NA - Medidas de Tendência Central e de Posição PDF

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Material sobre medidas de tendência central e de posição ...

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1.3. Medidas de tendência central e de posição

Organizar um conjunto de dados, apresentando-os seja sob a forma de tabelas, seja sob a forma de gráficos. É uma das formas de condensar as informações para que sejam analisadas. Há situações, porém, em que não estamos interessados nos padrões de um grupo, mas em caracterizá-los como um todo. Podemos ter questões como: Qual o salário médio do trabalhador brasileiro? Qual a cidade mais poluída? Qual a nota que divide os alunos de uma turma em um grupo superior e o outro inferior? Para responder a estas questões necessitamos de um número único, que represente todos os valores obtidos pelo grupo. Este número possibilita a caracterização do grupo como um conjunto e tende a se condensar no centro da série; desse fato deriva o termo "medida de tendência central". Então, a medida de tendência central ou de posição fornece uma descrição mais compacta do que as tabelas e os gráficos, ela focaliza a atenção na natureza dos dados medidos, o que implica em certa perda de informação sobre a complexidade dos mesmos. Sendo assim, a utilização de medidas de posição não substitui o uso das tabelas e gráficos.

Principais medidas de tendência central 

Média: Média Aritmética



Média Cúbica Mediana  M d 



Moda  M o 

___

X ;

Média Harmônica; Média Geométrica; Média Quadrática;

1

1.3.1 Média

É um valor típico representativo de um conjunto de dados. Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição. ___

i) Média aritmética simples

X 

A média aritmética simples, para uma população, é dada por Dados não agrupados

Dados agrupados k

N

 f.x

x 

i

i 1



N

i 1

i

i

N

onde xi: valores observados ou ponto médio fi: freqüência absoluta N: tamanho da população k: nº de valores ou intervalos Para uma amostra, a média aritmética simples é calculada por Dados não agrupados n

X

 i 1

Dados agrupados k

xi

n

X

 f .x i 1

i

i

n

onde xi: valores observados ou ponto médio fi: freqüência absoluta n: tamanho da amostra k : nº de valores ou intervalos 2

Propriedades: 1. A média de um conjunto de números sempre pode ser calculada. 2. Para um dado conjunto de números, a média é única. 3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor de um conjunto, a média ficará, respectivamente, somada ou subtraída do valor da constante. Analogamente, multiplicando-se ou dividindo-se por uma constante cada valor de um conjunto, a média ficará multiplicada ou dividida, respectivamente, pela constante. 4. A soma dos desvios dos números de um conjunto em relação à média é zero, isto é,

(x  μ)  0 i

5. A média é sensível a todos os valores de um conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica. Exemplo: Em um concurso a média mínima para ser aprovado é cinco; um candidato obteve neste concurso as seguintes notas: 1; 5; 6; 3 e 9. Pergunta-se este candidato foi aprovado ou não? 5

X X

i

i 1



5

X1  X 2  X3  X4  X5 1 5  6  3 9 24    4,8 5 5 5

Portanto, o candidato não foi aprovado.



ii) Média aritmética ponderada Xp A média ponderada é uma média aritmética na qual cada valor se encontra ponderado de acordo com sua importância (peso) no grupo total. Sua formula é dada pela soma do produto dos valores observados com o seu respectivo peso, dividido pela soma dos pesos. Tem como 

símbolo ( Xp ) n __

Xp 

px

i i

i 1 n

p

 i

p1 x1  p2 x2  p3 x3  ...  pn xn p1  p2  p3  ... pn

i1

Exemplo: Em um concurso de vestibular o candidato é submetido às provas de: Química, Física, Matemática, Língua Portuguesa e Conhecimentos Gerais. Um candidato ao curso de Estatística, obteve uma pontuação de: 25 em Química, 15 em Física, 26 em Matemática, 30 em Língua Portuguesa e 30 em Conhecimentos Gerais. Estas provas tinham pesos respectivos de 2; 3; 4; 2 e 4. Qual a pontuação adquirida por este candidato ao final do concurso? 3

Xp 

p1 x1  p2 x2  p3 x3  p 4 x4  p 5 x5 25 2  15 3 26 4 30 2 30 4   25, 27 pts p1  p2  p3  p4  p5 2 3 4  2  4

iii) Média aritmética para dados agrupados em distribuição de frequências.

ii) Média Harmônica É o inverso da média aritmética dos inversos. Média Harmônica Simples:(para dados não agrupados)

ou

..

Exemplo - Calcular a média harmônica simples dos seguintes conjuntos de números: a) { 10, 60, 360 }. Resp:.. 3/(1/10+1/60+1/360) = 25,12 b) { 2, 2, 2, 2 } . Resp:... . 4/(1/2+1/2+1/2+1/2) = 2.... .Média Harmônica Ponderada: (para dados agrupados em tabelas de freqüências)

.. Exemplo - Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo: classes

....fi.... ....xi.... ........fi/xi........

1 |--------- 3 2

2

2/2 = 1,00

3 |--------- 5 4

4

4/4 = 1,00

5 |--------- 7 8

6

8/6 = 1,33

7 |--------- 9 4

8

4/8 = 0,50

9 |--------- 11 2

10

2/10 = 0,20

total

20

4,03

Resp: 20 / 4,03 = 4,96

4

Propriedades da média harmônica A média harmônica é menor que a média geométrica para valores da variável diferentes de zero. h<

g.. e por extensão de raciocínio podemos escrever :..

h<

g<

OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série. A igualdade

g=

h.=

....só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.

OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação: g=(

.+

h ) /.2

Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados: z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 } Média aritmética = 51,3 / 5 = 10,2600 Média geométrica = 10,2587 Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,2574 Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica iii) Média Geométrica É a raiz n-ésima do produto de todos eles.

Média Geométrica Simples:

ou .

Exemplo - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:E a) { 10, 60, 360 }..R: 60 b) { 2, 2, 2 }...R: 2 c) {1, 4, 16, 64}..R: 8 .

5

Média Geométrica Ponderada:

ou .. Exemplo - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo: ...xi... ...fi... 1

2

3

4

9

2

27

1

total 9 R: 3,8296 .Propriedades da Média Geométrica 1ª propriedade: O produto dos quocientes de cada valor de um conjunto de números pela média geométrica do conjunto é = 1. Exemplo - Comprovar a 1ª propriedade da média geométrica com os dados { 10, 60, 360 } g = 60... onde:... 10/60 x 60/60 x 360/60 = 1 .2ª propriedade: Séries que apresentam o mesmo número de elementos com o mesmo produto têm a mesma média geométrica. Exemplo - Comprovar a 2ª propriedade da média geométrica com os dados: a = {8 e 12,5}.........b = {2 e 50} ga = 10 .....................

gb = 10

.3ª propriedade: A média geométrica é menor ou igual a média aritmética. A desigualdade g < ..sempre se verifica, quando os valores da série forem positivos e nem todos iguais. Se entre eles houver um ou mais zeros, a média geométrica será nula. A igualdade

g=

..só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.

.

6

4ª propriedade: Quanto maior a diferença entre os valores originais maior será diferença entre as médias aritmética e geométrica. Veja na tabela a seguir: conjunto

média aritmética média geométrica

X = {2, 2}

2

2

Y = {14, 16} 15

14,97

W = {8, 12} 10

9,8

Z = {2, 50} 26

10

iv - Média Quadrática É a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados - Média Quadrática Simples: (para dados não agrupados)

Exemplo - Calcular a média quadrática simples do seguinte conjunto de números: a = { 2 , 3 , 4 , 5 } ....Resp: 3,67 - Média Quadrática Ponderada: Quando os valores da variável estiverem dispostos em uma tabela de freqüências, a média quadrática será determinada pela seguinte expressão:

Exemplo - Calcular a média quadrática dos valores da tabela abaixo: classes

....fi.... ....xi.... ...

...

2 |--------- 4

5

3

9

45

4 |--------- 6

10

5

25

250

6 |--------- 8

12

7

49

588

8 |--------- 10 10

9

81

810

10 |-------- 12 5

11

121

605

total

42

. fi

2298

.Resp: 7,40, extraindo-se a raiz quadrada sobre 2298/42 OBS: Sempre que os valores de X forem positivos e pelo menos um dado diferente é válida a seguinte relação:

q>

>

g>

h 7



A igualdade entre as médias acima se verifica quando os valores da variável forem iguais (constantes)



A média quadrática é largamente utilizada em Estatística, principalmente quando se pretende calcular a média de desvios (x - .), em vez de a média dos valores originais. Neste caso, a média quadrática é denominada desvio-padrão, que é uma importante medida de dispersão.

v) Média Cúbica A

média

cúbica

é

a

raiz

cúbica

da

média

aritmética

dos

cubos

dos

dados:

Média cúbica simples:

Média cúbica ponderada:

8...