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Nombre del estudianteNombre del trabajo:Proyecto Integrador Etapa 3: Volumen y medidas de volumen en la interacción entre cuerpos o movimientos de manera aisladaFecha de entrega:4 de Julio de 2021Campus:Carrera /Prepa:Ing. Industrial y de SistemasSemestre/Cuatrimestre:3er CuatrimestreNombre del maes...

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Nombre del estudiante

Nombre del trabajo: Proyecto Integrador Etapa 3: Volumen y medidas de volumen en la interacción entre cuerpos o movimientos de manera aislada Fecha de entrega: 4 de Julio de 2021 Campus:

Carrera /Prepa: Ing. Industrial y de Sistemas Semestre/Cuatrimestre: 3er Cuatrimestre Nombre del maestro:

Introducción 1. Descripción y gráficas de los cuerpos en 3D 1.1 Cuerpos geométricos sólidos 1.2 Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 1.3 Discusión 2. Descripcion matemática de los fenómenos físicos que afectan a los cuerpos en 3D 2.1 Aplicación de fuerzas sobre cuerpos geométricos sólidos 2.2 Método de multiplicadores de Lagrange 2.3 Proyección de ecuaciones con aplicación de fuerzas 2.4 Discusión 3. Volumen y medidas de volumen en la interacción entre cuerpos o movimientos de manera aislada 3.1 Integración de superficies 3.2 Formulaciones (integración) de volumenes de los cuerpos sólidos geométricos 3.3 Graficación de funnciones 3.4 Discusión

Introducción: En este proyecto integrador etapa 1 aplicaremos los conceptos que hemos visto hasta el momento dentro del curso. Los temas que son importantes a tener a consideración a la hora de elaborar esta actividad están las funciones, vectores, los sistemas de coordenadas cartesianas o polares para poder representar cuerpos en 3D y derivadas en 2 dimensiones para explicar como son afectados los cuerpos por determinadas fuerzas que se ejerzan en ellos y como interactúan o comportan con otros cuerpos dentro de un movimientos en sus ejes. Dentro de la actividad lo que se busca es analizar, describir, interpretar y simular las fuerzas físicas que afectan a los cuerpos tridimensionales por medio de herramientas de descripción de funciones de 2 variables, diferenciación e integración. También se utilizara una aplicación de software de graficación llamado Octave para simular dentro de un entorno virtual las figuras geométricas en tres dimensiones. Para este proyecto escogimos tres figuras geométricas solidas, de las cuales las seleccionadas son la esfera, cilindro y cono en las cuales determinamos las posibles ecuaciones que pueden formarlos, después utilizamos el programa de graficador por programación para visulaizar los cuerpos tridimensionales para posteriormente discutir en equipo tres preguntas referentes a las diferencias de dominio y contradominio de una función, diferencias dentro de las graficas o en superficies de nivel y si se facilita o complica el uso de diferentes sistemas de coordenadas en la graficacion y descripción de los objetos 3D.

1. Descripción y gráficas de los cuerpos en 3D

1.1 Cuerpos geométricos solidos Esfera: Comandos:

Graficas:

Cilindro: Comandos:

Graficas:

Cono:

Comandos:

Graficas:

1.2 Coordenadas Polares, Cilindricas y Esfericas: Coordenadas esfericas

1.3 Discusion:

1. ¿Existen diferencias significativas u observables en el dominio y en el contradominio de unafunción?Si es así, explica brevemente. Si existe una diferencia porque las coordenadas son diferentes dentro del espacio y se representan de una forma ordenada distinta. 2. ¿Es posible observar diferencias en las gráficas o en las superficies de nivel? Puede verse dificil de identificar pero por el software son identificables las superficies geometricas. 3. Complica o facilita el uso de los distintos sistemas coordenados en la graficacióny la descripción de los cuerpos en 3D. Se demuestra mucho con la manera en la cual se tiene que mostrar la superficie, puesto que, las ecuaciones mas complejas o sencillas a veces son dificiles de describir, en este caso las esfera se representa con coordenadas polares y si fuese en un plano distinto fueran cartesianas.

2. Descripcion matemática de los fenómenos físicos que

afectan a los cuerpos en 3D 2.1 Aplicación de fuerzas sobre cuerpos geométricos sólidos Explica desde las bases matemáticas del cálculo vectorial qué sucede al aplicar diversas fuerzas sobre cada uno de los cuerpos geométricos sólidos en 3D. En el momento de aplicar dos fuerzas sobre un cuerpo geometrico por separacion, estas tienen ls mismos valores, sentido opuesto y direccion y se les llama par de fuerzas. Al momento de aplicar un par de fuerzas sobre el cuerpo geometrico, la resultante de la fuerza sera de cero, ya que, al ser fuerzas opuestas se restan. Al intensificar la fuerza sobre el solido, este tiende a rotar. El resultado del momento sera la suma de cada segmento de fuerza entre las dos fuerzas. M = F x d + F x 0 >>> M = F x d Se pueden distinguir tres tipos de equilibrios en base al comportamiento del cuerpo geometrico. • • •

Equilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferente

Para cada cuerpo geométrico sólido identifica planos tangentes y describe de manera más detallada el comportamiento de los campos sobre cada tipo de cuerpo elegido.

El plano tangente de una esfera es perpendicular a cualquiera de sus puntos. El plano tangente de un cilindro esta en donde sea el contacto, en la recta L y el punto A. El plano tangente de un cono es oblicuo a la base del mismo.

2.2 Método de multiplicadores de Lagrange Describe los puntos extremos dentro de las ecuaciones que explican cada cuerpo geométrico sólido elegido, a través del método en mención.

Coloca planos a los cuerpos sólidos que sean tangentes, principalmente en los extremos: Máximos, mínimos ya sea locales o absolutos, dentro de cada uno de los tres cuerpos geométricos.

2.3 Proyección y graficación de ecuaciones con aplicación de fuerzas

2.4 Discusión •

¿En términos matemáticos, explica cómo se están comportando las fuerzas alrededor de cada cuerpo?

- Equilibrio Estable: Al mover el cuerpo geometrico de su posicion de equilibrio este regresa a su posiscion original, debido al par de fuerza. - Equilibrio Inestable: Al mover el cuerpo geometrico de su posicion de equilibrio el par de fuerzas que aparecen lo alejan mas de su posicion de equilibrio. - Equilibrio Indiferente: Al mover la posicion del cuerpo geometrico se seguira el equilibrio al no generar ningun cambio sobre el. •

¿Cómo explican los planos tangentes a cada cuerpo geométrico?

Un plano tangente en una superficie es igual a una recta tangente de una cuerva, por lo que es una aproximacion de una superficie se puede hacer uso para encontrar extremos relativos. •

Explica si existen diferencias en la forma de colocar cada plano

Si existen diferencias por la manera de interpretacion de la gradiente de funciones de dos o mas variables. La pendiente de un plano en cualquiera de las direcciones es constante en los valores de entrada y depende de la figura que se represente.

3. Volumen y medidas de volumen en la interacción entre cuerpos o movimientos de manera aislada 3.1

Integración de superficies

Revisa nuevamente el material que se incluye para esta etapa del Proyecto integrador, especialmente en lo referente a las integrales tiples y los procedimientos sobre la integración de superficies, es necesario estudiar y dominar los ejemplos que ahí se presentan, para modelar la nueva situación. Identifica las coordenadas cartesianas del centroy de los extremos de la función de cada cuerpo sólido geométrico para poder utilizarlas herramientas que vienen en el siguiente punto.

3.2

Formulaciones (integración) de volúmenes de los cuerpos sólidos geométricos

Retoma las coordenadas calculadas a través del método de multiplicadores de Lagrange que realizaste en la etapa II del Proyecto integrador de cada uno de los cuerpos sólidos geométricos, así como las coordenadas del centro para introducir la información en Octave correspondiente a cada tipo de cuerpo. Establecelas formulaciones para el volumen de cada uno de los tres cuerpos a través de: • Integrales triples en coordenadas cartesianas, usando una región conveniente para los tres cuerpos. • Integrales triples en coordenadas cilíndricas, usando una región conveniente para los tres cuerpos. • Integrales triples en coordenadas esféricas, usando una región conveniente para los tres cuerpos.

3.3 Esfera:

Graficación de funciones

Cilindro:

Cono:

3.4 Discusión: •

¿El valor del volumen es el mismo o es distinto cuando se calcula entre cada método? Explica brevemente. El valor del voluimen se mantiene igual, puesto que, aunque haya diferentes sistemas de coordenadas, en todos es común que las variables cambian pero los resultados son los mismos.

•

¿Cuáles son los aspectos más importantes en cada método? Coordenadas Cartesianas: Se utlizan para encontrar puntos o sitios dentro del plano coordenado de dos o mas dimensiones. Coordenadas Cilíndricas: Nos ayudan a solucionar problemas en el cual el objeto es un cilindro y nos deja definir la posicion del punto dentro del espacio. Coordenadas Esféricas: Se utilizan para resolver probleas en los cuales la figura involucrada es una esfera. Las distintas variablaes que hay pueden representar la posicion, distancia entre origen y angulos dentro del problema.

•

¿Existe o no existen diferencias significativas en el valor de volumen entre cada método? Explica brevemente. No existen diferencias significativas en el valor del volumen. Aun así, a la hora de resolver un volumen de un solido debemos de utilizar el pensamiento similar al cálculo de áreas en rectangulos.

Referencias: Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?page=1 Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable Haga clic para ver más opciones [Archivo PDF]. Recuperado de http://colegioparroquialsanluisgonzaga.edu.co/wpcontent/uploads/2018/04/Calculo-Una-variable-Stewart-7ed-1.pdf Universidad de concepción (2018). Cálculo numérico (521230) - Laboratorio 1. Introducción a octave I Haga clic para ver más opciones [Archivo PDF]. Recuperado de ftp://ftp.ing-mat.udec.cl/pub/ingmat/asignaturas/521230/laboratorios/2018-2/lab01-521230-2018.pdf Universidad de concepción (2018). Cálculo numérico (521230) - Laboratorio 2. Introducción a octave II Haga clic para ver más opciones [Archivo PDF]. Recuperado de ftp://ftp.ing-mat.udec.cl/pub/ingmat/asignaturas/521230/laboratorios/2018-2/lab02-521230-2018(1).pdf Octave Forge [Página web]. Recuperado de: https://octave.sourceforge.io/octave/function/quiver.html https://octave.sourceforge.io/octave/function/quiver3.html...