Prueba 2 - soluciones PDF

Preview

Summary

soluciones...

Description

Departamento de Matem´aticas

UniversidadeVigo

http://faitic.uvigo.es

Matem´ aticas aplicadas a la Biolog´ıa - Prueba 2 - 1-12-20 1. (1.75 puntos) Demuestra que la ecuaci´on x sen(x) − cos(x) = 0 tiene soluci´on en [0,

π ]. 2

π ] → R, f (x) = x sen(x) − cos(x), es continua, por ser suma de funciones 2 π π π continuas, f (0) = −1 < 0 y f ( ) = > 0. Por el teorema de Bolzano, existe c ∈ (0, ) tal que f (c) = 0, 2 2 2 π por tanto c ∈ (0, ) es una soluci´on de x sen(x) − cos(x) = 0. 2 p 5 2. (2.5 puntos) Sea f la funci´on dada por f (x) = x + ln2 x. Soluci´ on: La funci´on f : [0,

a) Expresar f como una composici´on de funciones. (0.75 puntos)

b) Calcular la derivada de f . (1 punto) c) Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en (1, f (1)). (0.75 puntos) √ Soluci´ on: a) f = h ◦ g con g : (0, +∞) → R, g(x) = x + ln2 x, y h : R → R, h(x) = 5 x. 1

b) Como f (x) = (x + ln2 x) 5 ,

4 1 f (x) = (x + ln2 x)− 5 5

′

c) Como f (1) = 1 y f ′ (1) =

  2 ln x = 1+ x

1 q

5 5 (x + ln2 x)4

  2 ln x . 1+ x

1 , la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en (1, f (1)) es 5

4 1 x+ . 5 5   x+y 3. (5.75 puntos) Sea f la funci´on dada por f (x, y) = exy sen x, . Calcular: 4x − y a) el dominio y las funciones coordenadas de f . (0.75 puntos) y − f (1) = f ′ (1)(x − 1) ⇒ y =

b) el l´ımite de f en (0, 1). (1 punto) c) las derivadas parciales de las funciones coordenadas de f . (3 puntos) d) las derivadas parciales de f en (0, 1). (1 punto) Soluci´ on: a) A = Dom f = {(x, y) ∈ R2 , y 6= 4x}. Las funciones coordenadas de f son f1 , f2 : A ⊂ R2 → R, f1 (x, y) = exy sen x, f2 (x, y) = b)

x+y . 4x − y

 exy sen x = 0   lim f (x, y) = (0, −1). ⇒ x+y (x,y )→(0,1) lim = −1  lim f2 (x, y) = (x,y )→(0,1) (x,y )→(0,1) 4x − y lim

(x,y )→(0,1)

f1 (x, y) =

lim

(x,y )→(0,1)

c) D1 f1 (x, y) = yexy sen x + exy cos x. D2 f1 (x, y) = xexy sen x. 4x − y − 4(x + y) 5x 4x − y + x + y −5y . D1 f2 (x, y) = = . D2 f2 (x, y) = = (4x − y)2 (4x − y)2 (4x − y)2 (4x − y)2 d) D1 f (0, 1) = (D1 f1 (0, 1), D1 f2 (0, 1)) = (1, −5). D2 f (0, 1) = (D2 f1 (0, 1), D2 f2 (0, 1)) = (0, 0)....