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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal Sommaire Ch. I Réseaux électriques en régime sinusoïdal ...................................4 I.1- Introduction.............................................................................................................. 4 I.2- Les éléments d’un ...

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal

Sommaire Ch. I Réseaux électriques en régime sinusoïdal ...................................4 I.1- Introduction.............................................................................................................. 4 I.2- Les éléments d’un circuit électrique ...................................................................... 4 I.3- Réseau monophasé (Single Phase circuit) ............................................................. 5 I.3.A- Notation par valeurs complexes (phaseur) .................................................................... 5 I.3.B- Compensation du facteur de puissance .......................................................................... 6

I.4- Réseau triphasé (Three-phase circuit) ................................................................... 7 I.4.A- Opérateur « a » .............................................................................................................. 7 I.4.B- Systèmes triphasés équilibrés ........................................................................................ 7 I.4.B.1- Couplage en étoile............................................................................................................... 8 I.4.B.2- Couplage en triangle ........................................................................................................... 8 I.4.B.3- Puissances ........................................................................................................................... 9

I.4.C- Systèmes triphasés déséquilibrés ................................................................................. 11

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal

Réseaux électriques en régime sinusoïdal I.1- Introduction On peut supposer que la forme d'onde de la tension aux nœuds d'un système d'alimentation est purement sinusoïdale et de fréquence constante. Lorsqu'un élément de circuit reçoit de l'énergie électrique, il peut se comporter selon l'une au moins des trois façons suivantes : • Si toute l'énergie est consommée, alors l'élément de circuit est une résistance pure. • Si l'énergie est emmagasinée dans le champ magnétique, l'élément est une inductance pure. • Enfin, si l'énergie est emmagasinée dans le champ électrique, l'élément est une capacité pure. En pratique les circuits possèdent plus d'une des caractéristiques précédentes et parfois les trois en même temps, avec prédominance de l'une d'entre elles.

I.2- Les éléments d’un circuit électriqu e 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

(I-1)

Résistance La différence de potentiel 𝑣(𝑡) aux bornes d'une résistance pure est directement proportionnelle au courant 𝑖(𝑡) qui la traverse. La constante de proportionnalité R est appelée la résistance de l'élément et est exprimée en volt/ampère ou ohm. 𝑣(𝑡) = 𝑅 × 𝑖(𝑡) 𝑉𝑚 𝑖(𝑡) = × 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑅

𝑖(𝑡)

𝑣(𝑡)

𝑅

𝐼Ԧ

ሬԦ 𝑉

Figure I-1: Résistance pure (I-2) (I-3)

 On dit donc que pour une résistance la tension et le courant sont en phase. Inductance Quand dans un circuit le courant est variable, le flux magnétique au sein même du circuit varie. Cette variation de flux produit une f.é.m induite 𝑣 dans le circuit. La f.é.m induite est proportionnelle à la dérivée par rapport au temps de l'intensité 𝑖 du courant, si la perméabilité du milieu est constante. La constante de proportionnalité est appelée autoinductance ou inductance du circuit. 𝑑𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) = 𝐿 × 𝑑𝑡 Capacité La différence de potentiel 𝑣 aux bornes d'un condensateur est proportionnelle à sa charge q. La constante de proportionnalité C est appelée capacité du condensateur

𝑖(𝑡)

𝐿

𝑣(𝑡)

𝐼Ԧ

ሬԦ 𝑉

Figure I-2: Inductance pure (I-4)

𝑖(𝑡)

𝐶

𝑣(𝑡)

𝐼Ԧ

ሬԦ 𝑉

Figure I-3: Capacité pure 𝑣(𝑡) =

1 × ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝐶

(I-5)

 Pour l’inductance et la capacité on dit que le courant et la tension sont diphasé (déphasées

entre elles de 90°). [« v » Diphasé avec un « i »]. 4

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal

I.3- Réseau monophasé (Single Phase circuit) Considérons un système monophasé, composé d’une source de tension sinusoïdale et une charge linéaire (d'éléments résistifs, inductifs et capacitifs). La tension et le courant sont exprimés : 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 : 𝑉𝑚 = √2|𝑉| ; 𝐼𝑚 = √2|𝐼| 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣 ) 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 )  V et I sans indice représente la valeur efficace. La puissance instantanée peut être calculée comme :

(I-6) (I-7)

𝒗

𝒊

C H A R

Figure I-4: Circuit monophasé

1 𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡) × 𝑖(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × [2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣 ) × 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 )] 2 1 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × [𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜑𝑣 + 𝜑𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 )] 2 1 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × [𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 − (𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 )) + 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 )] 2 1 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × [𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 ) 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 ) + 𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 )] 2 1 1 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 ) × (1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 )) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 ) × 𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 ) 2 2 1 1 = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × 𝑐𝑜𝑠(𝜑) × (1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 )) + 𝑉𝑚 𝐼𝑚 × 𝑠𝑖𝑛(𝜑) × 𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 ) 2 2

𝑃 = |𝑉| × |𝐼| × 𝑐𝑜𝑠(𝜑) (I-8) 𝑄 = |𝑉| × |𝐼| × 𝑠𝑖𝑛(𝜑) L'équation montre que la puissance instantanée peut être décomposée en deux parties. • Le premier terme constitue en de deux parties : 𝑝(𝑡) = 𝑃(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 )) + 𝑄 𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 )

𝑎𝑣𝑒𝑐 {

▪ Une valeur moyenne |𝑉| × |𝐼| × 𝑐𝑜𝑠(𝜑) ▪ Une composante alternative de |𝑉| × |𝐼| × 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 ) , oscillant à deux fois la fréquence de ligne. Cette partie n'est jamais négative est appelée puissance unidirectionnelle ou DC. • Le second terme à une composante alternative |𝑉| × |𝐼| × 𝑠𝑖𝑛(𝜑) 𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡 + 2𝜑𝑣 ) oscillant à deux fréquences avec une valeur de crête de |𝑉| × |𝐼| × 𝑠𝑖𝑛 (𝜑) et une valeur moyenne nulle.

I.3.A- Notation par valeurs complexes (phaseur) La présentation en valeur complexe de la tension est 𝑉 = |𝑉|∠𝜑𝑣 et du courant 𝐼 = |𝐼|∠𝜑𝑖 ; On définit une quantité désignée par S, la puissance complexe ou apparente, dont P et Q sont des composantes. Par définition : (I-9) 𝑆 = 𝑉 × 𝐼 ∗ = |𝑉|∠𝜑𝑣 × |𝐼|∠−𝜑𝑖 = |𝑉| × |𝐼|∠𝜑𝑣 −𝜑𝑖 = |𝑉| × |𝐼|∠𝜑 (I-10) 𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 Facteur de puissance (I-11) 𝑃𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 𝑃⁄|𝑆| Facteur de dissipation (I-12) 𝑑 = 𝑡𝑎𝑛 𝛿 = 𝑃⁄|𝑄|

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal I.3.B- Compensation du facteur de puissance L'énergie réactive absorbée par les moteurs et les transformateurs varie peu entre le fonctionnement à vide et le fonctionnement en charge, alors que l'énergie active augmente avec la puissance fournie. À vide ou à faible charge, leur facteur de déphasage sera par conséquent très mauvais, il convient donc : • D’éviter la marche à vide des moteurs • D’éviter le surdimensionnement des moteurs et des transformateurs. Ces règles ne sont pas suffisantes dans la plupart des installations. Dans tous les cas la mise en place d'une batterie de condensateurs est un moyen souple et vite amorti de relever le facteur de déphasage. Le but est d’augmenter le facteur de puissance (habituellement, on veut ramener le facteur de puissance près de 1). Á retenir Si la tension et le courant sont de sens opposés 𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸 𝑺 = 𝑷 − 𝒋𝑸

Charge inductive ; Charge capacitive ;

𝑺 = −𝑷 + 𝒋𝑸 Source inductive ; 𝑺 = −𝑷 − 𝒋𝑸 Source capacitive.

Soit le circuit suivant : Déterminer 𝐼, 𝑖(𝑡), 𝑉𝑟 , 𝑉𝐿 , 𝑉𝑐 ; Trouver par la charge, et le facteur de puissance. 𝜔 = 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Question 1 • Calcul de I 𝑉𝑠 = 𝑉𝑟 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝑐 = 𝑅 × 𝐼 + 𝑗𝜔𝐿 × 𝐼 −

𝑗 ×𝐼 𝜔𝐶

Figure I-5: Circuit RLC

5 × 𝐼 = √17∠ − 76° 𝑉 3 3√17 𝑉𝐿 = 𝑗𝜔𝐿 × 𝐼 = 𝑗15 × ∠ − 76° 5 = 9√17∠14°

𝑉𝑟 =

𝑉𝑐 = −

• Expression de 𝑖(𝑡)

6

𝑉𝑆 = 17∠0° 𝑉

𝐶 = 1⁄25 𝐹

• Expression des tensions

5 𝑗25 × 𝐼 + 𝑗15 × 𝐼 − ×𝐼 3 3 5 = (1 + 𝑗4) × 𝐼 3 51 3√17 51 = = ∠ − 76°𝐴 𝐼= 5 5(1 + 𝑗4) 5√17∠76°

17∠0° =

𝑅 = 5/3𝛺 𝐿 = 5 𝐻

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𝑗 𝑗25 3√17 ×𝐼 = − × ∠ − 76° 𝜔𝐶 3 5 = 5√17∠ − 166°𝑉 𝑖(𝑡) =

3√17 √2 𝑐𝑜𝑠(3𝑡 − 76) 5

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal Question 2 • La puissance totale

• Les puissances par composantes

3√17 ∠76° 5 51√17 ∠76° 𝑉𝐴 = 5 𝑆 = 10.17 + 𝑗40.80 𝑉 𝑃 = 𝑅𝑒(𝑆) = 10.17𝑊 𝑄 = 𝐼𝑚(𝑆) = 40.80𝑉𝐴𝑅 𝑃 10.17 × 5 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = = = 0.2418 |𝑆| 51√17

𝑆 = 𝑉𝑠 𝐼 ∗ = 17∠0° ×

3√17 ∠76° 5 𝑆𝑟 = 10.2∠0° = 10.2 + 𝑗0

𝑆𝑟 = 𝑉𝑟 𝐼 ∗ = √17∠ − 76° ×

3√17 ∠76° 5 𝑆𝐿 = 91.8∠90° = 0 + 𝑗91.8

𝑆𝐿 = 𝑉𝐿 𝐼 ∗ = 9√17∠14° ×

3√17 ∠76° 5 𝑆𝐶 = 51∠ − 90° = 0 − 𝑗51

𝑆𝐶 = 𝑉𝐶 𝐼 ∗ = 5√17∠ − 166° ×

I.4- Réseau triphasé (Three-phase circuit)

I.4.A- Opérateur « a » "a" est un opérateur vectoriel qui consiste à faire tourner de +2π⁄3 le vecteur auquel l’opération est appliquée. On voit alors que : ሬԦ 𝒂𝑽 2𝜋 √3 𝑎 = 1∠ = 1∠120° = −0.5 + 𝑖 3 2 𝟏𝟐𝟎° 4𝜋 √3 𝑎2 = 1∠ = 1∠240° = −0.5 − 𝑖 2 𝟏𝟐𝟎° 3 ሬԦ 𝟏𝟐𝟎° 𝑽 3 0 𝑎 = 𝑎 = 1∠0° = 1 2𝜋 ሬԦ 𝒂𝟐 𝑽 𝑎4 = 𝑎 = 1∠ 3

D'où

1 + 𝑎 + 𝑎2 = 0

1 − 𝑎 = √3∠ − 30° 𝜋 1 − 𝑎2 = √3∠ = √3∠30° 6 𝜋 𝑎2 − 𝑎 = √3∠ − = √3∠270° 2

Figure I-6: Système triphasé

𝑖𝑎 = 1∠210° 1 + 𝑎 = −𝑎2 = 1∠60° 1 + 𝑎2 = −𝑎 = 1∠ − 60° 𝑎2 + 𝑎 = −1 = 1∠180°

I.4.B- Systèmes triphasés équilibrés Un système triphasé équilibré est un ensemble de trois grandeurs sinusoïdales de même nature, de même fréquence, de même amplitude et déphasées entre elles de 2𝜋⁄3. 𝑔1 (𝑡) = 𝐺𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝐺1 = 𝐺∠0° 𝑔2 (𝑡) = 𝐺𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 2𝜋⁄3) 𝐺2 = 𝐺∠ − 2𝜋⁄3 ° 𝑔3 (𝑡) = 𝐺𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 2𝜋⁄3) 𝐺3 = 𝐺∠ 2𝜋⁄3 ° Les trois phases peuvent être connectées sur une ligne triphasée de diverses façons.

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ሬሬሬሬԦ 𝐺2

120° 120° 120°

ሬሬሬሬԦ 𝐺1

ሬሬሬሬԦ 𝐺3

Figure I-7: Système équilibre

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal I.4.B.1- Couplage en étoile ሬሬሬԦ 𝑰𝟏 ሬሬሬሬԦ ሬሬሬԦ 𝑰 𝟐 𝑽𝟐 ሬሬሬԦ 𝑰𝟑

𝒁

𝒁

ሬሬሬሬԦ 𝑽𝟏 𝒏

3 𝒁

120

𝟏𝟐𝟎° ሬሬሬሬԦ 𝑽𝟏 𝟏𝟐𝟎° 𝟏𝟐𝟎°

ሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑼𝟐𝟑

ሬሬሬሬԦ 𝑽𝟑

ሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑼𝟑𝟏

ሬሬሬሬԦ 𝑽𝟑

ሬሬሬሬԦ 𝑽𝟐

2

1

ሬሬሬሬሬሬሬԦ 𝑼𝟏𝟐

Figure I-8: Système triphasé couplage en étoile Une ligne triphasée à quatre fils comporte trois fils de ligne repérés 1, 2 et 3 et un fil neutre N. 𝑣1 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝑣2 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 2𝜋⁄3) 𝑣3 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 2𝜋⁄3)

𝑉1 = 𝑉∠0° 𝑉2 = 𝑎2 𝑉1 = 𝑉∠ − 2𝜋⁄3 ° 𝑉3 = 𝑎𝑉1 = 𝑉∠ 2𝜋⁄3 °

(I-13)

Les tensions 𝑢12 , 𝑢23 𝑒𝑡 𝑢31 entre les fils de ligne sont appelées tensions composées.{𝑈 = 𝑉√3}

𝑢12 (𝑡) = 𝑣1 − 𝑣2 = 𝑈√2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜋⁄6) 𝑢23 (𝑡) = 𝑣2 − 𝑣3 = 𝑈√2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜋⁄2) 𝑢31 (𝑡) = 𝑣3 − 𝑣1 = 𝑈√2 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 5𝜋⁄6)

𝑈12 = (1 − 𝑎2 )𝑉1 = 𝑈∠ 𝜋⁄6 ° 𝑈23 = (𝑎2 − 𝑎)𝑉1 = 𝑈∠ − 𝜋⁄2 ° 𝑈31 = (𝑎 − 1)𝑉1 = 𝑈∠ 5𝜋⁄6 °

(I-14)

Une des caractéristiques importantes de la charge triphasée connectée en Y est la tension des lignes (𝑉𝐿 ), qui peut être exprimée comme : (I-15) 𝑉𝐿 = 𝑉√3 Les courants triphasés possèdent également une symétrie triphasée : 𝐼1 = 𝑉1⁄𝑍 = 𝐼∠ − 𝜃° 𝐼2 = 𝑉2 ⁄𝑍 = 𝐼∠ − 2𝜋⁄3 − 𝜃° 𝐼3 = 𝑉3 ⁄𝑍 = 𝐼∠ 2𝜋⁄3 − 𝜃° 𝑂ù 𝜃 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑑′𝑖𝑚𝑝é𝑑𝑎𝑛𝑐𝑒.

(I-16)

Le courant en lignes sont aussi les courants de phase : 𝐼𝐿 = 𝐼

(I-17)

I.4.B.2- Couplage en triangle Une charge équilibrée connectée triangle (avec des impédances de phase égales) : ሬሬሬԦ 𝑰𝟏

ሬሬሬԦ 𝑰𝟐

ሬሬሬԦ 𝑰𝟑

2

𝒁

𝒋𝟐𝟑

𝒋𝟏𝟐

1 𝒁

𝒁

𝒋𝟑𝟏

3

ሬሬሬԦ 𝑰𝟐

𝒋𝟑𝟏

ሬሬሬԦ 𝑰𝟑

𝒋𝟏𝟐

𝒋𝟐𝟑 ሬሬሬԦ 𝑰𝟏

Figure I-9: Couplage en triangle 𝑗12 = 𝑗∠0°; 𝑗23 = 𝑗∠ − 2𝜋⁄3 °; 𝑗31 = 𝑗∠ 2𝜋⁄3 ° La relation entre les courants de phase et de ligne peut être obtenue par :

𝐼1 = 𝑗12 − 𝑗31 = 𝑗√3∠ − 𝜋⁄6 ° = 𝐼∠ − 𝜋⁄6 ° 𝐼2 = 𝑗23 − 𝑗12 = 𝑗√3∠ − 5𝜋⁄6 ° = 𝐼∠ − 5𝜋⁄6 ° 𝐼3 = 𝑗31 − 𝑗23 = 𝑗√3∠ 𝜋⁄2 ° = 𝐼∠ 𝜋⁄2 °

(I-18)

(I-19)

Les courants de ligne de la charge triphasée connectée en triangle peuvent être exprimée :

8

𝐼𝐿 = 𝐼 = 𝑗√3

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(I-20)

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal I.4.B.3- Puissances La puissance instantanée transportée par une ligne triphasée est égale à la somme des puissances instantanées transportées par chaque phase. Dans le cas du système équilibré, il s'agit de trois fois la puissance dans chaque phase. Considérons une source triphasée équilibrée fournissant une charge équilibrée en étoile ou en triangle avec les tensions et courants instantanées suivantes : 𝑣1 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) 𝑣2 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 − 2𝜋⁄3) 𝑣3 (𝑡) = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 2𝜋⁄3)

𝑖1 (𝑡) = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ) 𝑖2 (𝑡) = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 − 2𝜋⁄3) 𝑖3 (𝑡) = 𝐼𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 + 2𝜋⁄3)

La puissance instantanée totale est la somme de la puissance instantanée de chaque phase, donnée par : 𝑝(𝑡) = 𝑣1 (𝑡) × 𝑖1 (𝑡) + 𝑣2 (𝑡) × 𝑖2 (𝑡) + 𝑣3 (𝑡) × 𝑖3 (𝑡) 𝑝(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 ) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 − 2𝜋⁄3) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 − 2𝜋⁄3) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 2𝜋⁄3) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖 + 2𝜋⁄3)] 1 𝑝(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐼𝑚 [𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 − 4𝜋⁄3) 2 + 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 + 4𝜋⁄3)]

On à 𝑉 = 𝑉𝑚 ⁄√2 , 𝐼 = 𝐼𝑚 ⁄√2 𝑒𝑡 𝜃 = 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 ) + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 − 4𝜋⁄3) + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡 + 𝜃𝑣 + 𝜃𝑖 + 4𝜋⁄3) = 0 (I-21) 𝑝(𝑡) = 3𝑉𝐼 𝑐𝑜𝑠 𝜃 En fait, cette puissance constante est le principal avantage du système triphasé sur le système monophasé. De la même façon en monophasé on aura : Puissance active (I-22) 𝑃 = 3|𝑉||𝐼| 𝑐𝑜𝑠 𝜑 Puissance réactive (I-23) 𝑄 = 3|𝑉||𝐼| 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ∗ Puissance apparente (I-24) 𝑆 = 3𝑉𝐼 = 𝑃 + 𝑗𝑄 Une charge triphasée symétrique en Yn (étoile avec neutre), constituée de trois impédances de 10∠30° 𝛺 chacune, alimentée par des tensions triphasées : 𝑉1 = 220∠0°; 𝑉2 = 220∠240°; 𝑉3 = 220∠120°; Calculez les courants dans chaque ligne. Calculez la puissance active et réactive totale fournie à la charge. Si une rupture du neutre se produit, est-ce qu'il y aura un changement sur les courants ? justifier votre réponse. 𝑉1 220∠0 = = 22∠ − 30° 𝐴 𝑍 10∠ 𝜋⁄6 𝑉2 220∠ −2𝜋⁄3 𝐼2 = = = 22∠ − 150° 𝐴 10∠ 𝜋⁄6 𝑍 𝑉3 220∠ 2𝜋⁄3 𝐼3 = = = 22∠90° 𝐴 { 10∠ 𝜋⁄6 𝑍 Les puissances 𝑆 = 3 × 𝑉1 × 𝐼1∗ = 3 × 220∠0° × 22∠30° = 14520∠30° 𝑉𝐴 𝑃 = 12575 𝑊; 𝑄 = 7260 𝑉𝐴𝑅 Pas de changement sur les courants suite à l’équilibre total des courants 𝐼𝑛 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0 𝐴

Les ligne

9

courants

de

𝐼1 =

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal

Le même exemple avec le couplage en triangle. Les tensions composées sont : 𝜋 𝑈12 220√3∠ 𝜋⁄6 ⟹ 𝑗12 = = = 22√3∠0 𝐴 10∠ 𝜋⁄6 6 𝑍 𝜋 𝑈23 220√3∠ −𝜋⁄2 = = 𝑉2 − 𝑉3 = 220(𝑎2 − 𝑎) = 220√3∠ − ⟹ 𝑗23 = 2 𝑍 10∠ 𝜋⁄6 = 22√3∠ −2𝜋⁄3 𝐴

𝑈12 = 𝑉1 − 𝑉2 = 220(1 − 𝑎2 ) = 220√3∠

𝑈23

𝑈31 = 𝑉3 − 𝑉1 = 220(𝑎 − 1) = 220√3∠ Les courants de ligne sont :

5𝜋 𝑈31 220√3∠ 5𝜋⁄6 ⟹ 𝑗31 = = = 22√3∠ 2𝜋⁄3 𝐴 10∠ 𝜋⁄6 6 𝑍

𝜋 𝜋 𝐼1 = 𝑗12 − 𝑗31 = 22√3∠0 − 22√3∠(2𝜋⁄3) = 22√3(1 − 𝑎) = 22√3√3∠ (− ) = 66∠ − 𝐴 6 6 7𝜋 7𝜋 = 66∠ 𝐴 𝐼2 = 𝑗23 − 𝑗12 = 22√3∠(−2𝜋⁄3) − 22√3∠0 = 22√3(𝑎2 − 1) = 22√3√3∠ 6 6 𝜋 𝜋 𝐼3 = 𝑗31 − 𝑗23 = 22√3∠ 2𝜋⁄3 − 22√3∠ −2𝜋⁄3 = 22√3(𝑎 − 𝑎2 ) = 22√3√3∠ = 66∠ 𝐴 2 2 𝜋 Les ∗ 𝑆 = 3 × 𝑈12 × 𝑗12 = 3 × 220√3∠ × 22√3∠0 = 43560∠30° 𝑉𝐴 6 puissances 𝑃 = 37724 𝑊; 𝑄 = 21780 𝑉𝐴𝑅

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Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal I.4.C- Systèmes triphasés déséquilibrés Un système triphasé déséquilibré est un ensemble de trois grandeurs de même nature, de même fréquence, mais qui ont des amplitudes quelconques et qui sont déphasées d'un angle quelconque. Les puissances active P et réactive Q en régime sinusoïdal triphasé déséquilibré sont les sommes des puissances par phase : (I-25) 𝑃 = 𝑉1 𝐼1 𝑐𝑜𝑠 𝜑1 + 𝑉2 𝐼2 𝑐𝑜𝑠 𝜑2 + 𝑉3 𝐼3 𝑐𝑜𝑠 𝜑3 (I-26) 𝑄 = 𝑉1 𝐼1 𝑠𝑖𝑛 𝜑1 + 𝑉2 𝐼2 𝑠𝑖𝑛 𝜑2 + 𝑉3 𝐼3 𝑠𝑖𝑛 𝜑3 En conséquence, la puissance complexe S est égale à la somme des puissances complexes par phase : (I-27) 𝑆 = 𝑉1 𝐼1∗ + 𝑉2 𝐼2∗ + 𝑉3 𝐼3∗ 𝑉1 𝑉2 𝑉1 𝑉3 𝑉1 𝐼1 = , 𝐼2 = = , 𝐼3 = = Couplage étoile 2 𝑍1 𝑍2 𝑍2 /𝑎 𝑍3 𝑍3 /𝑎 𝑈12 𝑉1 − 𝑉2 𝑉1 𝑉1 𝐽12 = = = (1 − 𝑎2 ) = × √3∠ 𝜋⁄6 𝑍1 𝑍1 𝑍1 𝑍1 𝑈23 𝑉2 − 𝑉3 𝑉1 2 𝑉1 Couplage en triangle 𝐽23 = = = (𝑎 − 𝑎) = × √3∠ 𝜋⁄6 𝑍2 𝑍2 𝑍2 𝑍2 ⁄𝑎2 𝑈31 𝑉3 − 𝑉1 𝑉1 𝑉1 𝐽31 = = = (𝑎 − 1) = × √3∠ 𝜋⁄6 { 𝑍3 𝑍3 𝑍3 𝑍3 ⁄𝑎 𝑎 1 𝑉1 𝑉1 2) 2) 2) (1 − 𝑎 𝐼 = 𝑉 − ) ( 1 1 (1 (1 𝐼1 = 𝐽12 − 𝐽31 = × − 𝑎 − × −𝑎 𝑍1 𝑍3 𝑍1 𝑍3 ⁄𝑎 𝑎2 1 𝑉1 𝑉1 2) 2) 2) (1 − ) − 𝑎 𝐼 = 𝑉 ( (1 (1 × − 𝑎 × − 𝑎 − 𝐼2 = 𝐽23 − 𝐽12 = ⟹ 2 1 𝑍2 𝑍1 𝑍1 𝑍2 ⁄𝑎2 𝑉1 𝑉1 𝑎 𝑎2 2) 2 (1 𝐼3 = 𝐽31 − 𝐽23 = × (1 − 𝑎2 ) − × − 𝑎 𝐼3 = 𝑉1 (1 − 𝑎 ) ( − ) 𝑍3 ⁄𝑎 𝑍2 ⁄𝑎2 { 𝑍3 𝑍2 { Pour un système triphasé équilibré 𝑍 = 𝑍1 = 𝑍2 = 𝑍3 on aura : 𝑉1 𝑉1 𝑉1 𝐼1 = × 3; 𝐼2 = × 3, 𝐼3 = ×3 2 𝑍1 𝑍2 /𝑎 𝑍3 /𝑎 Á retenir

Couplage en étoile *Le courant de ligne égale au courant de phase 𝐼𝐿 = 𝐼∅

*La tension de ligne égale 𝑈𝐿 = √3 × 𝑉∅ Couplage en triangle

*Le courant de ligne égale 𝐼𝐿 = √3 × 𝐼∅ pour un système équilibre. *La tension de ligne égale 𝑈𝐿 = 𝑉∅ Système équilibre Système déséquilibre 𝑷 = 𝟑|𝑽||𝑰| 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝑸 = 𝟑|𝑽||𝑰| 𝒔𝒊𝒏 𝝋

𝑺 = 𝟑𝑽𝑰∗ = 𝑷 + 𝒋𝑸

11

𝑷 = 𝑽𝟏 𝑰𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝟏 + 𝑽𝟐 𝑰𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝟐 + 𝑽𝟑 𝑰𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝝋𝟑 𝑸 = 𝑽𝟏 𝑰𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝝋𝟏 + 𝑽𝟐 𝑰𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝝋𝟐 + 𝑽𝟑 𝑰𝟑 𝒔𝒊𝒏 𝝋𝟑

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𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸

Abderrahmani Abdesselam

Chapitre I : Réseaux électriques en régime sinusoïdal Le même exemple avec le couplage en étoile neutre raccordé à la terre, Modifier les valeurs d’impédances : 𝑍1 = 10∠10° 𝛺; 𝑍2 = 2𝑂∠20° 𝛺; 𝑍3 = 10∠0° 𝛺 𝑉1𝑛 220∠0 = = 21.6658 − 3.8203𝑖 = 22∠ − 10° 𝐴 𝑍1 10∠ 𝜋⁄18 𝑉2𝑛 220∠ −2𝜋⁄3 = = −8.4265 − 7.0707𝑖 = 11∠ − 140° 𝐴 𝐼2 = 20∠ 𝜋⁄9 𝑍2 𝑉3𝑛 220∠ 2𝜋⁄3 𝐼3 = = = −11.0000 + 19.0526𝑖 = 22∠120° 𝐴 𝑍3 { 10∠0 Les puissances 𝑆 = 𝑉1𝑛 × 𝐼1∗ + 𝑉2𝑛 × 𝐼2∗ + 𝑉3𝑛 × 𝐼3∗ = 220∠0° × 22∠10° + 220∠ − 120° × 11∠140° + 220∠120° × 22∠ − 120° = 24840∠10° + 2420∠20° + 24840∠0° = 14520∠30° 𝑉𝐴 𝑃 = 11881 𝑊; 𝑄 = 1668.1 𝑉𝐴𝑅 Pas de changement sur les courants suite à l’équilibre total des courants In = I1 + I2 + I3 = 2.2393 + 8.1616i A

Les courants de ligne

𝐼1 =

Le même exemple avec le couplage en étoile neutre non raccordé à la terre, les valeurs d’impédances sont : 𝑍1 = 10∠10° 𝛺; 𝑍2 = 2𝑂∠20° 𝛺; 𝑍3 = 10∠0° 𝛺 Les courants de ligne

𝑉𝑐 = 12

𝐼1𝑛 + 𝐼2𝑛 + 𝐼3𝑛 1

𝑍1

+

1

𝑍2

+
<...