Questões de Derivadas Parciais PDF

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Conteúdo de Calculo 3....

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Professora: Tânia Cabral FT DERIVADAS PARCIAIS1 – P e E (seções 14.3 e 14.5, volume 2, Cálculo, James Stewart, 7a. Ed.)2 Revisão: derivadas e diferenciais de funções de uma variável Problema 1: Determine a derivada de cada função e o valor da derivada no ponto indicado. 1.

f (x) = x sin x

2.

df (x) = ... dx x=π

g(t) = 4 sect + tant

3.

dg(t) = ... dt t =0

2

F(θ ) =

1 + sinθ θ + cosθ

dF(π ) = ... dθ

Problema 2: Determine a diferencial de cada uma das funções abaixo. 4

2

2. x(t) = sin 2 t − et

1.

f (x) = 5 x 3 − sin x

3.

1 g(x) = e 4 x tan x + ln x 2

4. h(ω ) =

Problema 3: Dada x 2 y 3 + cos y = 0 determine

2

ω 3 +1 1+ ω 2

dy . dx

Derivadas parciais e diferencial total Problema 4: Determine a diferencial total das seguintes funções. 1.

f ( x , y ) = 3x − 2 y 4

4.

f ( x, y) =

x−y x+ y

10

2.

f (x, y ) = x 5 + 3x 3y 2 + 3xy 4

3.

z = ( 2x + 3 y )

5.

f ( x, y ) = x ln ( x 2 + 4)

6.

z = x2 + y2

Problema 5: Determine as derivadas parciais das seguintes funções e o valor da derivada indicada no ponto indicado. 1.

f (x, y) = x ln y ∂ f (1,1) = ... ∂x

4. T (u,v) = u v

Tu (1,1,0) = ...

2. u(r,θ ) = tan(rθ )

∂u ∂θ (

π π , ) 3 3

= ...

5. N (v,w) = ln(v + v 2 + w 2 )

N w (3, 4) = ...

3. g(x,t) = sin(x − π t) 1 gt (0, ) = ... 2 6.

f ( p,r,θ ) = ( pr)2 cos 2 θ + p 2 r sin θ

∂ f (2, 3, 0) = ... ∂θ

Problema 6. A que taxa está variando o volume de uma caixa retangular se seu comprimento é de 8 cm e está aumentando a 3 cm/s, sua largura é de 6 cm e está aumentando a 2 cm/s e sua altura é de 4 cm e está aumentando a 1 cm/s?

1

Texto produzido por Os Cabraldinos (Tânia CABRAL – PUCRS e Roberto BALDINO – UERGS). Todos os direitos reservados; reprodução e distribuição não autorizadas. Watermark: Owl of Minerva – GNU FDL. 2

Pode ser consultado qualquer outro texto de Cálculo.

Derivadas Parciais – Problemas e Encaminhamentos

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Professora: Tânia Cabral Encaminhamento de P6. O problema é de mesma natureza daqueles estudados no Cálculo I. Como referência, podem ser consultadas as seções 2.7 e 3.7, volume 1, Cálculo (James Stewart, 7a. edição). Encaminhamento Geral Para determinar a derivada de uma função, de uma ou mais variáveis, pode-se manter uma variável livre e fixar as demais como “constantes”, quando é o caso das funções de mais de uma variável, usar as regras de derivação e a regra da cadeia explicitamente ou usar a diferencial total. Estude os exemplos a seguir. Dado que z = e x sin y , x = s t 2 e y = t Pela regra da cadeia explícita escrevendo a regra da cadeia na forma geral:

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y e = = + + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

2 ∂z = (e x sin y) t 2 + e x (cos y)(0) = t 2 e s t sin t ∂s

2

2 ∂z 1 e st cos t = (e x sin y)2 s t + (e x cos y) = 2 s t e st sin t + ∂t 2 t 2 t Por diferencial total (passo a passo)

2

2

2

dz = d(e s t sin t ) = (e s t )d(sin t ) + (sin t ) d(e s t ) 2

2

dz = e s t (cos t )d( t ) + (sin t )(e s t )d(s t 2 ) 2

dz = es t (cos t )

1

2

dt + (sin t )(es t )(sd (t 2 ) + t 2 ds)

2 t 2 2 1 dz = es t (cos t ) dt + (sin t )(es t )(s2tdt + t 2 ds) 2 t 2

2 e s t cos t + 2 t s e s t sin t )dt dz = t e sin t ds + ( 2 t assim as derivadas parciais são: 2

s t2

∂z 2 s t 2 = t e sin t ∂s

e

2 2 ∂z e s t cos t = + 2 t s e s t sin t ∂t 2 t

Para determinar a derivadas de funções definidas implicitamente, pode-se proceder como segue dy Dada x − xy + 3y = 4 e y(x) pede-se dx d(x − xy + 3y) = d(4) dx −

dy y − 2 xy x y 1 )dy = 0∴ = )dx + (3 − (xdy + ydx) + 3dy = (1− dx 6 xy − x 2 xy 2 xy 2 xy

y ∂f 1− y − 2 xy 2 xy ∂z dy y −x ∂z dy = = ∂x , isto é ou escrevendo + 3∴ = − = 1− = e ∂f −x dx dx 2 xy ∂y 2 xy ∂x + 3 6 xy − x ∂y 2 xy

−

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