercano” sobre la curva. Como P, Q y R, pueden no ser necesariamente los puntos más altos o más bajos en toda la curva, se dice que la gráfica de f tiene un máximo relativo en a y en c; y tiene un míni-

Secc. 13.1 Extremos relativos y f'(a)

f'(c) no existe

0 P

signo (f'(x))

Máximo relativo

R signo ( f'(x))

ADVERTENCIA

signo ( f'(x))

Q

a

Asegúrese de observar la diferencia entre los valores extremos relativos y el lugar donde ocurren.

Máximo relativo

signo ( f'(x))

f' (b)

Mínimo relativo

FIGURA 13.5

569

0

b

c

x

Máximos y mínimos relativos.

mo relativo en b. La función f tiene valores máximos relativos de f (a) en a y f (c) en c; y tiene un valor mínimo relativo de f (b) en b. También se dice que (a, f (a)) y (c, f (c)) son puntos máximos relativos y (b, f (b)) es un punto mínimo relativo en la gráfica de f. De regreso a la gráfica, se observa que hay un máximo absoluto (el punto más alto en toda la curva) en a, pero no hay un mínimo absoluto (el punto más bajo en toda la curva) porque se supone que la curva se prolonga de indefinidamente hacia abajo. De manera más precisa, estos nuevos términos se definen así:

DEFINICIÓN Una función f tiene un máximo relativo en a si existe un intervalo abierto que contenga a a sobre el cual f (a) ≥ f (x) para toda x en el intervalo. El valor máximo relativo es f (a). Una función f tiene un mínimo relativo en a si existe un intervalo abierto que contenga a a sobre el cual f (a) ⱕ f (x), para toda x en el intervalo. El valor mínimo relativo es f (a). Si existe un máximo absoluto, éste es único; sin embargo, puede ocurrir para más de un valor de x. Una proposición similar es cierta para un mínimo absoluto.

DEFINICIÓN Una función f tiene un máximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x) para toda x en el dominio de f. El máximo absoluto es f (a). Una función f tiene un mínimo absoluto en a, si f (a) ⱕ f (x), para toda x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f (a). Cuando se haga referencia a un máximo o un mínimo relativo se le llamará extremo relativo. De manera análoga, se hace alusión a los extremos absolutos. Al tratar con extremos relativos, se compara el valor de la función en un punto, con el valor en puntos cercanos; sin embargo, al tratar con extremos absolutos, se compara el valor de la función en un punto con todos los otros valores determinados por el dominio. Así, los extremos relativos son locales por naturaleza, mientras que los extremos absolutos son globales. Con referencia a la figura 13.5, se nota que en un extremo relativo la derivada puede no estar definida (por ejemplo, cuando x ⫽ c). Pero siempre que esté definida en un extremo relativo, es igual a 0 (por ejemplo, en x ⫽ a y en x ⫽ b), por lo que la recta tangente es horizontal. Se puede establecer lo siguiente:

REGLA 2 Una condición necesaria para extremos relativos Si f tiene un extremo relativo en a, entonces f ⬘(a) ⫽ 0 o bien f ⬘(a) no existe. La implicación de la regla 2 sólo es en una dirección: extremo relativo en a

implica

f '(a) ⫽ 0 o f '(a) no existe

La regla 2 no dice que si f ⬘(a) es 0 o f ⬘(a) no existe, entonces debe existir un extremo relativo en a. De hecho, puede que no exista ninguno. Por ejemplo, en la figura 13.6(a), f ⬘(a) es 0 porque la recta tangente es horizontal en a, pero no se tiene un extremo re-

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Capítulo 13 Trazado de curvas y

y y

f'(a) no existe pero no hay extremo relativo en a

f(x) f'(a) 0 pero no hay extremo relativo en a

a

x

(a) FIGURA 13.6

a

x

(b)

No hay extremo relativo en a.

lativo ahí. En la figura 13.6(b), f ⬘(a) no existe porque la recta tangente es vertical en a, pero de nuevo no se tiene un extremo relativo ahí. Pero si se desea encontrar todos los extremos relativos de una función y ésta es una tarea importante lo que la regla 2 sí dice es que la búsqueda puede limitarse a aquellos valores de x en el dominio de f para los cuales f ⬘(x) ⫽ 0 o bien f ⬘(x) no existe. En forma típica, lo anterior reduce la búsqueda de extremos relativos desde el número infinito de x para las cuales f está definida hasta un pequeño número finito de posibilidades. Como estos valores de x son tan importantes para la localización de los extremos relativos de f, se llaman valores críticos para f, y si a es un valor crítico para f también puede decirse que (a, f (a)) es un punto crítico sobre la gráfica de f. Así, en la figura 13.5, los números a, b y c son valores críticos y P, Q y R, son puntos críticos.

DEFINICIÓN Para una a en el dominio de f, si f ⬘(a) ⫽ 0 o bien f ⬘(a) no existe, entonces a se denomina un valor crítico para f. Si a es un valor crítico, entonces el punto (a, f (a)) se denomina un punto crítico para f. En un punto crítico, puede haber un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguno de éstos. Además, de la figura 13.5 se observa que cada extremo relativo ocurre en un punto alrededor del cual el signo de f ⬘(x) cambia. Para el máximo relativo en a, f ⬘(x) va de ⫹ para x ⬍ a a ⫺ para x ⬎ a, en tanto x esté cerca de a. Para el mínimo relativo en b, va de ⫺ a ⫹, y para el máximo relativo en c va nuevamente de ⫹ a ⫺. Entonces, alrededor de máximos relativos, f es creciente y luego decreciente y, para los mínimos relativos, es cierta la proposición inversa. Para precisar, se tiene la regla siguiente:

REGLA 3 Criterios para extremos relativos Suponga que f es continua en un intervalo abierto I que contiene el valor crítico a y f es diferenciable en I excepto posiblemente en a. 1. Si f ⬘(x) cambia de positiva a negativa cuando x crece al pasar por a, entonces f tiene un máximo relativo en a. 2. Si f ⬘(x) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por a, entonces f tiene un mínimo relativo en a. Para ilustrar la regla 3 con un ejemplo concreto, vea de nuevo la figura 13.3, el diagrama de signos para f ⬘(x) ⫽ 18 ⫺ 2x2. El renglón marcado por f ⬘(x) muestra cla2 ramente que f (x) ⫽ 18x ⫺ x2 tiene un mínimo relativo en ⫺3 y un máximo relativo 3 en 3. El renglón que proporciona la interpretación de la gráfica para f, marcado f (x), se deduce inmediatamente a partir del renglón que está arriba de él. La importancia del renglón de f (x) es que proporciona un paso intermedio en el trazado real de la gráfica

Secc. 13.1 Extremos relativos

571

y ADVERTENCIA

Se hace énfasis de nuevo en que no a todo valor crítico le corresponde un extremo relativo. Por ejemplo, si y ⫽ f (x) ⫽ x3, entonces f ⬘(x) ⫽ 3x2. Como f ⬘(0) ⫽ 0, 0 es un valor crítico. Pero si x ⬍ 0, entonces 3x2 ⬎ 0 y si x ⬎ 0, entonces 3x2 ⬎ 0. Como f ⬘(x) no cambia de signo en 0, no existe un máximo relativo ni un mínimo relativo. De hecho, como 0 ⱖ 0 para toda x, la gráfica de f no desciende nunca y se dice que f es no decreciente (vea la figura 13.8).

y

y

f (x)

x3 f' (x)

0 x

f'(x)

0 f' (x)

f (x)

y

0

FIGURA 13.8 Cero es un valor crítico, pero no proporciona un extremo relativo.

1 x2

0 1 x3 f'(x) f ' (x)

f(x)

0

f ' (x)

0 x

(a) FIGURA 13.7

(b)

f ⬘(0) no está definida, pero 0 no es un valor crítico porque 0 no está en el dominio de f.

de f. En este renglón se establece, de manera visual, que f tiene un mínimo relativo en ⫺3 y un máximo relativo en 3. Cuando se buscan los extremos de una función f, debe tenerse cuidado con las a que no están en el dominio de f, pero que tienen valores cercanos en el dominio de f. Considere el siguiente ejemplo. Si 2 1 y ⫽ f (x) ⫽ 2 entonces f '(x) ⫽ ⫺ 3 x x Aunque f ⬘(x) no exista en 0, 0 no es un valor crítico porque no está en el dominio de f. Así, no puede ocurrir un extremo relativo en 0. Sin embargo, la derivada puede cambiar de signo alrededor de cualquier valor de x, en que f ⬘(x) no esté definida, por lo que tales valores son importantes en la determinación de los intervalos sobre los que f es creciente o decreciente. En particular, dichos valores deben incluirse en un diagrama de signos para f ⬘. Vea la figura 13.7(a) y la gráfica anexa 13.7(b). Observe que la gruesa barra vertical en el 0 del diagrama sirve para indicar que 0 no está en el dominio de f. Aquí no existen extremos de ningún tipo. En la regla 3, debe satisfacerse la hipótesis o la conclusión no es necesariamente válida. Por ejemplo, considere el caso de la función definida por partes 1 si x ⫽ 0 f (x) ⫽ x2 0 si x ⫽ 0 Aquí, 0 está explícitamente en el dominio de f pero f no es continua en 0. En la sección 11.1 se vio que si una función f no es continua en a, entonces f no es diferenciable en a, lo que significa que f ⬘(a) no existe. Así, f ⬘(0) no existe y 0 es un valor crítico que debe incluirse en el diagrama de signos para f ⬘ que se muestra en la figura 13.9(a). Se extienden las convenciones del diagrama de signos al indicar con un símbolo ⫻ aquellos valores para los cuales f ⬘ no existe. Se ve en este ejemplo que f ⬘(x) cambia de positiva a negativa cuando x aumenta al pasar por 0 pero f no tiene un máximo relativo en 0. y

0 1 x3

y

f'(x) f(x)

FIGURA 13.9

f (x)

1/x2, si x 0 0, si x = 0

x

(a) (b) El 0 es un valor crítico pero la regla 3 no es aplicable.

572

Capítulo 13 Trazado de curvas

Aquí la regla 3 no es aplicable porque su hipótesis de continuidad no está satisfecha. En la figura 13.9(b), 0 se representa en el dominio de f. Resulta claro que f es un mínimo absoluto en 0 porque f (0) ⫽ 0 y, para toda x ⫽ 0, f (x) ⬎ 0. Para resumir los resultados de esta sección: se tiene la prueba de la primera derivada para los extremos relativos de y ⫽ f (x):

Prueba de la primera derivada para los extremos relativos Paso 1. Encontrar f ⬘(x). Paso 2. Determinar todos los valores críticos de f (aquellas a donde f ⬘(a) ⫽ 0 o f ⬘(a) no exista) y cualquier a que no esté en el dominio de f pero que tenga valores cercanos en el dominio de f, y construir un diagrama de signos que muestre para cada uno de los intervalos determinados por estos valores, si f es creciente ( f ⬘(x) ⬎ 0) o decreciente ( f ⬘(x) ⬍ 0). Paso 3. Para cada valor crítico a en que f es co...