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Universidad de La Sabana- Facultad de Ingeniería -Física Mecánica – informe de laboratorio 4 Preparación de gráficas y análisis de un experimento A. Gaviria * K. Acosta 19 de mayo del 2018 Abstact The development of this practice has as a specific objective to develop the skills of interpretation, preparation and analysis of graphs corresponding to values obtained during experimental procedures, in order to give an assertive answer to a specific question or to fulfill a pre-established purpose for said procedure. , in the context of the prediction and understanding of a function, which will tell us how these experimental values will behave without having to represent again the initial scenario that led to the obtaining of the first data, conforming this, a function that in this case It is the product of the linear regression of the data, to complement the results of the experiment and thus give a correct interpretation to them. Resumen El desarrollo de esta practica guarda como objetivo concreto desarrollar las habilidades de interpretación, preparación y análisis de gráficas correspondientes a valores obtenidos durante procedimientos experimentales , con el fin de dar una respuesta asertiva una pregunta específica o cumplir con un propósito pre-establecido para dicho procedimiento, en el marco de la predicción y comprensión de una función, la cual nos dirá como se comportarán dichos valores experimentales sin necesidad de representar nuevamente el escenario inicial que llevo a la obtención de los primeros datos, conformando esto, una función que en este caso es producto de la regresión lineal de los datos, para complementar los resultados del experimento y así dar una correcta interpretación a los mismos. Introducción Para realizar un estudio de las gráficas que representan las relaciones entre diferentes variables, es necesario analizar el comportamiento que estas presentan bajo determinadas condiciones, interpretando analítica y matemáticamente las tendencias que muestran, haciendo uso de diversas deducciones matemáticas ajustadas específicamente al

experimento realizado durante el labortio, el cual en este caso busca brindar herramientas que permitan el correcto análisis de los resultados obtenidos durante diversos procedimientos y permitiendo predecir el comportamiento de estos al cambiar las condiciones en las que se encuentra el montaje trabajado. Normalmente una representación gráfica de resultados de determinado procedimiento permite comparar fácilmente los valores relativos de los sucesos que se presentaron durante el mismo. Lo anterior es más evidente para un grupo de datos numéricos grande, permitiendo que el análisis global de los resultados sea normalmente, un promedio de estos, los cuales inicialmente suelen ser producto de un montaje experimental en los que varía un cierto factor que afectará el comportamiento de todo el sistema. Después de esto es posible hacer un tratamiento numérico de los datos, para encontrar una cierta función que represente como cambiará el resultado que buscamos en relación con la variable que se altera, sin necesidad de representar este cambio dentro del sistema. Para el tratamiento de los datos presentados para la práctica asignada, es necesario hacer uso de diversas estrategias numéricas, que posibiliten la obtención de dicha función para así poder predecir el cambio en la dimensión física que representa la sucesión de estados por los que pasa nuestro sistema, mejor conocido como la variable tiempo, el cual es el valor directamente afectado cuando el diámetro o la altura del agua dentro de los recipientes planteados varía. Datos d (± 0,1cm) 1,5 2 3 5 4 7

30 73 41,2 18,4 6,8

h (±0,2cm) 10 43,5 23,7 10,5 3,9

4 26,7 15 6,8 2,2

1 13,5 7,2 3,7 1,5

Tabla 9,2. Datos obtenidos del experimento realizado.

d (±0,1cm)

t(s)

1,5 2 3 5

73 41,2 18,4 6,8

43,5 23,7 10,5 3,9

26,7 15 6,8 2,2

13,5 7,2 3,7 1,5

Tabla 1. Tabla del tiempo en función del diámetro.

Ob j e c t3

Gráfica 1. Gráfica del tiempo en función del diámetro. h (+- 0,2cm) 0,6666666 7 0,5 0,3333333 3 0,2 0,25 0,1428571 4

30

10

4

1

4,290459441

3,77276094

3,28466357

2,60268969

3,718438256

3,16547505

2,7080502

1,97408103

2,912350665

2,35137526

1,91692261

1,30833282

1,916922612 2,332143895

1,36097655 1,77495235

0,78845736 1,30833282

0,40546511 0,58778666

1,193922468

0,64185389

0,18232156

-0,51082562

Tabla 2. Tabla del inverso del diámetro y el ln del tiempo.

Ob j e c t5

Gráfica 2. Ln del tiempo en función de 1/d.

Para linealizar los datos suministrados en la tabla 9.2 contamos con dos posibles opciones: la primera que la gráfica de los datos se linealicé en una hoja semi-logaritmica, en cuyo caso tendríamos certeza de que la forma de la gráfica es de carácter exponencial (la cual tiene una función con la forma y= bx). La segunda posibilidad es que se linealicé en una hoja logarítmica, para este caso la función sería de carácter potencial (la cual tiene una función de la forma y = cxn). Al hacer las gráficas en ambas hojas tenemos que se linealizan en la hoja logarítmica (véanse el anexo 1) por lo que podemos concluir que la función de la gráfica es de carácter potencial. Sabiendo que la función de la gráfica tiene la forma de y = cxn nos interesa conocer el signo y el valor de n. Sin embargo, solamente mirando las gráficas del anexo 1 podemos inferir que el signo de esta es negativo (-), ya que como las gráficas están dadas de manera decreciente podemos concluir que tienen pendiente negativa. y=c x n Aplicando propiedades de los logaritmos tenemos que: log y=n log x + log c Y =nX + C El resultado obtenido es una función cuya pendiente es n, como el interés en este momento es hallar el valor de esa pendiente, ya que el signo lo conocemos, podemos aplicar la fórmula conocida para la pendiente de una función lineal, reemplazando en dos de los valores del tiempo dados en la tabla 9.2.

n=

y 1− y 2 x 1− x 2

Podemos aplicar nuevamente las propiedades de los logaritmos, con lo cual obtendríamos como resultado. n=

log y 1−log y 2 log x 1−logx 2

y1 ) y2 n= x1 ) log ( x2 log(

h (±0,2cm) d (±0,1cm) 1,5 2 3 5 4 7

30 73 41,2 18,4 6,8

10 43,5 23,7 10,5 3,9

4 26,7 15 6,8 2,2

1 13,5 7,2 3,7 1,5

Reemplazando los dos valores indicados anteriormente en la tabla tenemos que: 41,2 ) 73,0 n= 2 log( ) 1,5 log(

n ≈−2

Con este valor de la pendiente demostramos el razonamiento hecho anteriormente, ya que efectivamente el signo que dicha es negativo, por lo que la función de la gráfica nos quedaría de la siguiente manera: −2

y=c x

y=

c x2

De esta ecuación podemos concluir que el tiempo es inversamente proporcional al diámetro. En el anexo 2, extrapolamos las rectas para hallar el intercepto c así, por ejemplo, para el caso en el que extrapolamos la última recta donde tenemos una altura constante de

1.0 cm podemos concluir que el intercepto es de aproximadamente 30; con lo cual tenemos que: y=

t=

30 x2

30 d2

Esta ecuación solo se aplica para el valor de la altura (h) igual a 1.0 cm, ya que el intercepto (c) varia para cada una de las rectas, por lo cual no se puede estandarizar esta ecuación para todas las alturas; es necesario hacer una aproximación del intercepto de cada una de las rectas y sacar las ecuaciones para el tiempo, dadas las alturas respectivas y el valor del intercepto. h (±0,2cm) c (intercepto) Ecuación

30 ≈ 165 165 t= 2 d

10 ≈ 96 96 t= 2 d

4 ≈ 60 60 t= 2 d

1 ≈ 30 30 t= 2 d

Tabla 3. Ecuaciones del tiempo para cada una de las diferentes alturas. Con estas ecuaciones podemos completar los espacios en blanco que aparecen en la tabla 9.2, ya que tenemos que dichos espacios faltantes son los tiempos cuando el diámetro (d) es 4.0 y 7.0 cm, reemplazando este diámetro en la ecuación respectiva para la altura en cuestión podemos hallar el tiempo, lo cual nos da como resultado: d (± 0,1cm) 1,5 2 3 5 4 7

30 73 41,2 18,4 6,8 10,3 3,3

h (±0,2cm) 10 4 43,5 26,7 23,7 15 10,5 6,8 3,9 2,2 5,9 3,7 1,9 1,2

1 13,5 7,2 3,7 1,5 1,8 0,6

Tabla 4. Tabla 9.2 con los valores que faltaban. Dado el valor de n, hallado anteriormente podemos hacer una gráfica del tiempo en función del diámetro elevado a este exponente n. Para poder realizar dicha gráfica es

necesario elevar el diámetro que nos dan en la tabla 9.2 y es necesario hallar el tiempo con este nuevo diámetro para eso usamos las ecuaciones de la tabla 3, lo cual nos da por resultado.

d2 ± 0,1cm) 2,25 4 9 25 16 49

h (± 0,2cm) 30 2,260274 4,0048544 8,9673913 24,264706 16,019417 50

10 4 1 2,1609195 2,247191 2,2222222 3,9662447 4 4,1666667 8,952381 8,8235294 8,1081081 24,102564 27,272727 20 15,932203 16,216216 16,666667 49,473684 50 50 Tabla 5. Tabla con el diámetro al cuadrado (d2).

Figura 3 60 50

Tiempo

40 30 20 10 0

1

2

3

4

5

6

Diametro (d2)

Figura 3. Tiempo en función del diámetro al cuadrado (d2).

   

Gráfica para h = 30,0 Gráfica para h = 10,0 Gráfica para h = 4,0 Gráfica para h = 1,0

Tratamiento de datos Visualizar las características que envuelven un sistema o su comportamiento es una herramienta que posibilita la correcta interpretación de este, para esto es necesario ejecutar representaciones graficas que correspondan a los resultados numéricos como los presentados en la tabla consignada en la guía para la práctica realizada, quienes serían respectivamente a una medición hipotética de las diferentes variables que se presenten dentro de dicho sistema. No obstante, es importante resaltar la labor del cálculo de las

pendientes correspondientes a las ya mencionadas gráficas, ya que debido a su naturaleza, nos permite obtener información de suma importancia acerca del comportamiento del montaje plateado para la práctica, prediciendo así su relación respecto a cambios inducidos en el montaje del sistema. Para la correcta interpretación de los datos presentados en la guía es necesario hacer no sólo una división y representación gráfica de los mismos, sino que también se debe hacer uso de una regresión o ajuste lineal, la cual es una herramienta que permite aproximar una relación de dependencia entre una variable dependiente y aquellas que no lo son, por medio de un modelo matemático expresado como:

donde: 

Yt : variable dependiente.



X1, X2,..,Xp : variables explicativas.



β 1+ β 2+ …+ βp

: parámetros, miden la influencia que las variables

explicativas tienen sobre el recreciendo. 

β0

: la intersección o término "constante", las son los parámetros

respectivos a cada variable independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. 4.

h1 vs t 80 70 f(x) = − 48.47 ln(x) + 73.36 60

Tiempo

50 40 30 20 10 0

1

2

3

4

3

4

3

4

Altura

h2 vs t 50

Tiempo

45 40 f(x) = 3.3 x² − 29.7 x + 69.9 35 30 25 20 15 10 5 0 1

2

Altura

h3 vs t 30 25 f(x) = 1.78 x² − 17.05 x + 41.98

Tiempo

20 15 10 5 0

1

2

Altura

h4 vs t 16 14 12

f(x) = 1.03 x² − 9.08 x + 21.48

Tiempo

10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

Altura

El comportamiento de las gráficas correspondientes a la comparación o contraste grafico entre las alturas y el tiempo que tarda en desocuparse el recipiente presentan una clara tendencia polinómica que se caracteriza por ser de grado 2, a excepción de la gráfica de h=30, cuya línea de tendencia es logarítmica. Adicional a esto, gracias a la ecuación que describe esta tendencia, de estas representaciones graficas de los resultados obtenidos de forma” experimental” del tiempo en función de la altura del agua en un montaje que pretende predecir como varia el primero respecto a una variación en el segundo, es decir, como afectará un cambio en la altura del agua dentro de un recipiente, al tiempo que esta tarda en desocuparse. Conclusiones 

El adecuado análisis de una serie de datos experimentales obtenidos por medio de un montaje de un cierto sistema a determinadas condiciones dependerá exclusivamente del tratamiento pertinente de estos, ya que, esto posibilita si se hace de la forma correcta, que se puedan predecir o reproducir nuevos cambio o condiciones dentro del sistema, haciendo uso de métodos numéricos específicos que irán de la mano con las representaciones gráficas que repliquen o expongan al sistema.



El sistema tratado durante la practica nos planeta un sistema con dos variables “independientes”, pero que vistas desde otro punto de vista dependen una de la

otra, es decir, en este caso nuestras variables son la altura y el diámetro de un orificio por el cual se pretende desocupar un cierto recipiente con agua; teniendo en cuenta esto, una afectará directamente a la otra, modificando a nuestra tercera variable (el tiempo) quien exclusivamente de los valores que las dos primeras tomen. Bibliografía Auxiliadora, M. (02 de 10 de 2012). Análisis de un experimento. Recuperado el 18 de 05 de 2018, de Slide Share: https://es.slideshare.net/torimatcordova/analisis-de-un-experimento IBM Knowledge Center. (s.f.). Regresión lineal. Recuperado el 18 de 05 de 2018, de IBM Knowledge Center: https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/es/SSLVMB_23.0.0/spss/base/idh_regs.h tml Preparación de informes científicos. (s.f.). Recuperado el 18 de 05 de 2018, de uam: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgr/TE2/pdf/informes_laboratorio2.pdf...