Problemas resueltos de bioestadistica para ciencias de la salud PDF

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C APÍTULO

3 Probabilidad

Problema 3.1. El 60 % de los individuos de una población están vacunados contra una cierta enfermedad. Durante una epidemia se sabe que el 20 % la ha contraído y que 2 de cada 100 individuos están vacunados y son enfermos. (a) Calcular el porcentaje de vacunados que enferma y el de vacunados entre los que están enfermos.  ( ∩E)  P(V ) = 0, 6 P (E/V ) = P(V P(V ) = P(E) = 0, 2 P(V ∩E)  P (V/E ) = P(E) = P(V ∩ E) = 0, 02

0,02 0,6 0,02 0,2

= 0, 033 = 0, 1

Problema 3.2. La proporción de alcohólicos que existe en la población de Málaga es, aproximadamente, un 10 %; no obstante, en las bajas que dan los médicos de la Seguridad Social difícilmente se encuentra el diagnóstico de alcoholismo. Aparecen sin embargo diagnosticados de hepatopatías, lumbalgias, etc., que pueden hacer sospechar alcoholismo subyacente. Se realizó un estudio que puso de manifiesto que el 85 % de los individuos alcohólicos y el 7 % de los no alcohólicos sufrían tales patologías. Se desea saber: (a) Cuál es la probabilidad de que un individuo con esas patologías sea realmente alcohólico.  E → Tener patolog´ıa    A → Ser alcoholico ´ → P(A) = 0, 1 E/A) = 0, 85 P(    E P( /A) = 0, 07

P(E/A) = 0, 85

P (A) = 0, 1 P(E/A) = 0, 15 P(E/A) = 0, 07   P A = 0, 9 P (A/E ) =

P(A)·P(E/A) P(A)·P(E/A)+P(A)·P(E/A)

P(E/A) = 0, 93 =

0,1·0,85 0,1·0,85+0,9·0,07

= 0, 5743

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CAPÍTULO 3. PROBABILIDAD Problema 3.3. Dos tratamientos A y B curan una determinada enfermedad en el 20 % y 30% de los casos, respectivamente. Suponiendo que ambos actúan de modo independiente, cuál de las dos siguientes estrategias utilizaría para curar a un individuo con tal enfermedad: (a) Aplicar ambos tratamientos a la vez. (b) Aplicar primero el tratamiento B y, si no surte efecto, aplicar el A. 

A → Tratamiento A → P (A) = 0, 2 B → Tratamiento B → P(b) = 0, 3

Cómo son sucesos independientes 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 0, 2 + 0, 3 = 0, 5 P (A ∩ B) → P (A) · P(B) = 0, 2 · 0, 3 = 0, 06

Luego P (A ∩ B) = 0, 06     P A ∩ B = P (A) − P (A ∩ B) = 0, 2 − 0, 06 = 0, 14 P(A∩B)  P (A/B) = = 0,14 0,7 = 0, 2 P(B) Problema 3.4. Se eligen al azar 3 deportistas de un equipo de 10 integrantes para realizar un control antidopaje; Se sabe que 2 de los jugadores del equipo han tomado sustancias prohibidas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir para el análisis a alguno de los infractores?  A → Notomar!sustancias proh´ıbidas     8  3 ! = 56 = 0, 46 P (A) =   120  10   3

  La probabilidad de elegir uno de los infractores es el suceso contrario P A = 1 − 0, 46 = 0, 54 Problema 3.5. Estamos interesados en saber cuál de dos análisis A y B es mejor para el diagnóstico de una determinada enfermedad, de la cual sabemos que la presentan un 10 % de individuos de la población. El porcentaje de resultados falsos positivos del análisis A es del 15% y el de B es del 22 %. El porcentaje de falsos negativos de A es del 7% y de B es del 3 . ¿Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método? Para el tratamiento A P(T +/E ) = 0, 93 P (E) = 0, 1 P(T −/E ) = 0, 07 P(T +/E ) = 0, 15   P E = 0, 9 Manuel Angel Barea Gómez

P(T −/E ) = 0, 85

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CAPÍTULO 3. PROBABILIDAD

Para el tratamiento B

  P (T +/E ) · P (E) + P (T −/E ) · P E = 0, 93 · 0, 1 + 0, 9 · 0, 85 = 0, 858 P(T +/E ) = 0, 97 P (E) = 0, 1 P(T −/E ) = 0, 03 P(T +/E ) = 0, 22   P E = 0, 9

P(T −/E ) = 0, 78

  P (T +/E ) · P (E) + P (T −/E ) · P E = 0, 97 · 0, 1 + 0, 9 · 0, 78 = 0, 799 Problema 3.6. Con objeto de diagnosticar la colelitiasis se usan los ultrasonidos. Tal técnica tiene una sensibilidad del 91 % y una especificidad del 98 %. En la población que nos ocupa la probabilidad de colelitiasis es del 20 %. (a) Si a un individuo de tal población se le aplican los ultrasonidos y dan positivos, ¿cuál es la probabilidad de que sufra la colelitiasis? (b) Si el resultado fuese negativo, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga la enfermedad? Lema. Sensibilidad, es la probabilidad de el test de positivo sobre una persona que sabemos que padece la enfermedad P (T +/E ). Especificidad, es la probabilidad que el test de negativo sobre una persona que no la padece, P (T/−E ) P(T +/E ) = 0, 91 P (E) = 0, 2 P(T −/E ) = 0, 09 P(T +/E ) = 0, 02   P E = 0, 8

P(T −/E ) = 0, 98

P (E/T + ) =

P(E)·P(T +/E ) P(E)·P( )+P(E )·P(T +/E )

0,2·0,91 = 0,2·0,91+ 0,8·0,02 = 0, 9191

P (E/T − ) =

P(E )·P(T −/E ) P(E)·P(T −/E )+P(E )·P(T −/E )

0,8·0,98 = 0,2·0,09+ 0,8·0,98 = 0, 9775

T +/E

Problema 3.7. Entre los estudiantes de una Facultad de Filosofía y Letras se dan las siguientes proporciones: el 40 % son hombres. El 70% de los varones fuman, mientras que entre las mujeres sólo fuman el 20%. Escogido un estudiante al azar, calcúlese la probabilidad de que fume.  H → Hombre → P (H) = 0, 4    F → Fumador P (F/H ) = 0, 7    P (F/H ) = 0, 2 Manuel Angel Barea Gómez

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CAPÍTULO 3. PROBABILIDAD P(F/H ) = 0, 7 P (H) = 0, 4 P(F/H ) = 0, 3 P(F/H ) = 0, 2   P H = 0, 6

P(F/H ) = 0, 8

  P (F) = P (H) · P (F/H ) + P H · P (F/H ) = 0, 4 · 0, 7 + 0, 6 · 0, 2 = 0, 4 Problema 3.8. Los estudios epidemiológicos indican que el 20% de los ancianos sufren un deterioro neuropsicológico. Sabemos que la tomografía axial computerizada (TAC) es capaz de detectar este trastorno en el 80 % de los que lo sufren, pero que también da un 3% de falsos positivos entre personas sanas. Si tomamos un anciano al azar y da positivo en el TAC, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo? P(T +/E ) = 0, 8 P (E) = 0, 2 P(T −/E ) = 0, 2 P(T +/E ) = 0, 03   P E = 0, 8 P (E/T + ) =

P(E)·P(T +/E ) P(E)·P( )+P(E )·P(T +/E ) T +/E

P(T −/E ) = 0, 97 2·0,8 = 0,2·0,0,8+ 0,8·0,03 = 0, 8695

Problema 3.9. Sabemos que tiene estudios superiores el 15% de la población española, estudios medios el 40 %, estudios primarios el 35 % y no tiene estudios el 10%. Los desempleados no se distribuyen proporcionalmente entre esas categorías, dado que de entre los de estudios superiores están sin trabajo el 10 %, entre los de estudios medios el 35 %, entre los de estudios primarios el 18 %, y entre los que no tienen estudios el 37 %. Obtenga las probabilidades de que extraído uno al azar, éste sea: (a) Titulado superior, sabiendo que está parado. (b) Un sujeto sin estudios que está en paro. (c) Un sujeto con estudios primarios o que está trabajando.  S → Titulado Superior → P (S) = 0, 15 P (D/S) = 0, 10    M → EstudiosMedios → P (M) = 0, 40 P (D/M) = 0, 35 P → EstudiosPrimarios → P (P) = 0, 35 P (D/P) = 0, 18    N → Sin E studios → P (N) = 0, 10 P (D/N ) = 0, 37

Manuel Angel Barea Gómez

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CAPÍTULO 3. PROBABILIDAD P(D/S) = 0, 10 P (S) = 0, 15 P(D/S) = 0, 90 P(D/M) = 0, 35 P (M) = 0, 40 P(D/M) = 0, 65 P(D/P) = 0, 18 P (P) = 0, 35 P(D/P) = 0, 82 P(D/N ) = 0, 37 P (N) = 0, 10 P(D/N ) = 0, 63 P (S/D) =

P(S)·P(D/S) P(S)·P(D/S)+P(M)·P(D/M)+P(P)·P(D /P)+P(N)·P(D/N )

,15·0,10 = 0,15·0,10+0,4·00,35+ 0,35·0,18+0,1·0,37 = 0, 06

N)·P( /S) P (N/D) = P(S)·P(D/S)+P(M)·P(P( D/M)+P(P)·P(D/P)+P(N)·P(D/N ) = D

0,10·0,37 0,15·0,10+0,4·0,35+0,35·0,18+0,1·0,37

= 0, 145

Para poder resolver el tercer apartado debemos desarrollar unos cálculos previos:   P D = P (S)· P (D/S) + P (M) · P (D/M) + P (P) · P (D/P) + P (N) · P (D/N ) = 0, 15· 0, 9 + 0, 40 · 0, 65+ 0, 35 · 0, 82 + 0, 10 · 0, 63 = 0, 745   P P ∩ D = P (D/P) · P (P) = 0, 82 · 0, 35 = 0, 287     ¯ = P (P) + P D − P P ∩ D = 0, 35 + 0, 745 − 0, 287 = 0, 808 P (P ∪ D) Problema 3.10. Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B, y C. En el laboratorio hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de2/3 y que la produzca el virus C es de 1/7. Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C?   A → VirusA → P (A) = 0, 3 P (V/A) = 1/3 B → VirusB → P (B) = 0, 2 P (V/B) = 2/3  C → VirusC → P (C) = 0, 5 P (V/C) = 1 /7

P(V/A) = 1/3

P (A) = 0, 3 P(V/A) = 2/3 P(V/B) = 2/3 P (B) = 0, 2 P(V/B) = 1/3 P(V/C) = 1/7 P (C) = 0, 5 P(V/C) = 6/7 Manuel Angel Barea Gómez

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CAPÍTULO 3. PROBABILIDAD 0,5·1 /7 0,3·1/3+0,2·2/3+0,5·1/7

/C) P (C/V ) = P(A)·P(V/A)+PP(C)·P( = (B)·P(V/B)+P(C)·P(V/C) V

= 0, 231

Problema 3.11. El 70 % de los estudiantes aprueba una asignatura A y un 60 % aprueba otra asignatura B. Sabemos, además, que un 35 % del total aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de las siguientes situaciones: (a) Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A. (b) Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la A. (c) No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A. (d) No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la A. P (B/A) =

P(A∩B) P(A)

=

0,35 0,7

= 0, 5

Para el segundo apartado debemos calcular previamente   P A ∩ B = P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B) = 0, 6 − 0, 35 = 0, 25 P (B/A) =

P(A∩B) P(A)

=

0,25 0,3

= 0, 833

Para el tercer apartado debemos calcular previamente   P B ∩ A = P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) = 0, 7 − 0, 35 = 0, 35 P (B/A) =

P(B∩A) 0,35 P(A) = 0,7

= 0, 5

Para el cuarto apartado debemos calcular previamente      P B ∩ A = P A ∪ B = 1 − 0, 95 = 0, 05 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 7 + 0, 6 − 0, 35 = 0, 95 P (B/A) =

P(B∩A) P(A)

=

0,05 0,3

= 0, 167

Problema 3.12. La cuarta parte de los conductores de coche son mujeres. La probabilidad de que una mujer sufra un accidente en un año es de 5/10000, y para los hombres es de 1/10000. Calcúlese la probabilidad de que si acaece un accidente, el accidentado sea hombre. P(A/H ) = 0, 0001 P (H) = 0, 75 P(A/H ) = 0, 9999 P(A/M) = 0, 0005   P M = 0, 6 P (H/A) =

Manuel Angel Barea Gómez

P(H)·P(A/H ) P(H)·P(A /H )+P(M)·P(A/M)

P(A/M) = 0, 9995 =

0,75·1/10000 0,75·1/100001/3+0,25·5/10000

= 0, 375

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