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Modelos de nacimientos y muerte puros

Cuando se estudian modelos de líneas de espera, se asume que las llegadas y las salidas de los clientes ocurren de acuerdo con el proceso de ingreso y egreso del sistema que de ahora en más se denominarán nacimiento y muerte (para el sistema en cuestión). El término nacimiento hace alusión a la entrada de un nuevo cliente al sistema de fila, mientras que el término muerte significa (en este contexto) la salida de un cliente atendido (Hillier y Lieberman, 1998). El proceso de nacimiento y muerte describe el estado del sistema, en forma probabilística, a través de la función N(t) que devuelve el número de clientes en el sistema a medida que el tiempo (t) aumenta. Este proceso supone que los nacimientos y las muertes individuales suceden de forma aleatoria y dependen solo del estado actual del sistema (Hillier y Lieberman, 1998).

Modelos de nacimiento y muerte puros

Referencias

LECCIÓN 1 de 2

Modelos de nacimiento y muerte puros

Se estudiará el proceso de nacimiento y muerte en base a las siguientes tres suposiciones:

1

Dado un estado de sistema N(t) = n en el que t representa al tiempo y n a la cantidad de clientes en el sistema, la distribución de probabilidad actual del tiempo restante hasta el nacimiento siguiente (llegada del nuevo cliente) es exponencial con parámetro λn. (Hillier y Lieberman, 1998).

2

Dado un estado de sistema N(t) = n en el que t representa al tiempo y n a la cantidad de clientes en el sistema, la distribución de probabilidad actual del tiempo restante hasta la próxima muerte (salida de un cliente atendido) es exponencial con parámetro λn. (Hillier y Lieberman, 1998).

3

Solamente un nacimiento o una muerte pueden ocurrir cada vez.

De esta manera, analizar el sistema de líneas de espera se transformará en el análisis del proceso de nacimiento y muerte. Se asume que el sistema se encuentra en un estado estable, es decir, independiente del estado inicial y del tiempo transcurrido. Este estado se logra después de que el sistema haya funcionado un cierto tiempo. Este supuesto está fundamentado en la complejidad analítica que conlleva describir el comportamiento de un sistema de colas en su inicio o fase transitoria del sistema. Así mismo, la mayoría de los

sistemas de cola alcanzan un estado estable de funcionamiento lo que garantiza que el proceso realizado represente fielmente la situación.

Modelo de nacimiento puro

Se acuerda en llamar modelos de nacimiento puros a aquellos sistemas de líneas de espera en los que solo se permiten llegadas, es decir, solo ingresan nuevos clientes al sistema de colas. Para citar ejemplos, puede considerarse la emisión de certificados de estudios, el ingreso de libros a una biblioteca, las llegadas de colectivos a una estación, etcétera.

Los modelos de nacimiento puro presentan tiempo entre llegadas con distribución de probabilidad exponencial de parámetro λ. Por lo tanto, será P0 (t) la probabilidad de que no haya entradas en el sistema en un intervalo de tiempo t. Esta probabilidad está dada por:

P0 (t) = P {T ≥ t}, que por definición es igual a 1 − P{T < t}, luego:

P0 (t) = 1 − (1 − e−λt) = e−λt.

Por la relación entre la distribución exponencial y la de Poisson, se tiene entonces que la probabilidad de que ocurran n llegadas en el intervalo de tiempo t es:

Luego, la probabilidad de que lleguen cuatro clientes en el transcurso de esos diez minutos es inferior al 1%.

¿Se desea calcular también la probabilidad de que llegue un cliente entre las 10:30 h y las 10:35 si se sabe que el último cliente ingresó a la hora 10:28?

Por la propiedad de la falta de memoria de la distribución exponencial, que el último cliente haya ingresado a las 10:28 es irrelevante para los cálculos. Por lo tanto, solo interesa lo que pasa en el intervalo de 10:30 a 10:35, es decir, durante cinco minutos. Por lo tanto:

OBSERVACIÓN:

En los cálculos de probabilidades con distribución exponencial del modelo de Poisson, la base de la potencia del primer factor es igual al exponente negativo de e del segundo factor y se calcula como λt.

Se debe tener especial cuidado en que tanto λ como t estén expresados en la misma unidad de tiempo, ya que caso contrario, es preciso transformar una de ellas a la unidad de la otra.

Para chequear algunos conceptos vistos en este modelo de nacimientos puros, completemos las sentencias: En la fórmula:

clasifique los datos en:

RELEVANTE

Cantidad de clientes que entran en el sistema.

Cantidad de unidades de tiempo transcurrido.

Tasa de llegada en una determinada unidad de tiempo.

IRRELEVANTE

Hora de llegada del último cliente al sistema.

Horario a partir del cual empiezan a transcurrir las unidades de tiempo.

Tiempo de servicio de un cliente en el sistema.

Modelo de muerte pura Se analizan ahora los clientes que quedan en el sistema transcurrido el tiempo t. Para ello, se supone que en el sistema hay N clientes en el tiempo t = 0 y que ya

no se permiten más ingresos al sistema de colas. Se tiene también una tasa media de servicio con distribución exponencial a la que se notará con μ.

Se denotará como Pn (t), a la probabilidad de que queden n clientes remanentes en el intervalo de tiempo. Es este también un caso de probabilidades con una distribución truncada de Poisson cuya fórmula resulta:

Esta fórmula calculada para n=0 resulta:

Observe que la primera fórmula es idéntica a la usada para nacimientos puros en las que se sustituye “λ“ por:

(tasa de llegada por tasa de salida) y “n” por “(N-n)”, es decir, el número de clientes en sistema se sustituye por la diferencia entre los clientes que hay cuando comienza a correr el tiempo y los que quedan de remanente después de transcurrido el tiempo.

Por otra parte, P0 (t) representa la probabilidad de que el sistema esté ocioso. Este término se utiliza para denominar a aquellos sistemas en los que ya no quedan clientes para ser atendidos (n=0). Esta probabilidad será la complementaria de la suma de las probabilidades de que queden 1, 2, etc., n clientes en sistema. Esto es así por ser excluyentes los sucesos de que queden 0, 1, etc., N clientes. Como la suma de las probabilidades es la unidad, vale que: 1 = P0 (t) + P1 (t) + … + PN (t).

Muertes puras en una sucursal de venta al público de Omega

Faltando diez minutos para el horario de finalización del horario de comercio, en la sucursal de venta al público de Omega, se encuentran ocho clientes en sistema. Se sabe que la tasa de atención del cajero es

Se desea calcular la probabilidad de que resten solo cinco clientes en sistema para comenzar el cierre de cajas.

Como hay ocho clientes (N=8) y son cinco los remantes (n=5), resulta N-n=3. Por otra parte si

reemplazando en la fórmula de la distribución de Poisson, se tiene:

En consecuencia, la probabilidad de que resten solo tres clientes en sistema al horario de cierre es algo más que el 21%.

Modelos generales basados en nacimientos y muertes puros Un modelo general de sistema de colas basado en el proceso de nacimiento y muerte asume que las tasas, tanto de tiempo entre llegadas como de tiempo de servicio, dependen del estado del sistema, o sea, de la cantidad de clientes en el sistema fila. Por ejemplo, si un supermercado tiene muchos clientes en un

determinado tiempo, las tasas del tiempo entre llegadas y tiempo de servicio serán diferentes según haya menos clientes.

Para este análisis general, se aplica la siguiente notación:

n: cantidad de clientes en el sistema fila.

λn: tasa del tiempo entre llegadas cuando el sistema tiene n clientes.

μn: tasa del tiempo de servicio cuando el sistema tiene n clientes.

Pn: probabilidad de que el sistema de fila (en estado estable) tenga n clientes.

Si un sistema de colas en estado estable tiene n clientes en el sistema, entonces solo puede cambiar al estado n + 1 cuando haya una llegada con tasa λn, o al estado n − 1 cuando un cliente finalice su servicio con una tasa de μn. El estado 0 solo puede cambiar al estado 1, es decir, si no hay clientes. Lo único que puede ocurrir es que llegue uno nuevo con tasa λ0. Nótese que μ0 no está definida, ya que, en un sistema con ningún cliente, nadie puede salir del sistema.

Para estudiar el desempeño de un modelo de colas, se considera al sistema en estado estable. En esta situación, las medidas a tener en cuenta son:

1

W = tiempo esperado de espera en el sistema.

2

W q= tiempo esperado de espera en la fila.

3

L = cantidad esperada de clientes en el sistema.

4

Lq = cantidad esperada de clientes en la fila (longitud esperada de la fila).

Si se denota con Pn a la probabilidad de que el sistema (en estado estable) tenga n clientes, entonces se tiene:

Aquí s es la cantidad de servidores ocupados. La relación entre los tiempos esperados y la cantidad esperada está dada por la fórmula de Little:

L = λ.W   y   Lq = λWq

"λ” es la tasa media de entrada a largo plazo y está dada por la siguiente fórmula:



Para más detalles sobre estos conceptos, leer el capítulo 18 de Investigación de Operaciones.

Fuente: Taha, H. (2004). Investigación de operaciones (9.na. ed.). México: Pearson. Recuperado de 

https://jrvargas.files.wordpress.com/2009/01/investigacic3b3n-de-operaciones-9na-edicic3b3n-hamdy-a-taha-

fl.pdf

Revisemos los datos usados para nacimientos puros para distinguirlos de los usados en muertes puras:

NACIMIENTOS PUROS

λ = tasa de llegada

λt = parámetro de la distribución

n = clientes considerados

MUERTES PURAS

N – n = clientes considerados

Para completar esta lectura, reafirmamos algunos conceptos

En los modelos de nacimientos puros, solo se consideran las entradas al sistema pero estos pueden ser de a uno o en grupos.

Verdadero, porque no se puede estimar si los clientes entrarán al sistema de forma individual o grupal.

Falso, porque los modelos de nacimientos puros solo consideran entradas individuales.

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Los modelos de nacimientos puros se denominan así porque solo se admiten ingresos al sistema, es decir, se desestiman las salidas de los clientes atendidos.

Verdadero, ya que se acuerda en llamar modelos de nacimiento puros a aquellos sistemas de líneas de espera en los que solo se consideran llegadas, es decir, solo ingresan nuevos clientes al sistema de colas.

Falso, porque se tienen en cuenta los clientes que ingresan, pero ese número va disminuyendo en la medida en la que lo clientes son atendidos (servidos) y salen del sistema.

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Para calcular la probabilidad de tener determinada cantidad de llegadas (nacimientos) en un tiempo establecido es preciso conocer primero la hora en la que comenzará a transcurrir ese tiempo.

Verdadero, porque como no en todo momento del día las llegadas se mantienen constantes, es preciso saber a partir de qué hora se calculará esa probabilidad.

Falso, ya que para calcular esa probabilidad el momento en el que comience a correr el tiempo es irrelevante, solo basta con saber cuántas unidades de tiempo se considerarán.

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Un sistema se dice ocioso cuando no quedan clientes para ser atendidos.

Verdadero, ya que una vez que han sido atendidos todos los clientes del sistema, este se dice que queda ocioso, pues ya no tiene clientes para atender.

Falso, porque un sistema se dice ocioso cuando deja de funcionar o queda fuera de servicio por algún motivo.

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LECCIÓN 2 de 2

Referencias

Hillier F., y Lieberman, G.(1998).Introdução à pesquisa operacional (traducción propia). Brasil: Campus.

Taha, H. (2004). Investigación de operaciones (9.na. ed.) México: Pearson Educación....