Prueba 3 - soluciones PDF

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UniversidadeVigo

Departamento de Matem´aticas

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Matem´ aticas aplicadas a la Biolog´ıa - Prueba 3 - 22-12-2020 1. Sea f : R → R2 , f (x) = (arctg(x2 ), x3 + 2x). ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La diferencial de f en 1 es df (1) : R → R2 , df (1)(u) = (u, 5u).   2x 2 b) ∇f (x) = , 3x + 2 . 1 + x4 c) La matriz asociada a la diferencial de f en 0 es Df (0) = (0, 2). d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 2. Sea f : R2 → R una funci´on diferenciable. Si F (x, y) = xf (y, x2 y), entonces: a) D2 F (x, y) = D1 f (y, x2 y) + x2 D2 f (y, x2 y). c) D1 F (x, y) = 2xyD2 f (y, x2 y).

b) D1 F (x, y) = f (y, x2 y) + 2x2 yD2 f (y, x 2 y). d) D2 F (x, y) = xD1 f (y, x2 y) + xyD2 f (y, x2 y).

3. Sea f : R → R derivable. Si la funci´on derivada de f viene dada por f ′ (x) = cos(x), ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es FALSA? a) Existe c ∈ (1, 2) tal que f ′ (c) = f (2) − f (1). b) f es continua. c) Existe k ∈ R tal que f (x) = sen(x) + k. d) x = 0 es un extremo de f . 4. Si f (x) = ln(1 − x2 ), ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta? a) f decrece en (−∞, −1). c) x = 1 es un m´ınimo de f .

b) x = 0 es un m´aximo de f . d) Dom f = [−1, 1].

Dada la funci´ on f : R2 → R, f (x, y) = y2 + xy2 − 2xy + 1. Contesta a las siguientes preguntas. 5. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es FALSA? a) (−1, 2) es la direcci´on de mayor crecimiento de f en (1, 1). b) La diferencial de f en (0, 2) es df (0, 2) : R2 → R, df (0, 2)(u, v) = 4v. c) D(1,2)f (2, 0) = 0. d) La matriz jacobiana de f en (0, 0) es Df (0, 0) = (0, 0). 6. La ecuaci´on del plano tangente a la gr´afica de f en el punto (0, 2, f (0, 2)) es: a) 4y − z − 3 = 0.

b) 4y − z − 8 = 0.

c) 4y − z + 5 = 0.

d) 4y − z = 0.

7. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta? a) (0, 0) es un extremo de f . c) (−2, 2) es un m´ınimo de f .

b) (−2, 2) es un m´aximo de f . d) f no tiene extremos.

8. (2 puntos) Sean f y g dadas por f (x, y) = (x cos y, xy, x + ey ) y g(x, y, z) = ((y + 1) ln z, x2 + y2 + z). Calcula la matriz asociada a la aplicaci´on diferencial de g ◦ f en el punto (0, 0). Soluci´ on: La matriz asociada a la aplicaci´on diferencial de g ◦ f en el punto (0, 0) es la matriz jacobiana de f en (0, 0). Por la regla de la cadena D(g ◦ f )(0, 0) = Dg(f (0, 0))Df (0, 0) = Dg (0, 0, 1)Df (0, 0).

Como

 1 0   cos y −x sen y   y x  ⇒ Df (0, 0) =  0 0  , Df (x, y) = y 1 e 1 1     y+1 0 ln z 0 0 1   z ⇒ Dg(0, 0, 1) = Dg(x, y, z) = . 0 0 1 2x 2y 1

Tenemos que D(g ◦ f )(0, 0) = Dg (0, 0, 1)Df (0, 0) =



0 0 1 0 0 1



   1 0  0 0 = 1 1 . 1 1 1 1 

9. (1,5 puntos) Sea f : R3 → R, f (x, y, z) = 2x + eyz + z 2 . Calcula la direcci´on de mayor crecimiento de f en (2, 0, 1). Soluci´ on: Como ∇f (x, y, z) = (2, zeyz , yeyz + 2z). La direcci´on de mayor crecimiento de f en (2, 0, 1) es ∇f (2, 0, 1) = (2, 1, 2)....