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Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico

Aula 4

Prof.ª Claudia Lorena Juliato Araújo 1 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

Conversa Inicial Nesta aula, será abordada a teoria dos conjuntos e sua importância na compreensão da Lógica e no auxílio à resolução de problemas lógicos.

Contextualizando A teoria dos conjuntos está nos mais corriqueiros pensamentos, lógicas e abstrações que fazemos para compreender situações do cotidiano. Ela pode servir para abstrair pensamentos que se juntam ou coisas que se repetem, sem nos darmos conta. Por isso, sua formalização é fundamental para a resolução de problemas que necessitam de respostas simples e objetivas. Por exemplo, quais serão as possíveis formas de montar uma roupa para sairmos? Esta forma de pensar as possíveis combinações que temos ou de encontrarmos possíveis soluções de um problema é denominada análise combinatória.

Tema 1: Análise combinatória – conceitos iniciais A análise combinatória é a parte da Matemática e da Lógica que trabalha com a análise das possibilidades e das combinações possíveis entre conjuntos de elementos, pois auxilia no estudo das probabilidades. Os principais conceitos que a norteiam são: o Princípio Fundamental da Contagem e o diagrama de árvore. Diagrama de árvore Responsável por estabelecer todas as combinações existentes e possíveis para agrupar um conjunto de objetos (elementos). Vejamos quantos visuais diferentes podemos montar com duas calças, três camisetas e quatro chapéus diferentes. Figura 1.1

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Fonte: Princípio..., 2016.

Observe que teremos ao total vinte e quatro visuais diferentes combinando essas nove peças. Essa forma de representar todas as combinações possíveis, chama-se diagrama de árvore. Poderíamos ter feito esse cálculo por meio do princípio fundamental da contagem, que consiste em multiplicar a quantidade total de cada um dos elementos que se quer agrupar. Total de calças × total de camisetas × total de chapéus = total de combinações possíveis. 2 × 3 × 4 = 24 Princípio Fundamental da Contagem Nos auxilia a resolver problemas, como: 3 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

Quantos números naturais de dois algarismos são múltiplos de 5? Existem 9 possibilidades de números na primeira posição, uma vez que o zero não pode ser contado. Existem 2 possibilidades de números no segundo algarismo, uma vez que, para ser múltiplo de 5, deve terminar em zero ou em 5. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos 9 × 2 = 18 possibilidades. De quantas formas podemos dispor as letras da palavra flúor de sorte que a última letra seja sempre a letra R? Para a última letra, temos apenas uma possibilidade que é a letra R. Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades. Assim temos: 4 × 3 × 2 × 1 ×1 = 24. Podemos dispor as letras da palavra flúor de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja sempre a letra R. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E com algarismos diferentes? Podemos escrever 3 × 3 × 3 = 27 números com esses algarismos, mesmo repetindo. Sem repetir os números, podemos escrever 3 × 2 × 1 = 6 números com esses algarismos, sem repetição. Fatorial Representado por um ponto de exclamação, o fatorial de um número é o produto do seu valor pelos seus antecessores até chegar em 1. n! = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) … 1 Segundo a definição o fatorial de 5 é: 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Tema 2: Permutação Permutação é uma troca.

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Permutação simples É o agrupamento formado com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro aconteça apenas pela mudança de posição entre seus elementos. A fórmula é dada por: P = n! Vejamos alguns exemplos para o uso de permutação. Na fila do caixa de um banco, há três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas? Temos de calcular P3. Então: P3 = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Logo, as três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes. Quantos anagramas podemos formar com base na palavra vida? Para explicar melhor: um anagrama é uma palavra ou frase formada pela permuta de letras de outra palavra ou frase. As palavras ou frases resultantes podem ser sem significado. Como a palavra vida tem 4 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando P4. Temos então: P4 = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 Portanto, o número de anagramas que podemos formar com base na palavra vida é igual 24. De quantas maneiras distintas podemos organizar as alunas Claudia, Beatriz, Rita, Roberta e Tatiane para um grupo de trabalho escolar? Note que o princípio a ser utilizado na organização das estudantes será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos. P = n! 5 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

P = 5! P=5⋅ 4⋅ 3⋅ 2⋅ 1 P = 120 Portanto, o número de posições possíveis é 120. De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis jovens e seis crianças: a.

em qualquer ordem

Resolução Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto, utilizamos: 12! = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 479 001 600 possibilidades. b.

iniciando com um jovem e terminando com uma criança

Resolução Ao iniciarmos o agrupamento com jovem e terminarmos com criança teremos: seis jovens aleatoriamente na primeira posição e seis crianças aleatoriamente na última posição. Figura 2.1

P = (6 ⋅ 6) ⋅ 10! P = 36 ⋅ 10! P = 130 636 800 possibilidades Permutação com elementos repetidos Trata-se de cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, no qual ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal 6 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos. O cálculo é dado pela fórmula: (𝒂,𝒃,… )

𝑷𝒏

=

𝒏! 𝒂! ⋅ 𝒃! ⋅ …

Onde: n = total de elementos a, b, … = elementos que se repetem Exemplos da aplicação da permutação com elementos repetidos. Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra parar? Como a palavra parar tem 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo, vamos calcular P5(2, 2): (𝟐,𝟐)

𝑷𝟓

=

𝟓! 𝟏𝟐𝟎 = = 𝟑𝟎 𝟐! ⋅ 𝟐! 𝟐 ⋅ 𝟐

O número de anagramas que podemos formar com base nas letras da palavra parar é igual 30. Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos desses são ímpares? Nesse exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9. No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5(2, 2), pois um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2 ocorrências do 6: (𝟐,𝟐)

𝑷𝟓

=

𝟓! 𝟏𝟐𝟎 = = 𝟑𝟎 𝟐! ⋅ 𝟐! 𝟐 ⋅ 𝟐

Porém, no caso dos números terminados em 9, devemos calcular P5(3, 2) , pois o dígito 9 será utilizado na última posição. E, dos 5 dígitos que sobram, 7 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6: (𝟑,𝟐)

𝑷𝟓

=

𝟓! 𝟏𝟐𝟎 = = 𝟏𝟎 𝟐! ⋅ 𝟐! 𝟑 ⋅ 𝟐

Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então, no total, temos 40 números ímpares. Logo, dos números formados, 40 deles são ímpares.

Tema 3: Arranjo simples Se a ordem de posicionamento no grupo ou a natureza dos elementos causam diferenciação no agrupamento, então, estamos falando de arranjo simples. Por exemplo, ao formar uma equipe médica, composta de enfermeiros, cirurgiões e anestesistas, não há a possibilidade de troca de lugares, pois cada uma das pessoas do grupo tem uma função e especialização diferentes. Alterar a ordem de um agrupamento como esse poderia colocar em risco a vida de um paciente. Por isso, podemos definir arranjo simples por meio deste exemplo: Dado um conjunto qualquer com n elementos e um valor natural p. Será formado um arranjo simples de p elementos distintos de um conjunto qualquer a sequência formada por p elementos do conjunto. Seu cálculo é dado pela fórmula: 𝐩

𝐀𝐧 =

𝐧! (𝐧 − 𝐩)!

Onde: n = total de elementos. p = formas diferentes de arranjar o grupo. Exemplos:

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Em um campeonato de futebol com 10 times, quantas possibilidades de jogos serão feitas de turno e returno? Como o jogo time A × time B é diferente de time B × time A, por causa do returno, então, podemos concluir que a ordem importa. E quando a ordem importa, estamos falando de arranjo simples de 10 elementos tomados 2 a 2. Então, teremos: 𝟐 = 𝐀𝟏𝟎

𝟏𝟎! = 𝟗𝟎 (𝟏𝟎 − 𝟐)!

Logo, serão realizados 90 jogos entre todos os times no turno e returno da competição. Em um campeonato de atletismo, participam da competição André, Paulo, Cristiano, Roberto, Sérgio, José e Felipe. Quantos resultados possíveis para o pódio podemos ter? Como a ordem entre o pódio, quer dizer, entre 1º, 2º e 3º altera o resultado, então, estamos falando de arranjo simples. Teremos: 𝐀𝟑𝟕 =

𝟕! = 𝟐𝟏𝟎 (𝟕 − 𝟑)!

Existem 210 possibilidades diferentes de pódio para estes 7 corredores. Qual é o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra felicidade? Trata-se de um arranjo simples de 10 elementos tomados de 10 em 10, na qual a ordem faz diferença. 𝐀𝟏𝟎 𝟏𝟎 =

𝟏𝟎! = 𝟑 𝟔𝟐𝟖 𝟖𝟎𝟎 (𝟏𝟎 − 𝟏𝟎)!

Então, podem ser formados 3 628 800 anagramas diferentes com essas letras. 9 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

Contudo, não se esqueça: no arranjo, a ordem sim importa.

Tema 4: Combinação Não importa se a calça azul será vestida com a camisa vermelha ou a camisa vermelha será vestida com a calça azul, neste caso, o traje é o mesmo. Na combinação, a ordem dos elementos não importa, apenas a natureza é que difere. Por exemplo, se com um grupo de pessoas você quer formar pares para uma competição, o fato de escolhermos Maria e João ou João e Maria é a mesma coisa. Continua sendo um par e a ordem na qual foram escolhidos não importa no resultado. Então, temos uma combinação quando os agrupamentos com elementos distintos não se alteram. Muda-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas em relação à natureza dos elementos. Seu cálculo é dado pela fórmula: 𝐩

𝐂𝐧 =

𝐧! 𝐩! ⋅ (𝐧 − 𝐩)!

Onde: n = número total de elementos p = formas distintas de agrupar os elementos Vejamos alguns exemplos onde a ordem dos elementos não importa, pois o grupo resultante será o mesmo. Quantas combinações de jogos da Mega-Sena são possíveis de serem realizadas? Neste caso, não importa a ordem dos números, pois em cada um dos jogos você marcará 6, então, estamos diante de um caso de combinação de 60 elementos tomados de 6 em 6. 𝐂𝟔𝟔𝟎 =

𝟔𝟎! = 𝟓𝟎 𝟎𝟔𝟑 𝟔𝟖𝟎 ( 𝟔! ⋅ 𝟔𝟎 − 𝟔)! 10

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Uma sala é composta por 30 alunos. O professor pediu para formarem grupos de 4 alunos para a realização de um trabalho. Quantos possíveis grupos podem ser formados? A ordem dos grupos não importa, pois, um grupo formado por Cassio, Fernanda, Beth e Fabio é o mesmo grupo formado por Fabio, Fernanda, Cassio e Beth. Logo, teremos uma combinação de 30 elementos tomados 4 a 4. 𝟒 𝐂𝟑𝟎 =

𝟑𝟎! = 𝟐𝟕 𝟒𝟎𝟓 𝟒! ⋅ (𝟑𝟎 − 𝟒)!

Poderão ser formados 27 405 grupos diferentes. Com 12 bolas de cores diferentes, quantos saquinhos com 4 bolas cada posso formar? A ordem das cores não importa, logo, é combinação de 12 elementos tomados 4 a 4. 𝐂𝟒𝟏𝟐 =

𝟏𝟐! = 𝟒𝟗𝟓 𝟒! ⋅ (𝟏𝟐 − 𝟒)!

Existirão 495 possibilidades diferentes de arrumar os saquinhos. Lembre-se: na combinação simples, a ordem dos elementos não interfere.

Tema 5: Resolvendo Análise Combinatória Estudar cada um dos temas de análise combinatória não é tão difícil. A questão é: qual delas usar em cada problema. Arranjo? Permutação? Combinação? Na maioria das vezes, quando estudamos separadamente cada um desses temas fica fácil resolver os respectivos problemas. Mas quando aplicar uma combinação, um arranjo ou uma permutação? Neste tema, estudaremos porque, por exemplo, devemos usar uma combinação, e não um arranjo ou uma permutação, e não uma combinação.

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Vejamos então alguns exemplos de problemas de análise combinatória. De um total de 6 entradas e 4 pratos principais de um menu de restaurante, pretendo escolher 5 ao total para montar um menu de festa, de forma que tenha pelo menos 2 pratos principais. Qual é o número máximo de partos distintos que se poderá fazer para este menu? Se não houvesse a restrição dos dois pratos principais, o cálculo seria simplesmente C10, 5: 𝟓 = 𝐂𝟏𝟎

𝟏𝟎! = 𝟐𝟓𝟐 𝟓! (𝟏𝟎 − 𝟓)!

Mas, como há tal restrição, devemos descontar desse total o número de pratos que só contém carboidratos, que é igual a C6, 5: 𝐂𝟓𝟔 =

𝟔! =𝟔 𝟓! (𝟔 − 𝟓)!

Não podemos nos esquecer: podemos montar pratos contendo apenas um prato principal, então, devemos desconsiderá-los também. Esses pratos são o produto de C6, 4 referentes aos quatro itens de entrada, por C4, 1, referentes ao único item de prato principal: 𝐂𝟒𝟔 =

𝟔! = 𝟏𝟓 𝟒! (𝟔 − 𝟒)!

𝐂𝟏𝟒 =

𝟒! =𝟒 𝟒! (𝟒 − 𝟏)!

Multiplicando as combinações: 𝐂𝟔𝟒 ⋅ 𝐂𝟏𝟒 = 𝟏𝟓 ⋅ 𝟒 = 𝟔𝟎 Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e 12 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

mais 60 pratos com somente um item de prato principal. Então, de 252, que é o número

total

de

combinações

possíveis

sem

a

restrição,

devemos

subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186 Em um guarda-roupa, irei arrumar 3 camisetas brancas, 2 camisetas pretas e 5 vermelhas. Quantas são as disposições possíveis desde que as camisetas de mesma cor fiquem juntas, lado a lado, no guarda-roupa? Como temos três cores de camisetas, a permutação destes três tipos é igual a 6: P3 = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Ou seja, estando todas as camisetas de uma mesma cor juntas, o número de permutações é igual a 6, levando-se em consideração apenas a cor da camiseta. Para as brancas, temos 3 delas que, permutados entre si, resulta em 6 permutações: P3 = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Para as pretas, temos 2 camisetas que, permutadas entre si, resulta em 2 permutações: P2 = 2! = 2 ⋅ 1 = 2 Finalmente, para as vermelhas, temos 5 camisetas que, permutadas entre si, resulta em 120 permutações: P5 = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Multiplicando esses quatro números temos: P3 ⋅ P3 ⋅ P2 ⋅ P5 = 3! ⋅ 3! ⋅ 2! ⋅ 5! = 6 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅ 120 = 8 640 13 CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

Este é o número de disposições possíveis. Veja que os três últimos fatores (P3, P2 e P5) se referem às permutações das brancas, pretas e vermelhas, respectivamente, entre eles mesmos, sem existir mistura de cores. Note, no entanto, que o primeiro fator (P3) se refere às permutações entre os tipos de cores em si, por exemplo, "brancas, pretas, vermelhas" é um agrupamento e "pretas, vermelhas e brancas" é um outro agrupamento, ou seja, embora não exista mistura entre cores diferentes, as cores permutam entre si. Portanto, as disposições possíveis são 8 640. Na primeira fila de uma plateia existem 10 lugares, porém, são 12 o número de pessoas entre crianças, pessoas com necessidades especiais e idosos, que devem estar na primeira fila. De quantas maneiras distintas elas podem ser acomodadas, sabendo que a primeira fila estará sempre lotada? Para a primeira pessoa ocupar um dos lugares tem-se 12 possibilidades, para a segunda, teremos 11, para a terceira, teremos 10 e assim por diante, até a décima pessoa, na qual teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão em pé. Multiplicando tudo temos: 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 239 500 800 Se não importasse a ordem das pessoas na primeira fila, iríamos dividir 239 500 800 por 10! para anular a permutação das 10 pessoas na primeira fila, mas como a ordem das pessoas distingue um agrupamento do outro, não iremos realizar tal divisão, pois estamos na verdade trabalhando com arranjo simples. Por isso, você já deve ter percebido que poderíamos ter calculado A12, 10: 𝐀𝟏𝟎 𝟏𝟐 =

𝟏𝟐! = 𝟐𝟑𝟗 𝟓𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎 (𝟏𝟐 − 𝟏𝟎)! 14

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Então, as aves podem ser empoleiradas de 239 500 800 formas distintas.

Síntese Nesta aula, você conheceu os tipos de análise combinatória, quando usar uma permutação, uma combinação ou um arranjo. Também vimos a importância desse conteúdo no nosso pensamento lógico e abstrato.

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Referências PRINCÍPIO fundamental da contagem. Clubes de Matemática da OBMEP, Brasília, DF, 2016. Disponível em: . Acesso em: 29 ago. 2016.

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