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Problemas Resueltos.Tema 6.Ecuaciones de Newton_Euler_2...

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Mecánica 2014-15

TEMA 6. ECUACIONES DE NEWTON-EULER PROBLEMAS RESUELTOS II

Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales Área de Ingeniería Mecánica http://www.upv.es/ingmec Centro de Investigación de Tecnología de Vehículos http://www.upv.es/citv

TEMA 6:

PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 1. 

Un avión con una masa (a plena carga) de 12.500,0 kg debe de alcanzar una velocidad de 60 m/s para despegar . Si el empuje, F, proporcionado por su motor es de 65 kN y se desprecian otras fuerzas horizontales, se pide: o Longitud mínima, L, de la pista de despegue o Empuje suplementario, P, que debe de proporcionar la postcombustión del avión si se quiere conseguir el despegue con una pista de 150 m de longitud En el caso anterior se ha supuesto que el empuje se conseguía instantáneamente, considerar ahora que el motor del avión proporciona el empuje a una razón constante de 22 kN/s . Se pide: o Determinar el tiempo que tarda en despegar

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TEMA 6:

PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 1. SOLUCIÓN 

Aplicando el teorema de la Fuerzas Vivas se tendrá que

T2  V2   T1  V1   W12 Teniendo en cuenta que se parte del reposo, que no hay cambios de altura y que la fuerza de empuje F es constante y lleva la dirección del desplazamiento, se tendrá que

1  m  v2  2 



2

  F  dr  F  L

1

m  v 2 12.500,0  602 L  346,15 m  2F 2  65 103

Para obtener el empuje suplementario, se volverá a aplicar el teorema de las Fuerzas Vivas

1  m  v 2 F T L 2

FT

m  v2 12.500  602   150.000,0 N 2 L 2  150

El empuje suplementario será

F post  FT  F  150  65  85 kN

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TEMA 6:

PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 1. SOLUCIÓN 

Asumiendo que el empuje varía linealmente se tendrá que

F

  F t   22 103 t i N

t 

Aplicando el teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento

  P2  P1 



2

1

 F t  dt

Teniendo en cuenta que se parte del reposo     P1  0 , P2  m  v  i  750 103  i N  s 2 T   2  3 3 T F t   dt  22 10  t  dt  i  22 10  i 0 1 2 Por lo que se tendrá que





 T2  i 750 103  i  22 103  2



T

2  750  8,26 s 22 Mecánica

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PROBLEMAS PROPUESTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 2. 

La masa del cohete es de 250 kg y su empuje constante de 6.000,0 N . La longitud total de la rampa de lanzamiento es de 10 m. Sin tener en cuenta otras consideraciones como otras fuerzas (fricción, p.e.) o el cambio en la masa del cohete, se pide: o Determinar la velocidad del cohete cuando llega al final de la rampa

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 2. SOLUCIÓN 

Aplicando el teorema de la Fuerzas Vivas se tendrá que

T2  V2   T1  V1   W12 En este caso si que aparece la energía potencial

T2  m  g  h  0  0  F  L 1

Obsérvese que el vector fuerza lleva siempre la dirección del desplazamiento

T2  250 9 ,81  2  6 .000,0 10

T2  55.095,0 J

De donde se obtiene la velocidad

1 T2  m  v 2 2

v

2  T2  20,99 m / s m

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PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMA 3. SOLUCIÓN 

Los coeficientes de fricción entre la caja de 160 kg y la rampa son e= 0,3 y c= 0,28. Determinar: o La fuerza que hay que aplicar al cable de la figura para empezar a mover la caja o Si se mantiene esa fuerza constante. ¿Qué trabajo se efectuará sobre la caja al desplazar esta una distancia s= 3 m hacia arriba o Velocidad de la caja cuando recorre esos 3 metros

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 3. 

El diagrama de sólido libre del bloque será 



El primer apartado se sitúa en las condiciones de movimiento inminente, por lo que la fuerza de rozamiento tendrá el valor   F roz  e  N  i

Planteando ahora las condiciones de equilibrio estático,

F

Y

0

N  m  g  cos   0

F

X

N  m  g  cos 

0

F  m  g  sen    e  m  g  cos   0

F  m  g  sen   e  cos   932 ,87 N

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 3. 

Para determinar el trabajo realizado, es esencial considera que la fuerza es constante y que solo generan trabajo aquellas fuerzas (o componentes de fuerzas), en la dirección del desplazamiento

W





  F  s  F  s  m  g  sen    c  m  g  cos   s  2.798,60  2. 709,03  89,57 J

Para determinar la velocidad al final del desplazamiento, se aplicará el teorema de la Fuerzas Vivas

T2  V2   T1  V1   W12 Nótese que el peso se ha incluido en el término del trabajo, por lo que no cabe considerar la energía potencial correspondiente

1  m  v2  W12 2

v

2 W  1,06 m / s m

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PROBLEMAS PROPUESTOS

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PROBLEMAS 4 Y 5. 

Justo antes de despegar un avión de 10.500,0 kg de masa tiene una velocidad de 60 m/s. La fuerza total ejercida por su motor de de 189 kN y el avión está acelerando a 15 m/s2. Determinar: o La potencia que transmite el motor al avión o La potencia total trasmitida al avión





Un vehículo espacial de masa m, situado a una distancia r0=2RT (RT radio de la Tierra) del centro de la Tierra, masa M, se mueve hacia el exterior con una R . Se pide: velocidad inicial v0  2  g  T 3 o La velocidad del vehículo en función de su distancia al centro de la Tierra

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 6. 

Un cohete viaja en línea recta hacia arriba cuando de repente, empieza a girar en sentido antihorario con una velocidad  = 0,25 rev/s y es destruido 2 segundos después. Durante esos segundos se puede asumir que la velocidad  se mantiene constante. La masa del cohete es m = 90.000,0 kg y el empuje, supuesto constante, es de F = 1.000,0 kN. Su velocidad de ascensión cuando empieza a girar era de v = 10 m/s. Si se desprecian las fuerzas aerodinámicas, se pide: o La velocidad del cohete antes de ser destruido

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 6. SOLUCIÓN 

Como la velocidad angular  es constante, el ángulo girado será     t 

La fuerza resultante será    F   F  sen  i   F  cos   m g  j



 t rad donde     t  0 ,25  2  t  2 sustituyendo se tendrá que

  t2



t1

   t   F   F  sen  i  2 

     t    F cos   m  g   j  2   

El impulso será

 2     t    t      F dt F sen i F cos m g        j   dt           0   2   2     2

 2 F 4F      t    2  F   t   cos   sen   i  2 m g  j   i     m  g  t   j      2   2     0   Mecánica

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N s 12

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 6. SOLUCIÓN 

Del principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento, se tendrá que

  P2  P1 



  F  dt t2

t1

  m  v2  m  v1 



  F  dt t2

t1

Por lo tanto

   4F  i  2 m  g  j m  v2  m  10  j  







   v2  14,15  i  9,62  j

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m/ s

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 7. 

Una barra esbelta vertical de masa m y longitud l, está rígidamente unida a un disco horizontal que gira a una velocidad angular constante 0. Se pide determinar o Fuerza y par que ejerce el disco sobre la barra

Dirección eje Y  Rotación Dirección eje X  Radial

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 7. SOLUCIÓN 

En primer lugar se obtendrá la matriz de inercia de la barra respecto al sistema de referencia asociado a la misma y con origen en su centro de gravedad. De las tablas se obtiene que  1 2 0   12 m  l 0 1 IG   0 0 0  kg  m 2   1 2   0 m l  0 12   

Las ecuaciones de Newton-Euler para la barra 1 serán,   1 F  m1 aG     1 M G 1I G 1 1 11  1I G 1 1

 

1





Todas las magnitudes vectoriales, como entre otras la velocidad, aceleración angular y aceleración del CdG que son absolutas, se expresan en el sistema de referencia móvil ligado a la barra 1

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PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMA 7. SOLUCIÓN 

Las magnitudes cinemáticas del lado de la derecha de las ecuaciones de N-E se obtendrán a continuación  l  1 1 1     r r r b i  jm donde OG OA AG 2  1  1  0  j rad / s Evidentemente 1  1  0 Por lo tanto         1 aG 1aGn 1aGt 1 1 11 1 rOG 1 11rOG  b  02  i m / s 2 1



1



1



Aplicando ahora la primera de las ecuaciones de N-E al DSL de la barra, se tendrá que  fx   m  b 02     1 N f  m  g  j  m   b   02  i  fy  mg





f  0  z

Nótese que al estar empotrada la barra en el disco, está impedido cualquier tipo de movimiento relativo (traslación y/o giro). Este es el motivo por el que hay que considerar unas reacciones del disco sobre la barra consistentes en una fuerza y un par cualesquiera Mecánica

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 7. SOLUCIÓN 

Tomando momentos respecto al CdG de la barra se tendrá que        M G 1t 1rGA 1 f 1I G 1 1 11  1I G 11







Operando, se tendrá que

   m b l 2    0   k  0 t x  i  t y  j   tz  2   Lo del lado de la derecha nulo era previsible, por tratarse en realidad de un problema plano con velocidad angular constante Despejando

tx  0 ty  0 tz 

mb l 2  0 2

N .m

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PROBLEMAS PROPUESTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 8. 

En la figura se muestra un tren de aterrizaje visto desde atrás del avión. El radio de la rueda, r, es de 300 mm y su momento central de inercia, IO, de 2 kg.m2. El avión despega a 30 m/s. Después del despegue, el tren se recoge girando hacia el lado derecho del avión. Despreciando otras acciones, incluyendo el peso de la rueda, se pide determinar o La magnitud del par ejercido por la rueda sobre su soporte

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PROBLEMAS PROPUESTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 8. SOLUCIÓN En primer lugar se determinará la matriz de inercia de la rueda



De los datos del problema se tiene que



IO  I X  1



Por lo tanto

1 I Y  I Z  m  r 2  0,99 kg .m 2  1 kg .m 2 4 1



4 1  44,44 kg m  r 2  2 kg .m2  m  0,32 2

1

La matriz de inercia respecto al sistema de referencia centroidal será

1

2 0 0  I G  I O  0 1 0  kg .m 2 0 0 1  1

1

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PROBLEMAS PROPUESTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 8. SOLUCIÓN 

Velocidades y aceleraciones angulares de la rueda

v  30 m / s   X   Y  45º / s  45 

 180

v 30   100 rad / s r 0 ,3  0 ,78 rad / s

Por lo tanto la velocidad angular absoluta será

   X    100  r     Y     0,78 rad / s  0   0  Para obtener la aceleración angular se derivará la expresión correspondiente a la aceleración angular 1







       d 1 r  d   X 1 i1   Y 1 j1  1i    1 j    1 1i    1 1j r     1 1 1 1 1 1 X Y X Y dt dt

1





Mecánica







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PROBLEMAS PROPUESTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 8. SOLUCIÓN 

Asumiendo velocidades angulares constantes (no muy realista en el caso de la rueda), se tendrá que      

i j   1 1  r   X  1 i1   Y  1 j1   X  0   Y 1 0

1





1





1





k

i

j

0   Y  0  Y 0 0 1

k 0 0

0   0      0  rad / s 2 0        X   Y   78  

Aplicando ahora la segunda ley de Newton, pero exclusivamente para el movimiento de rotación, se tendrá que (se asume que el centro de gravedad de la rueda es O)



 1 MG 



0         1 1 1 1 1 1 M O  I O   r  r  I O   r  0    2   X  Y  1

1



1



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 0   0  N .m    156

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PROBLEMA 8. SOLUCIÓN 

Es interesante ver que pasa con este par

0   0    1 1  1 1 1    0  N .m  0 T  I o   r  r  I O   r        2  X  Y    156 1



1



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PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMA 9. 

Un disco de masa m y radio r, rueda sin deslizar sobre un círculo tal y como se indica en la figura; el disco está guiado mediante un brazo ligero pero rígido de longitud L, el cual gira en un círculo horizontal de centro O. Este brazo está unido mediante sendos pares esféricos. La velocidad, constante, del centro C se denota mediante VC. Se pide determinar o La fuerza ejercida por el brazo sobre el disco o La fuerza de rozamiento ejercida por el suelo sobre el disco

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PROBLEMA 9. SOLUCIÓN 

En el sistema de referencia G  X 2Y2 Z 2 , asociado a la barra 2, se tendrá que 

Velocidades angulares relativas

vC v  C rad / s OC L v  2  C rad / s Rodadura sin deslizamiento r Las velocidades angulares absolutas, pero expresadas en el sistema de referencia móvil 1 



   0   v    2  1  2  2  2 1   C  rad / s  L   vC     r   0     2 2 2 rOG   0  m / s 2  v2   C   L

0   v  2   2  2 1   C  rad / s L  0  

La aceleración del centro de gravedad



      a G 2a Gn 2aGt 22  22 2 rOG

2



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PROBLEMA 9. SOLUCIÓN 

La aceleración angular absoluta de disco 1será 2



1 

vC 2 vC 2  j  k L 2 r 2

 vC2   r  L        v v v  2  1  2 1  C  2 j2  C 2 k 2   C  2 2 2 k2   0  rad / s2 L r r  0    Considerando que la velocidad de C es cte y que el vector unitario asociado al eje Y2 no cambia de dirección







La matriz de inercia del disco respecto a su propio sistema de referencia será

1 2  4m r  2 IG   0   0 

0 1 mr2 4 0

   0  kg.m2  1 2 m r  2 0

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PROBLEMAS RESUELTOS

ECUACIONES DE NEWTON-EULER

PROBLEMA 9. SOLUCIÓN 

Se consideran ahora las ecuaciones de N-E para la barra 2





 F  m a  0    M  I      I 2

G2



G2

G2

2

2



G2



Dado que no tiene masa

 2  0

Se consideran las condiciones de equilibrio de dicha barra (el cumplimiento de las ecuaciones anteriores). Por tener pares esféricos en sus extremos, solo transmitirán fuerzas. Por lo tanto, la única posibilidad para que verifica las expresiones anteriores es que esas fuerzas lleven la dirección de la propia barra 2.

Tracción ó compresión

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PROBLEMAS RESUELTOS

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PROBLEMA 9. SOLUCIÓN 

Considerando ahora el DSL del disco 1, se tendrá que la primera ecuación de N-E da lo siguiente    f 01x   0   0  0      y     2  ...