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soluciones a los ejercicios propuestos por el libro de la editorial que lleva su nombre para que se puedan comprobar los ejercicios...

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64-65 ACTIVIDADES SOLUCIONES PÁG. 65 1. Difieren en el sentido; son contrarios. Por su parte, módulo y dirección son iguales. 2. a.

11 2

b.

11 17 17

c.

– 17 2 17 ,0 , 34 17

d.

66 2

7. El producto mixto de los vectores a , b y c es el producto escalar entre el vector a y el resultado del producto vectorial b × c , y el resultado es un número, no un vector. Por tanto, el volumen es el valor positivo de dicho resultado.

3. Es el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas dichos vectores.

8.

6 6 6 ,– , 6 3 6

4. Se desarrolla el determinante formado por ellos y se comprueba que es no nulo:

9.

–

–1 1 1 2 2 2 = –4 –1 2 3

10. 7 u3 3 11.

5.

3 10 10 10 3 10 , 0, ; – , 0, – ; (0 , 1 , 0) 10 10 10 10

2 , 1 , –1 2

7 66 u 99

12. x = – 5 6

6. Cero

13. Los puntos de corte del plano con los ejes, que son (a , 0 , 0), (0 , b , 0) y (0 , 0 , c). z

.

20. z = 5

14. 16 u3

21. X = (0 , 2 , –2) + m (1 , – 1 , 0)

15. M 27 – 19 11 5 5 5

22. a. X = (0 , 1 , –1) + m (1 , –1 , 1); X = (1 , 0 , 0) + m (1 , –1 , 1)

16. La afirmación es verdadera.

23. 3x + 2y – z – 2 = 0

17.

x =2 y = – 3 + 2l z =– – l x =2+ l y + 3 z +7 = y = – 3 – 5l ò x – 2 = 1 3 –5 z = – 7 + 3l

b. X = (0 , 1 , –1) + m (1 , –1 , 1); X = (0 , 1 , –1) + m (1 , 1 , 0)

.

SOLUCIONES PÁG. 44 1. a. A = (–3 , –3 , 3)

10. Hay dos vectores que cumplen las condiciones del enunciado:

b. AB = 29

6 5 –3 5 , ,0 5 5

c. C = A + 3 AB = 3 , – 3 , 3 4 4 2 – 2 2. a. (–2 , –1 , 3) b. 10 c. –2 d. e. 102,9° f. (6 , 6 , –2) 2 g. (–6 , –6 , 2) h. (6 , 0 , 18) i. 18 j. 86 k. (42 , 42 , –14) l. 76 3. La proyección de un vector sobre otro es nula si dichos vectores son perpendiculares, y es negativa si el ángulo entre dichos vectores es mayor de 90º.

37 –6 37 ,0, 37 37

4. a.

b.

–7 37 42 37 ,0 , 37 37

5. { i = (1 , 0 , 0), j = (0 , 1 , 0), k = (0 , 0 ,1)} 6. El valor de su coordenada v2, es decir, –1. 7. a. M 3 , 0 , 1 2 2

11. M 1 , 9 , 13 2 4 12. MAB = 3 , 3 ,1 ; MBC = 1 , –1 , 5 ; MAC = 5 ,– 3 ,– 1 2 2 2 2 2 2 13. El vector c no es perpendicular al eje X para ningún valor de x. 14. a. x = –4

9. x = – 1 2

b. x = 18

15. Los vectores dados en el enunciado de la actividad no pueden ser paralelos para ningún valor de x . 16. Ver páginas 51 y 53 del volumen de teoría. 17. a. m n =

b. M 9 ,0 , –1 5

8. La respuesta correcta es a. , ya que el resultado de multiplicar un vector por un número negativo es otro vector de igual dirección y sentido contrario. En este caso el módulo del vector resultante es el mismo que el del vector de partida.

–6 5 3 5 , , 5 5 0

5 14 7

b. nm = 10 c. 32,31° d. El ángulo que forma m con el eje Z es igual a 90° y el ángulo que forma n con el eje Z, 122,3°. 18. Los motores llevarán una velocidad de 388,85 km/h, con ángulo de 92,41° medido desde el eje de abscisas.

SOLUCIONES PÁG. 45 19. El volumen es igual a 1 u3. 20. El máximo valor se obtiene cuando los tres vectores son perpendiculares y es igual al producto de sus módulos. El mínimo valor se obtiene cuando los vectores son coplanarios y es 0.

28. a. Sí forman una base.

b. No forman una base. c. Sí forman una base. 29. a = 1 · (1 , 0 , 0) + (–1) · (0 , 1 , 0) + 5 · (0 , 0 , 1)

21. 8 u

3

30. 22.

8 5 u 5

23. a. k = –1

b.

170 2 u 2

24. Los tres puntos están alineados, por lo que no forman un triángulo. 25. a. El cuarto vértice tiene coordenadas D (0 , 2 , 2), y el área del paralelogramo es igual a 8 u2.

31. El determinante que forman los tres vectores dados en el enunciado de la actividad es 18, es decir no nulo, luego son linealmente independientes y, por tanto, forman una base de ℝ3. Las coordenadas del vector (1 , 2 , 3) en dicha base son: – 16 , – 1 ,– 2 9 9 3 32. a. {(1 , 2 , –1), (1 , –1 , –1), (–3 , 0 , –3)}

b.

b. El paralelogramo es un rombo. 26. a. La afirmación es falsa.

b. La afirmación es falsa.

4 , 2 ,– 5 13 13 13

33.

– 2 6 6 – 6 3 – 3 – 3 – 2 , , , , , , ,0 , 6 3 6 3 3 3 2 2 2 5 – 5 5 2 5 , ,0 , , ,0 , 0 ,0 ,1 5 5 5 5

c. La afirmación es verdadera. 27. (–1 , –2 , 5)

34. a. k = ±1

b. k = –2

c.

2 2 ,0 , 2 2

MATEMÁTICAS | VECTORES, RECTAS Y PLANOS | UNIDAD 03

SOLUCIONES PÁG. 45 35. a. El producto vectorial es nulo y el producto escalar alcanza el valor máximo, a · b .

b. El producto vectorial es nulo y el producto escalar alcanza el valor mínimo, – a · b . 36. a. 1 , –1 , 1 2 2

b.

6 – 6 6 , , 6 6 3

c.

37. El producto mixto de vectores es nulo si alguno de ellos es el vector nulo o si dichos vectores son coplanarios. 38.

a , b , c = 3.

6 2

6 – 6 6 –4 21 –2 21 21 – 2 – 2 , , 0 . , , , , , , 6 6 3 21 21 21 2 2

d.

No puede ser una base ortonormal ya que a y b no son perpendiculares. SOLUCIONES PÁG. 46 39. a. Los tres vectores son linealmente independientes.

48. a. La afirmación es falsa. Respuesta abierta.

b. Como los tres vectores son linealmente independientes, pueden generar todo el espacio tridimensional, por lo que son una base de ℝ3. 40. La afirmación es verdadera, ya que si tres vectores son coplanarios, son linealmente dependientes y no pueden generar el espacio tridimensional, es decir, no son una base. 41. El valor que cumple la condición a , b , c = 3 es x = –2. 42. x =

b. La afirmación es verdadera. Respuesta abierta. c. La afirmación es verdadera. Respuesta abierta. d. La afirmación es verdadera. Respuesta abierta. 49. a. La afirmación es falsa. Respuesta abierta.

b. La afirmación es verdadera. Respuesta abierta. 50. a. Los puntos A, B, C y D son coplanarios, ya que los vectores AB, AC y AD son dependientes.

b. El polígono ABCD es un paralelogramo ya que AB || DC y AD || BC . Su área es igual a 2 251 u2.

5 14 – 1 3

43. a. u + v

b. –2 u – v

c. u – v

51. a. Área = 2 17 u2

b. Volumen =

44. c = (0 , 4 , 2) 45. P (1 , 1 , 0) y Q (1 , 2 , –2)

50 u3 3

52.

x –3= y = z +1 1 –1 0

56.

x = 2+ l y = – 5 + 2l z = 3 – 2l

46. Existen dos soluciones: x1 = (2 , –1 , –2) y x2 = 1 , – 8 , 4 . 3 3 3 47.

1 , 2 , –1 ; –1 , 2 , 1 2 2 2 2 2 2

SOLUCIONES PÁG. 47 53. a. La afirmación es verdadera.

b. La afirmación es verdadera. c. La afirmación es verdadera. 54. El punto A pertenece a la recta. Dos puntos más de dicha recta son: (0 , 4 , –6) y (2 , 0 , –4). Un vector director es v = (1 , –2 , 1). 55. Ecuación vectorial: ( x , y , z) = (2 , 4 , –1) + λ (–1 , –1 , 3)

x , y , z) = (1 , 1 , 0) + α (2 , –3 , 5) x = 1+ 2a Ecuación paramétrica: y = 1 – 3 a z = 5a

x =2 – l Ecuación paramétrica: y = 4 – l z = –1 + 3 l – 2 = – 4= + 1 –1 –1 3 Ecuación implícita:

x – y = –2 3y + z = 11

–1= –1 = 2 –3 5 Ecuación implícita:

3x + 2 y = 5 5y + 3z = 5

SOLUCIONES PÁG. 47 58. Ecuación paramétrica: r ≡

r≡

x = 2m y = –3 + m z =1 – m

66. Eje X:

y –1 z Eje Y: x = = 0 0 1

x – 2y = 6 x + 2z = 2

59. Se obtiene primero la ecuación continua de la recta y, después, se desarrollan las proporciones que aparecen en esta ecuación. De esta forma se obtiene un sistema compatible indeterminado, por lo que se puede prescindir de una de las ecuaciones. 60. a. A (–3 , –2 , 0) y B (–9 , –5 , 1)

b. v = (–6 , –3 , 1)

x –1 y z = = 1 0 0

y Eje Z: x = = z – 1 0 0 1 67. Como la recta solicitada es paralela al eje Y, su vector director será

(0 , 1 , 0). Su ecuación implícita es:

x =1 z=2

68. Hay un error en el enunciado. Se debe solicitar la forma paramétrica de los ejes:

x = 1+ l Eje X: y = 0 z =0

x = –3 – 6 t c. y = –2 – 3 t z =t

x=0 Y: y =1 + l z =0

c. A (4 , 0 , 2) y B (2 , 1 , 1)

x= 0 Z: y = 0 z =1 + l

62. Respuesta abierta. 63. (x , y , z ) = (2 , 0 , –1) + α (0 , 1 , 0) 64. Ambas rectas, al ser paralelas, tendrán la misma dirección, con lo cual, se toma el mismo vector director v = (2 , 0 , 1). La ecuación

x = 3 + 2m paramétrica de la recta solicitada es: t ≡ y = – 1 z = – 5+ m

del espacio donde se cortan dos planos. Se trata de un sistema de tres incógnitas y dos ecuaciones, es decir, un sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

70. x = 2, y = 4

– 3= y = z+ 1 71. a. x –1 2 3 y b. x – 3 = = z + 1 2 0 1 72.

x – 2 y+ 1 z –2 = = –3 1 1

SOLUCIONES PÁG. 48 73. Respuesta abierta.

79. Respuesta abierta.

74. 6x – 3y + 9z – 39 = 0

80. Hay infinitas soluciones: 3x + 4 y – z + D = 0

75. 3x – 5y – 4z + 4 = 0

81. a. 3x – y + 2z = 11

76. Solo pertenece al plano el punto B. 77. Ecuación vectorial: ( x , y , z ) = (3 , 2 , –1) + λ (3 , 1 , 2) + μ (1 , –1 , –7)

x = 3 + 3l + µ Ecuación paramétrica: y = 2 + l – µ z = – 1 + 2l – 7µ

x + 23 y – 4 z = 35 78. a. Los tres vectores son linealmente dependientes. b. 2 x + y – z + 3 = 0

y z c. La ecuación segmentaria del plano es: x + + =1 . Los –3 –3 3 2 3 puntos de corte del plano con los ejes cartesianos son – , 0 , 0 , 2 (0 , –3 , 0) y (0 , 0 , 3).

b. (x , y , z ) = (4 , –1 , 2) + λ (3 , –1 , 2) 82. a. 2x – 2y + 3z – 10 = 0

b. (x , y , z ) = (1 , –1 , 2) + λ (2 , –2 , 3) 83. a. 5x + 4y – 3z – 6 = 0

b. En el vértice A el triángulo ABC no es rectángulo. c. r ≡ (x , y , z ) = (1 , 1 , 1) + λ (–2 , 1 , –2) d. Existen dos soluciones: P (–7 , 5 , –7) y Q (9 , –3 , 9).

MATEMÁTICAS | VECTORES, RECTAS Y PLANOS | UNIDAD 03

84. a. Las caras del tetraedro son los planos de ecuaciones: –x + y + 2 z = 0; 2x + 11y – 4 z – 26 = 0; 5x + 8 y + 3z – 13 = 0 y 10x + 16 y + 19 z – 52 = 0.

b. Si se representan los planos que pasan por los tres vértices que definen cada cara, se obtienen, en la Vista algebraica, las ecuaciones calculadas en el apartado anterior. En la imagen puede observarse que se han ocultado los planos que contienen las caras para que pueda apreciarse el tetraedro.

86. y + 3z + 3 = 0 87. 2x + y – 2 = 0 88. a. α’ ≡ 5x – 7y – 16z +17 = 0

x =1– 5 l b. r ≡ y = l z = – 1– 2l x= l XY ≡ y = g XY ≡ z = 0 z =0 x= l XZ ≡ y = 0 XZ ≡ y = 0 z= g x=0 YZ ≡ y = l YZ ≡ x = 0 z =g

85. a. 2x + y + 2 z – 2 = 0

b. 2x – y – z + 3 = 0

c. 4 u3 3

x =l 90. La ecuación general es: z = –5, y la ecuación paramétrica: y = g z = –5

SOLUCIONES PÁG. 49 COSENOS DIRECTORES

FUERZAS CONCURRENTES Y EQUILIBRIO ESTÁTICO

1. 7 8

1. Se toman vectores en el plano bidimensional.

2. cos a =

ax a

; cos b =

ay a

y cos g =

az a

3. a = 2 2 i + 4 j + 14 k 3 9 4. Los triángulos que el vector forma con los ejes son rectángulos. 5. ua =

2 i+1 j+ 7 k 2 3 18

6. Los cosenos directores coinciden con las coordenadas del vector unitario. 7. a

a cos a i

a cos = b j + a cos + g k

8. Se elevan al cuadrado y se suman las expresiones obtenidas en el apartado 2. ay 2 a 2 a 2 a2x + a2y + a2z + z = =1 cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = x + 2 a a a a

Fuerza 1 ( F1 ), es el vector ubicado en el eje X , de módulo 5, y cuyas componentes son: (5 , 0) N. Fuerza 2 ( F2 ), es el vector ubicado en el primer cuadrante, de módulo 7, que forman un ángulo de 85º con F1 . Sus coordenadas son: (7cos 85º , 7sen 85º) = (0,61 , 6,97) N. Por último, Fuerza 3 ( F3 ) es el vector que forma un ángulo de 146º con F2 , es decir, forma un ángulo de 146º + 85º con F1 , es decir, con el eje X . Sus coordenadas son: (9cos 231º , 9sen 231º) = (–5,66 , –6,99) N. La suma de los tres vectores resulta: F1 + F2 + F3 = = (5 , 0) + (0,61 , 6,97) + (–5,66 , –6,99) = (–0,05 , 0,02) N. Puede concluirse que el resultado es casi nulo, y el error se debe a las dificultades de medida del montaje....