Módulo 3 Prueba de hipótesis PDF

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Prueba de Hipótesis para medias. Una muestra. El problema en que se enfrentan los investigadores no es tanto la estimación de un parámetro poblacional, sino más bien la formación de un procedimiento de decisión que se base en los datos, el cual ofrezca una conclusión acerca de algún sistema científico. Por ejemplo: un investigador médico puede decidir sobre la base de evidencia experimental, si en los seres humanos beber café incrementa los riesgos de contraer cáncer; un ingeniero quizá tenga que decidir sobre la base de datos muestrales si hay una diferencia entre la precisión de dos tipos de medidores. En cada uno de estos casos, se postula o conjetura algo acerca de un sistema. Esta afirmación o conjetura puede estar basada en alguna creencia o experiencia pasada que será contrastada con la evidencia que nosotros obtengamos a través de la información contenida en la muestra. Esto es a lo que llamamos Prueba de Hipótesis. Una prueba de hipótesis comprende cuatro componentes principales: 1) Hipótesis Nula: La Hipótesis Nula, denotada como Ho siempre especifica un solo valor del parámetro de la población. H 0 :   0 2) Hipótesis Alternativa: La Hipótesis Alternativa, denotada como H1 es la que responde nuestra pregunta, la que se establece en base a la evidencia que tenemos. Puede tener las siguientes formas: H 1 :   0 H 1 :   0 H 1 :   0 Como las conclusiones a las que lleguemos se basan en una muestra, hay posibilidades de que nos equivoquemos.

Situaciones posibles al probar una hipótesis estadística: H0 es verdadera No rechace Decisión correcta H0 Rechace H0 Error tipo I

H0 es falsa Error tipo II

Decisión correcta La Probabilidad de cometer un error Tipo I se conoce como Nivel de Significancia, se denota como α y es el tamaño de la región de rechazo. El complemento de la región de rechazo es 1−α y es conocido como el Coeficiente de Confianza. 3) Estadística de Prueba: La Estadística de Prueba es una estadística que se deriva del estimador puntual del parámetro que estemos probando y en ella basamos nuestra decisión acerca de si rechazar o no rechazar la Hipótesis Nula. Ejemplos: z

x  0





conocida

n

;

t

x  0 s n

 desconocida

Siempre se calcula considerando la Hipótesis Nula como si fuera verdadera. 4) Región crítica o de Rechazo La Región de Rechazo es el conjunto de valores tales que si la prueba estadística cae dentro de este rango, decidimos rechazar la Hipótesis Nula. Su localización depende de la forma de la Hipótesis Alternativa: Si

   0 entonces la región se encuentra en la cola derecha de la distribución de

la estadística de prueba.

Si    0 entonces la región se encuentra en la cola izquierda de la distribución de la estadística de prueba.

Si    0 entonces la región se divide en dos partes, una parte estará en la cola derecha de la distribución de la estadística de prueba y la otra en la cola izquierda de la distribución de la estadística de prueba.

Conclusiones de una Prueba de Hipótesis  Si rechazamos la Hipótesis Nula, concluimos que “hay suficiente evidencia estadística para inferir que la hipótesis nula es falsa”  Si no rechazamos la Hipótesis Nula, concluimos que “no hay suficiente evidencia estadística para inferir que la hipótesis nula es falsa” Procedimiento para la prueba de hipótesis 1) Establezca las hipótesis nula y alternativa. 2) Elija un nivel de significancia  fijo. 3) Seleccione un estadístico de prueba adecuado y establezca la región crítica con base en  . 4) A partir del estadístico de prueba calculado, rechace H 0 si el estadístico de prueba está en la región crítica o de rechazo. De otra manera, no rechace H 0. 5) Obtenga conclusiones científicas.

Ejemplos: Una sola muestra: Pruebas con respecto a una sola media (varianza conocida) 1) Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Panamá el año pasado mostró una vida promedio de 71,8 años. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8,9 años. ¿Esto parece indicar que la vida media actual es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0,05. Solución 𝑥 = 71,8

n=100

𝜎=8,9

∝= 0,05

𝜇 = 70

1) 𝐻 : 𝜇 = 70 𝐻 : 𝜇 > 70

2) ∝= 0,05 0,5-0,05 = 0,45 𝑧 =

1,64 + 1,65 2

𝑧 = 1,645

3)

𝑧=

𝑧=

𝑧=

   √

1,64

71,8 − 70 8,9 √100 1,8 0,89

𝑧 = 2,02 4) Rechace H0

Región de rechazo

1,645

2,02

1,65

5) Conclusión: La vida media actual es mayor a 70 años con un nivel de significancia de 0.05. 2) Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal sintético para pesca que afirma que tiene una resistencia media a la ruptura de 8 kg con una desviación estándar de 0,5 kg. Pruebe la hipótesis de que   8kg, si en una muestra aleatoria de 50 sedales y se encuentra que tiene una resistencia media a la ruptura de 7,8 kg. Utilice un nivel de significancia de 0,01. Solución 𝑥 = 7,8

n=50 1) 𝐻 : 𝜇 = 8 𝐻 : 𝜇 ≠ 8

2) ∝= 0,01  

=

, 

= 0,005

0,5 – 0, 005 = 0,495

𝑧 = 

2,57 + 2,58 2

𝑧 = 2,575 

3)

𝑧=

𝑧=

𝑧=

   √

7,8 − 8 0,5 √50 −0,2 0,07

𝑧 = −2,86 4) Rechace H0

𝜎 = 0,5

∝= 0,01

𝜇 = 8

5) Conclusión: La resistencia media del sedal sintético no es de 8 kg con un nivel de significancia de 0.01.

Una sola muestra: Pruebas con respecto a una sola media (varianza desconocida) 3) El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de kilowatts-hora que gastan varios aparatos. Se afirma que un microondas gasta un promedio de 46 kilowatts-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluyen un estudio planeado indica que los microondas gastan un promedio de 42 kilowattshora al año con una desviación estándar de 11,9 kilowatts-hora. ¿En un nivel de significancia de 0,05 esto sugiere que los microondas gastan, en promedio, menos de 46 kilowatts-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatts-hora es normal. Solución n=12

𝑥 = 42

1) 𝐻 : 𝜇 = 46 𝐻 : 𝜇 < 46

2) ∝= 0,05 gl=n-1 = 12-1=11 (grados de libertad) 𝑡 = 1,796

𝑠 = 11,9

∝= 0,05

𝜇 = 46

3)

𝑡=

𝑡=

    √



Región de rechazo

, √

𝑡=

 ,

-1,796

-1,16

𝑡 = −1,16 4) No rechace H 0 5) Conclusión: En promedio los microndas gastan 46 kilowatts-hora con un nivel de significancia de 0.05....