Paniere Completo Analisi 2 - Test di preparazione d\'esame - Unimercatorum - Analisi 2 PDF

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Summary

Determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni estabilire se la convergenza è uniforme: fn(x) = nx e^-nx , x ∈ [0, 1]:converge ma non uniformemente a f(x) = 0La successione di funzioni fn(x) = 3x/n:converge a f(x) = 0La successione di funzioni fn(x) = 1/n:converge a f(x) = 0La...

Description

Determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni e stabilire se la convergenza è uniforme: fn(x) = nx e^-nx , x ∈ [0, 1]: converge ma non uniformemente a f(x) = 0

La successione di funzioni fn(x) = 3x/n: converge a f(x) = 0

La successione di funzioni fn(x) = 1/n: converge a f(x) = 0

La successione di funzioni fn(x) = 1: converge a f(x) = 1

Una serie di potenze altro non è che una particolare serie di funzioni.: Vero.

Sia fn una successione di funzioni. Si dice che fn converge in un punto x0: se la successione (fn(x0)) converge

La convergenza uniforme: implica la convergenza puntuale

La successione di funzioni fn(x)=(1-x)x^n, x appartenente a [0, 1]: converge a f(x) = 0

La convergenza puntuale: non implica la convergenza uniforme

Il criterio generale di convergenza di una serie: fornisce condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza di una serie

Per rappresentare graficamente una funzione di due variabili esistono le seguenti due possibilità: 1 Rappresentazione cartesiana e 2. Linee di livello

Si determini e si disegni l'insieme di definizione della funzione f(x, y) = log(1 - x2 - y2): x2 + y2 < 1, cioè (x, y) deve essere all'interno della circonferenza centrata nell'origine di raggio 1

Un'applicazione F : R2 → R2 è una legge che associa ad un punto di R2 un altro punto di R2 ; quindi ad una coppia di coordinate (x1, x2) corrisponde un'altra coppia (y1, y2) = F(x1, x2); tale scrittura sta a significare: che la coordinata y1 cambierà in dipendenza da come cambiano x1 e x2 e la stessa cosa accadrà per y2, cioè ad ogni coppia (x1, x2) coorisponderà uno e un solo valore y1 e uno e un solo valore y2, questo è equivalente a dire che esistono due funzioni f1, f2 : R2 → R per cui y1 = f1(x1, x2) e y2 = f2(x1, x2).

Per ogni z ∈ C possiamo considerare una funzione f : C → C come una funzione che a z associa w ∈ C. Ricordiamo che ad ogni z = x+iy possiamo associare un punto di R 2 di coordinate (x, y), e se w = a+ib gli possiamo associare il punto di R 2 di coordinate (a, b). Quindi alla funzione f `e associata una funzione - che continuiamo a chiamare f definita e a valori in R2 , che ad un punto (x, y) associa un punto (a, b) cio`e f(x, y) = (a, b); per cui rimangono definite due funzioni u, v : R2 → R tali che a = u(x, y) e b = v(x, y), e f(z) = u(x, y) + iv(x, y).: Le funzioni u e v si dicono, rispettivamente, parte reale e parte immaginaria della funzione f

Possiamo individuare ogni punto del piano usando le coordinate cartesiane, ma possiamo anche usare le coordinate polari, cioè si usano le trasformazioni x = r cos θ e y = rsenθ r = RADQ(x2+y2) θ ∈ [0, 2π]. Quindi r è la distanza del punto di coordinate (x, y) dall'origine.: Pertanto il limite diventa limr->0 f(r cos θ, rsenθ) = l = lim(x,y)→(0,0) f(x, y)

Le derivate parziali sono utili nella ricerca dei punti di massimo e di minimo delle funzioni di due variabili: è vero

Selezionare la definizione esatta: un punto (x0, y0) si dice punto critico se fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0

Se le funzioni x(t), y(t) sono derivabili in t ∈ I e f è differenziabile in (x(t), y(t)) ∈ A, allora: la funzione F(t) = f(x(t), y(t)) è derivabile in t

Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell'origine della seguente funzione: f(x, y) = sen x sen y: f(x, y) = xy + o( x 2 + y 2 )

Determinare le linee di livello e l'immagine della seguente funzione: f(x, y) = 2x − 5y: y = (2x − k)/ 5 , per ogni k ∈ R. Im(f) = R

Sia r : I → R3 de finita da r(t) = (cost + π, et − 1, si t2 ). Quale e lim t → 0 r(t): (1 + π, 0, 0)

Sia r : I → Rm con I intervallo di R. Sia t0 ∈ I e sia l ∈ Rm. Si dice che limt→t0 r(t) = l se limt→t0 |r(t)-l| = 0: vero

Si dimostra che molte delle proprietà dei limiti per funzioni reali di una variabile reale si estendono in maniera immediata nel caso di funzioni a valori vettoriali, come ad esempio: il teorema di unicità del limite, il teorema sul limite della somma o del prodotto e la definizione di funzione continua (in particolare una funzione a valori vettoriali è continua se e solo se lo sono tutte le sue componenti)

Calcolare (se esiste) il seguente limite: lim(x,y)→(0,0) (x3y /x4 + y2): e il limite esiste e vale 0

Sia Fn la successione di Fibonacci definita per ricorrenza da F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn-1 per n ≥ 1. Il suo insieme di convergenza e: (−r, r)

Sia Fn la successione di Fibonacci definita per ricorrenza da F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn-1 per n ≥ 1: Fn è diverso da 0 per ogni n numero naturale

Una funzione vettoriale f = (f1, . . . , fm) ha limite se, e solo se, ogni sua componente fj ha limite reale per ogni j = 1, . . . , n: vero

Se una unzione f ha limite l = 0 non si può concludere nulla sul segno locale di f: vero

Indicare il nome del Teorema che lega il limite di una funzione composta ai limiti delle funzioni componenti: Teorema di Sostituzione

Data una funzione in due variabili indipendenti f(x,y) la derivataparziale rispetto a x è …: la derivata della funzione rispetto a x mantenendo y costante

Data una funzione in due variabili indipendenti f(x,y) la derivataparziale rispetto a y è …: la derivata della funzione rispetto a y mantenendo x costante

Una funzione parzialmente derivabile …: non è necessariamente continua

Nel caso di funzioni in due variabili indipendenti, ognuna delle due derivate parziali prime può essere derivata rispetto alle due variabili indipendenti.: Quindi, la funzione avrà 4 derivate parziali seconde.

Nel caso di funzioni in due variabili indipendenti, la funzione avrà 4 derivateparziali seconde. Quali delle seguenti è una delle 4 derivate parziali seconde?: derivata parziale seconda pura rispetto a x la derivata parziale rispetto a x della derivata parziale prima rispetto a x

La derivata direzionale di una funzione f: Rn→R, calcolata lungo la direzione w individuata da un punto W su un asse cartesiano, si dice derivata parziale.: vero

Se L è un differenziale per f in x0 allora f ammette derivata direzionale lungo un qualunque vettore v.: vero

Se f è differenziabile in x0 , allora f …: e' continua in x0

Se la derivata parziale, rispetto a una variabile, in un punto è grande (in valore assoluto), allora: la funzione tende a variare di molto (in positivo o in negativo, a seconda del segno della derivata) nelle vicinanze del punto, in direzione della variabile.

Data la funzione f(x, y) = x^2 + 7 x + y^2, calcolare la derivata parziale rispetto a x e la derivata parziale rispetto a y.: 1) derivata parziale rispetto a x : 2x + 7 2) derivata parziale rispetto a y : 2y

Una funzione composta è una funzione che ha come argomento ...: un'altra funzione

Funzioni a due variabili composte mediante funzioni continue: sono continue

Una funzione a due variabili: può avere due derivate parziali

Se una funzione a due variabili è derivabile, le sue derivate sono: funzioni a due variabili

Data una funzione f(x,y) a due variabili, con fxx si indica la derivata fatta rispetto ad x, e poi ancora rispetto ad x

Data una funzione f(x,y) a due variabili, con fyy si indica: la derivata fatta rispetto ad y, e poi ancora rispetto ad y

Data una funzione f(x,y) a due variabili, con fxy si indica: la derivata fatta rispetto ad x, e poi rispetto ad y, detta derivata mista

Data una funzione f(x,y) a due variabili, con fyx si indica: la derivata fatta rispetto ad y, e poi rispetto ad x, detta derivata mista

Data una funzione f(x,y) continua, che ammette derivate miste fxy ed fyx continue: esse sono uguali

Il TEOREMA DI SCHWARZ afferma che, sotto opportune ipotesi: L'ordine di derivazione è invertibile

L'equazione della retta tangente nel punto (x0, f(x0)) è: y = f'(x0)(x-x0) + f(x0)

Data la funzione y=x^2, trovare la tangente al suo grafico nel punto di ascissa -1: y = -2x -1

Quale delle seguenti affermazioni è errata:

Non è possibile, conoscendo la derivata in un punto, ricavare l'equazione della sua tangente in quel punto.

Data la funzione y=x^2, trovare la tangente al suo grafico nel punto di ascissa 0: y=0

Se f(x,y) è differenziabile in un punto: allora è ivi continua

Data la funzione f(x, y) = x^2 + 3y, determinare l'equazione del piano tangente ad essa nel punto P(0, 3): z = 3y

Quando consideriamo funzioni di più variabili, una funzione …: potrà ammettere gradiente (che è il concetto analogo a quello di derivata in più dimensioni) ma non essere differenziabile

Geometricamente la differenziabilità di una funzione f(x,y) in un punto: è legata all'esistenza del piano tangente alla funzione in quel punto

Data la funzione y=x^2, trovare la tangente al suo grafico nel punto di ascissa 1: y = 2x-1

La normale ad una curva in un suo punto P è: la retta ortogonale alla tangente in P, e passante per P

Si definisce forma quadratica: un qualunque polinomio omogeneo di secondo grado, cioè in cui tutti i termini sono di grado 2

Il polinomio x^2+y^2-2x è una forma quadratica?: No, perché non è omogeneo

Il polinomio q = x^2+3xy-6y^2 : è una forma quadratica in due variabili

Una forma quadratica q si dice semidefinita positiva …: se q(X) ≥ 0 per ogni X diverso da 0

Una forma quadratica:

conserva il segno o la nullità

Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A)>0: la forma quadratica è irriducibile

Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A)>0: Q si annulla solo nell'origine

Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A)=0: Q si annulla su una retta per l'origine

Sia A la matrice associata alla forma quadratica Q. Se det(A) < 0: Q si annulla su due rette per l'origine

La forma quadratica q(x, y) = 5x^2 + 4xy + 2y^2 è: definita positiva

Chiamiamo MASSIMO relativo per una funzione f(x,y): un punto P0(x0,y0) tale f(x,y) = f(x0,y0) per tutti i punti di un intorno di P0 contenuto nel dominio della funzione

Se le relazioni di Massimo e Minimo per una funzione z=f(x, y) in un punto P0 valgono non solo in un intorno di P0, ma su tutto il dominio, allora si parla di: massimi e minimi assoluti

Si dice punto stazionario un punto: in cui la funzione ammette piano tangente orizzontale

Se si somma una costante c alla funzione y = f(x) …: allora la funzione y = f(x) + c ha negli stessi punti x i massimi e i minimi assoluti

L' Hessiano di una funzione di due variabili f(x,y): e' costituito dalle derivate seconde della funzione

La matrice hessiana di una funzione di due variabili f(x,y): e' simmetrica

In un punto stazionario di una funzione f(x,y): le derivate parziali sono entrambe nulle

Quali delle seguenti affermazioni è esatta per una funzione di una variabile?: nei punti di massimo o minimo locali di una funzione derivabile che siano interni al dominio la derivata è nulla.

L' Hessiano di una funzione f(x,y): e' una matrice quadrata 2x2

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] ⊂ IR tali che α(x) ≤ β(x). Si definisce dominio normale rispetto all'asse x l'insieme del piano: D = {(x, y) ∈ [a, b] × IR : α(x) ≤ y ≤ β(x)} con α(x) = β(x) al più negli estremi dell'intervallo [a, b]

Siano γ(y), δ(y) due funzioni continue in un intervallo [c, d] ⊂ IR tali che γ(y) ≤ δ(y). L'insieme del piano E = {(x, y) ∈ IR ×[c, d] : γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}si chiama: dominio normale rispetto all'asse y

Dato un dominio normale E rispetto all'asse y e la sua area si ottiene da: un integrale

Sia D = {(x, y) ∈ [a, b] × IR : α(x) ≤ y ≤ β(x)} un dominio normale rispetto all'asse x …: normale vuol dire perpendicolare e nella definizione precedente le rette di equazione x = a ed x = b sono perpendicolari all'asse delle x da cui il nome dominio normale rispetto all'asse x

Sia ora D un dominio normale del piano e f : D ⊂ IR^2 → IR una funzionedi due variabili continua. L'integrale doppio di f(x,y) esteso a D ha un significato geometrico. Esso fornisce nel caso di f(x, y) > 0: il valore del volume di un solido della regione di spazio

Il solido della regione di spazio il cui volume è fornito da un integrale doppio di una funzione f(x,y) > 0 esteso a un dominio D è un solido: avente per base D, per tetto f(x, y) e come superficie laterale quella formata dalla infinite rette parallele all'asse z che congiungono il bordo di D con i punti che giacciono su f(x, y)

La proprietà di additività di un integrale rispetto agli estremi dell'intervallo …:

riguarda la possibilità di spezzare un integrale definito come somma di due integrali, definiti su due sottointervalli la cui unione coincida con l'intervallo di partenza e tali da avere un solo punto in comune

Invertendo gli estremi di integrazione di un integrale è necessario: cambiare anche il segno dell'integrale

Se gli estremi di integrazione coincidono, allora l'integrale ...: vale zero

Quali tra le seguenti NON è una proprietà dell'integrale: connettività

Il cambiamento di coordinate pu`o anche essere pensato come …: una trasformazione tra V e U la cui legge è data da una funzione Φ, e che ammette inversa Φ^(฀)

Nel caso delle coordinate polari piane si ha che: JΦ (r, ϑ) = r dove J è lo jacobiano del cambiamento di coordinate Φ

Le Coordinate Polari descrivono le coordinate piane (x, y) tramite le coordinate polari (r, ϑ) dove: dove r è la lunghezza del vettore determinato da (x, y), e ϑ è l'angolo che esso determina con l'asse delle ascisse

Data l'equazione cartesiana della retta y = mx + q, la sua equazione polare è: f ( sena - m cosa) - q = 0

Data l'equazione cartesiana di una parabola y = ax^2 + bx + c, la sua equazione polare è: f (sena - afcos^2(a) - bcosa)

Data l'equazione cartesiana di una circonferenza y = x^2 + y^2 + ax + by + c di raggio r e centro diverso dall'origine, la sua equazione polare è: f^2 + f(acos@ + bsen@) + c = 0

Data l'equazione cartesiana di una circonferenza y = x^2 + y^2 di raggio r e centro nell'origine, la sua equazione polare è: f=r

Quali delle seguenti osservazioni sulle coordinate polari è corretta:

è interessante notare che le coordinate polari, nonostante siano molto diverse dalle coordinate cartesiane, consistano comunque di una coppia di numeri. In effetti si può mostrare che, anche se ci inventassimo un altro modo di rappresentare un punto del piano, avremmo comunque bisogno di due quantità numeriche

Con le coordinate polari possiamo descrivere anche altre curve che in coordinate cartesiane sarebbero molto difficili da rappresentare. Per esempio: la spirale archimedea, o spirale di Archimede

La costruzione del sistema di riferimento polare può sembrare una complicazione priva di scopo: in molti casi le coordinate cartesiane sono più che sufficienti a descrivere i punti e quindi le curve nel piano. Tuttavia, a volte, utilizzare le coordinate polari può semplificare sorprendentemente la rappresentazione di certi oggetti geometrici: vero LEZIONE 17 no

LEZIONE 19 Si calcoli l'integrale triplo

Si calcoli l'integrale triplo

Si calcoli l'integrale triplo

Si calcoli l'integrale triplo

Calcolare l’integrale doppio

Calcolare l’integrale doppio

Calcolare l’integrale triplo

Calcolare l’integrale triplo

Calcolare l’integrale triplo

Si calcoli il seguente integrale triplo

LEZIONE 19 Si integri l’equazione differenziale

y’ =

Si determini la soluzione del problema di Cauchy

Si scriva l’equazione generale dell’equazione

Scrivere l’integrale generale dell’equazione

Scrivere l’integrale generale dell’equazione

Data l’equazione y’=y determinare le funzioni per le quali la derivata prima sia uguale alla funzione stessa

Data l’equazione

Data l’equazione

SI

Data l’equazione

NO Cosa si intende per SI ed SB?: Spazio Immagine e Spazio Base

Cosa presentano gli spazi SI e SB?: Gli spazi SB e SI presentano la struttura di spazi vettoriali rispetto alla somma ordinaria tra funzioni ed al prodotto di una funzione per uno scalare.

Enunciare il Teorema 1 (Equazione lineare omogenea):

Enunciare il Teorema 2 (Equazioni lineari omogenee):

Enunciare il Teorema 3 (Equazione lineare completa):

Enunciare il Teorema (Dell'esistenza e unicità) (Problema di Cauchy) per le applicazioni lineari.:

Enunciare il Corollario (Principio d'identità) del Teorema (Dell'esistenza e unicità) per le applicazioni lineari:

Indicare le soluzioni dell'equazione y'=1: le soluzioni sono le rette della famiglia 𝑦 = 𝑥 - 𝑐 e per ogni punto di 𝑅2 passa una sola di esse

Indicare le caratteristiche dell'equazione y' = y in considerazione della funzione a secondo membro f(x,y) = y: essa è costante rispetto alla variabile 𝑥 e risulta continua e Lipschitziana (di più, è derivabile) rispetto ad 𝑦 su 𝑅. Ogni punto di 𝑅2 è pertanto punto iniziale di un problema di Cauchy dotato di soluzione unica definita su 𝑅

Calcolare le soluzioni dell'equazione y' = y: le soluzioni sono le curve esponenziali della famiglia 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥 e per ogni punto del piano 𝑥𝑦 passa una sola di esse.

Indicare le caratteristiche dell'equazione funzione a secondo membro

in considerazione della

:

essa è continua su 𝑅, ma nei punti della retta d’equazione 𝑦 = 0 non verifica, rispetto alla variabile 𝑦, la condizione di Lipschtz

Indicare le soluzioni dell'equazione

(considerata nell'esercizio 4):

le curve soluzione distinte da quella nulla y = 0, appartengono alla famiglia 𝑦 = (𝑥 - 𝑐)3

Discutere le caratteristiche dell'equazione indicata nell'esercizio 5 relativamente alla sua soluzione: si riconosce che ogni punto del semipiano positivo (o di quello negativo), nell’intorno del quale è verificata la condizione di Lipschitz, è punto iniziale di soluzione locale unica, mentre in ogni punto dell’asse x, relativamente alla soluzione del problema di Cauchy, cade l’unicità precisamente per ogni punto dell’asse x passano infinite soluzioni

Enunciare la definizione di integrale particolare: integrale particolare, è ogni soluzione di problema di Cauchy in ipotesi d’esistenza ed unicità. Il grafico di un qualunque integrale particolare è interno ad A.

Enunciare la definizione di integrale generale: integrale generale, è la famiglia degli integrali particolari. Il grafico di ciascuna di queste funzioni è interno ad A. Per i problemi con equazioni del primo ordine, si ha che due curve integrali non si incontrano in punti interni ad A

Enunciare la definizione di integrale singolare: integrale singolare, è ogni soluzione di problema di Cauchy in difetto di ipotesi di esistenza ed unicità. Il grafico appartiene alla frontiera di A.

Gli integrali singolari si ottengono direttamente controllando se le curve della frontiera di A verificano l’equazione differenziale.: si

Quali sono le caratteristiche delle equazioni a variabili separabili?: Le equazioni a variabili separabili sono equazioni di forma normale in cui il secondo membro si presenta come prodotto di una funzione della sola 𝑥 per una funzione della sola 𝑦 in formula 𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)

Rispetto alle equazion...