Relatório Movimento Retilíneo Uniformemente Variado PDF

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Relatório escrito como trabalho para a disciplina de Laboratório de Física Geral I abordando a temática de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado...

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1.RESUMO Na cinemática temos como estudo o movimento dos corpos sem considerarmos algumas coisa como atrito, resistência entre outros, é o estudo do movimento em geral, e, podemos estudar nela, movimentos uniformes, movimentos variados, sejam eles retilíneos ou não. Com este experimento, tinha-se o objetivo de estudar o movimento uniformemente variado retilíneo de um móvel em um trilho de ar sem atrito e com uma inclinação de aproximadamente 5 graus, ou seja, com uma aceleração diferente de 0, de aproximadamente a=g × sen θ .

Para poder-se estudar esse movimento desta partícula, utilizou-se 4 foto-

sensores ligados a um cronometro da marca AZEHEB com uma precisão de 0,001s, régua milimetrada de precisão de 0,5mm, um nivelador para se analisar quantos graus o trilho estava inclinado, de uma precisão de 0,5 graus. E com isso, chegou-se que foi possível concluir qual a equação do movimento retilíneo uniformemente variado com uma determinada inclinação, além de interpretar os resultados por meio de gráficos, tanto em papeis milimetrados quanto em papeis via dilog e avaliar a aplicação da teoria de erros no experimento.

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2. INTRODUÇÃO GERAL A Fisica é uma ciência exata que estuda a natureza do universo tanto no macroscópico quanto no microscópico. Ela é dividida em várias partes onde uma em especial, cujos estudos se preocupam em descrever o movimento dos corpos, é denominada mecânica. Galileu Galilei que primeiramente veio a estudar, com rigor, os movimentos da Terra, e este, conseguiu chegar a algumas relações aceitas até hoje. Entretanto, foi o Físico e Matemático Isaac Newton que veio desenvolver os principais estudos acerca do movimento, da qual surgiu três leis de Newton: Lei da Inércia, Lei da Dinâmica e Lei da Ação-Reação. Neste relatório, é o movimento uniformemente acelerado que será tema do estudo, pois este descreve movimentos que são facilmente encontrados no dia a dia e que ajudam a descrever grande parte da dinâmica. Com ele é possível entender o movimento de um carro acelerando em uma pista reta por exemplo. Neste relatório ira ser estudado o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) a partir de dados obtidos experimentalmente por meio de um trilho de ar com atrito reduzido e com uma inclinação de aproximadamente 3 graus.

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3. OBJETIVOS Este experimento teve como objetivo geral obter uma equação geral que descreva o movimento para que seja possível caracterizar o movimento como movimento retilíneo uniformemente variado, além de fazer uma interpretação dos resultados da velocidade e aceleração por meio de gráficos em papel milimetrado e do papel dilog e ser possível avaliar a teoria de erros novamente durante o experimento.

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4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 4.1 Teoria necessária a análise do movimento A parte da física que se denomina Cinemática, estuda a descrição de movimentos a partir de um referencial. Tais movimentos podem ocorrer em uma quantidade de até 3 dimensões, sendo que o caso estudado na realidade ocorre em duas, mas podendo ser analisado de forma unidimensional. Para a análise do movimento é necessário primeiramente adotar um referencial, que no caso unidimensional, pode ser considerado uma reta orientada em que se escolhe a origem O; a posição da partícula em movimento no instante t é descrita pela abcissa correspondente x(t). No estudo em questão adotaremos o referencial como paralelo ao plano em que o movimento ocorre. Vide figura (1):

Figura 1: Referencial adotado para o estudo do movimento. O movimento mais simples descrito por uma partícula é o movimento uniforme, em que o gráfico pode ser descrito por uma equação de reta: S ( t ) =a+b × t (1)

Tal movimento caracteriza-se por descrever percursos iguais ( ∆ S=S 4−S 3=S2− S1 ) em intervalos de tempos iguais ( ∆ t=t 4 −t3= t2−t 1 ), logo considera-se a aceleração resultante do sistema nula. A velocidade V com que o movimento ocorre pode ser vista também como rapidez com que o móvel se desloca. Dessa forma, a velocidade do movimento uniforme é definida por:

4

t S(¿¿ 1) (2) S (t 2)− t 2 −t 1 ∆S V= =¿ ∆t Graficamente, V representa o coeficiente angular da reta no gráfico Sxt. Aplicando-se equação que define a velocidade tomando para

e para

o instante inicial

t1

t 0 , com

t2

um instante qualquer t

t S (¿¿ 0)=S 0 (posição inicial), obtêm-se a Lei horária ¿

do movimento retilíneo e uniforme: S ( t ) =S 0 +V × (t −t 0 ) ( 3 )

Outra forma de movimento, que representa o caso estudado, é o de Movimento Uniformemente Variado, onde a velocidade varia igualmente em intervalos de tempos iguais Dessa forma tem-se que o gráfico Sxt de um movimento uniformemente variado seja representado por uma cura de parábola, onde a relação entre os eixos x e y segue a equação: n

y=C × x (4) Admitindo que por se tratar de uma parábola, a curva comporta-se de forma quadrática de forma que n=2. Graficamente, o coeficiente da corda que liga dois pontos da curva vai aumentando á medida que a curva aumenta. Com isso, para o cálculo da velocidade instantânea nos pontos do gráfico é necessário a utilização do conceito de limite, onde pega-se dois pontos do gráfico e fazse com que o tomado

∆t

∆ t → 0 , ou seja, aproximamos esse valor o quanto quisermos do resultado

para que o valor encontrado seja referente somente ao ponto em questão.

Representa-se isso com o limite: lim ∆t→0

(

S ( t 0 +∆ t ) −S ( t 0 ) ∆t

)

❑

(5)

Chama-se tal limite de derivada de S em relação a t:

5

( dSdt )|

(6),

t =t 0

onde graficamente, derivar significa tomar o coeficiente angular da reta tangente ao ponto em questão. Com isso, através da obtenção dos valores da velocidade instantânea é possível construir um gráfico Vxt, cuja reta é representada pela equação linear: V (t ) =a+b × t (7) Com isso, admite-se graficamente que o coeficiente angular da reta representa a aceleração sofrida pelo corpo. Repetindo a análise feita para a equação de reta do gráfico Sxt, tem-se que o movimento acelerado cuja aceleração é constante, caracteriza-se por descrever variações de velocidades iguais ( ∆ V =V 4−V 3=V 2−V 1 )em intervalos de tempos iguais ( ∆ t=t 4 −t3= t2−t 1 ).Dessa forma, podemos escrever a aceleração do movimento uniformemente variado da seguinte forma: t V (¿ ¿1) V (t 2)− (8) t 2−t 1 ∆V A= =¿ ∆t Aplicando-se equação que define a aceleração e tomando para

t e para

t1 o instante inicial

t 0 , com

t V (¿¿ 0)=V 0 ¿

t2

um instante qualquer

(velocidade inicial), obtêm-se a Lei

horária da velocidade no movimento retilíneo uniformemente variado: V =V 0 + A × t (9) Analogamente a questão da variação do espaço para o cálculo da velocidade instantânea, é possível derivar a velocidade de forma a encontrar a aceleração. Porém, por tratar-se de um gráfico linear observa-se que o coeficiente angular de todos os pontos no gráfico possuem o mesmo valor.

6

Tendo sido encontrada a aceleração pelo conceito de derivada, torna-se importante expressar que o cálculo inverso também é possível, onde através do valor de uma aceleração, sendo ela constante para qualquer t ou variável, é possível chegar aos valores da velocidade instantânea e em seguida aos valores da posição. Para isso, aplica-se a operação inversa da derivada, em que de forma geral pode ser expressa da seguinte forma de acordo com uma aceleração A:

(

d ( A ×t n) dt

)

−1

=∫ d ( A ×t n ) dt =

A × t(n+1) (10) (n+1)

Nota-se que para uma aceleração constante, o tempo

t

n

aplicado a equação 10 somente

admite n=0. Com isso, aplicando o conceito de integral para o valor da aceleração quando a mesma é constante, encontra-se a relação da aceleração para obtenção da velocidade, relação esta que já foi exposta anteriormente através da equação (9). Integrando novamente tal equação que relaciona velocidade, aceleração e tempo, chega-se então a uma nova relação em que o valor da posição S é dada em função do tempo t. Tal equação caracteriza a Lei Horária do Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado: 2

S=S 0+V 0 × t+

a ×t (11) 2

Ainda, admitindo que o movimento foi iniciado através da atuação da aceleração gravitacional, pode-se chegar a relação que resulta na equação de tal componente através da análise da figura (2):

7

Figura 2 Representação das componentes da aceleração gravitacional atuantes no móvel Dessa forma, conclui-se a componente da aceleração paralela ao plano horizontal é dada da seguinte forma: A=g × sinθ (12)

Por convenção para este trabalho, adota-se como unidade de medida das grandezas representadas até agora a tabela 1 a seguir:

Tabela 1 Unidades de medida para as respectivas grandezas a serem calculadas

Grandeza Posição ( S ) Tempo ( t ) Velocidade ( V ) Aceleração ( A )

Unidade de Medida (Cm) (s ) (Cm/ s) (Cm/ s2 )

4.2 Teoria necessária a construção de gráficos Para a criação de gráfico afim de que se possa estudar as propriedades do movimento, faz-se necessário o uso de uma escala objetivando a distribuição proporcional dos pontos sobre o papel milimetrado. Dessa forma, utiliza-se a equação do módulo em escala:

8

Módulo de escala=

Espaço disponível no papel (13) Maior valor experimental obtido do range

Após o cálculo da escala, multiplica-se os valores experimentais pelo módulo, obtendo assim os pares ordenados que representam os pontos para o gráfico a ser construído. Visto que o procedimento experimental não ocorre de forma ideal e que erros são possíveis, observa-se que muitas vezes os pontos apresentados nos gráficos demonstram certos desvios. Através disso, a interpretação experimental dos resultados utiliza técnicas em que há um melhoramento para apresentação dos dados. A técnica dos mínimos quadrados calcula a equação de reta que melhor representa os pontos para um gráfico de comportamento linear. Através da equação base: y=a+b × x (14) Calcula-se o coeficiente linear

a e o coeficiente angular

b , respectivamente, para se

obter o ajuste da curva do gráfico: x

∑¿

a=

∑

¿ ² n ∑ x ²−¿ y ∑ x 2−∑ x ∑ xy ¿

x ∑¿² ¿ n ∑ x ²−¿ n ∑ xy −∑ x ∑ y b= ¿ Com o ajuste de curva realizado, é possível calcular o índice de confidencia

r . Tal

índice mede a precisão com que a reta obtida representa os pontos apresentados no gráfico, sendo que quanto mais próximo de 1, maior é a precisão da reta. Calcula-se

r

através da seguinte

equação:

9

√ P xx−¿ P r=

yy

(17 ) ,

Pxy ¿

onde Pxx

é o desvio padrão de x,

P yy

é o desvio padrão de y e

Pxy

é a covariância de x,

y. Referente a linearização de gráficos via papel dilog, não utiliza-se um módulo de escala para obtenção dos pontos no gráfico. Para tal aplica-se uma escala logarítmica (base 10) em ambos os eixos do gráfico. Dessa forma pode-se aplicar diretamente os valores obtidos durante a fase experimental variando somente os eixos de acordo com bases de 10 de forma a facilitar a colocação dos pontos no gráfico. Considera-se então um gráfico Sxt que utiliza a relação demonstrada pela equação (4) para criação de sua curva. Aplica-se log de ambos os lados da equação de forma e obter uma equação da reta com a seguinte configuração: log y (x)=log C+ n× log x(18) Através de tal equação (16) pode-se observar que n é dado pelo coeficiente angular do gráfico formado no papel dilog e

log C representa seu coeficiente linear.

Para obter o valor de n, segue-se então a seguinte equação: n=

log y 2−log y1 log x 2−log y 1

(19)

Ou então, ainda é possível obter n medindo diretamente com o auxílio de uma régua comum as variações

∆y

e

∆x

dividindo um valor pelo outro. Isto é possível já que

ambos os eixos estão em escala logarítmica. Dessa forma, encontra-se n segundo a equação geral para o cálculo do coeficiente angular: n=

y− y0 =¿ x− x0

n=

∆y (20) ∆x

10

Tendo sido obtido o valor de n, pode-se também calcular a constante C aplicando x=1 na equação (16): log y ( 1 )=log C+ n× log 1 → log y (1)=log C (21) 4.3 Teoria necessária a análise das medidas experimentais Por se tratar de um procedimento experimental com várias medições de uma mesma grandeza, faz-se necessário trabalhar o conceito de valor médio e desvio padrão para estabelecer o valor mais satisfatório de uma medida levando em consideração a teoria de erros. O cálculo do valor médio é uma representação da medida de uma grandeza caso tenhamos diferentes medidas para a mesma. Tal relação é obtida da seguinte forma: x 1 +x 2+ x3 +⋯+x n 1 n = ∑ x i ( 22 ) n i=1 n

´x =

O desvio padrão atribuído a uma medida de uma dada grandeza é uma dispersão estatística. Tal medida informa a variação de valores em relação a média obtida ou em relação a incerteza da mensuração de uma medida via instrumentos de medida. Tal relação de desvio entre uma média de valores e dada da seguinte forma:

√

σ=

n

(x i−´x )2 ∑ i=1 (n−1)

(23)

De forma a manter os resultados sempre o mais próximos possíveis da realidade é necessário fazer a análise dos desvio padrão da medida e do desvio informado pelo fabricante quando se trata de um instrumento de medida. Para isso, observa-se qual dos valores citados apresenta um maior desvio, de forma que esse valor será usado para representação da medida experimental. Exemplificando isso temos o cronometro, onde a incerteza informada pelo fabricante é de

± 0,001 s . Na maioria das medidas de tempo calculadas, encontram-se um

desvio padrão da casa de

−4

10

. Logo, conclui-se que na representação da medida experimental

a incerteza utilizada seria a apresentada pelo fabricante do produto, visto que esta é maior do que o desvio padrão. 11

A ideia de incerteza exige uma grande aplicação da teoria de erros. Pois segundo diz a mesma a incerteza de uma medida sempre aumenta ao se realizar cálculos com ela. Dessa forma tem-se certas relações que são necessárias para o cálculo desses novos desvios. As equações para encontrar o desvio padrão de medidas indiretas, são representadas da seguinte forma de acordo com a operação a que a medida experimental será submetida: 1) Multiplicação:

( A ± σ A ) =( a ± σ a) × ( b ± σ b ) ¿ ( A) =¿( a ) +¿ (b)

σ A σ a σb = + A a b σ A= A

( σa + σb )(24) a

b

2) Divisão:

( A ± σ A ) =( a ± σ a) ÷ (b ± σ b ) ¿ ( A) =¿( a ) −¿ (b )

σA σa σb = − A a b

Por causa da Teoria de Propagação de Erros, tem-se que, ao calcular medidas com diferentes desvios, suas incertezas sempre aumentam, logo, muda-se o sinal de subtração da operação pelo sinal da adição.

σ A σ a σb = + A a b σ A= A

( σa + σb )(24) a

b

12

Dessa forma, como conclusão chega-se numa relação equivalente a relação de multiplicação. Soma ou Subtração: W =x ± y ± … σ2W =σ x2 +σ 2y +…

σ W =√ σ x+ σ y +…(25) 2

2

5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL 5.1. Materiais Utilizados 13

Eis a lista de materiais cujo foram utilizados para o desenvolvimento do experimento e suas devidas conclusões. Obs: Nem todos os itens contidos no equipamento da Azeheb foram utilizados. 

Conjunto de equipamentos da marca Azeheb contendo: 1. Trilho de Ar; - Feito de Alumínio, oco, em formato triangular. Possui em sua base lateral uma escala milimétrica ao longo de seu comprimento, e nas extremidades inferiores reguladores de altura. Furos em sua parte superior fazem fluir o ar. 2. Compressor de Ar; - Responsável por impulsionar o ar para o trilho através de uma mangueira. O compressor tem Bi Voltagem e possui um controlador de fluxo(fixado em 80% de potencia no experimento). 3. Cronômetro digital; - Responsável pela medição do intervalo de tempo entre os sensores de tempo(7). 4. Móvel; - Possui um formato triangular, compatível com o trilho. Possui uma elevação vertical cilíndrica na parte superior responsável por acionar os sensores de tempo, e em cada lateral para colocar massas adicionais se necessário. Possuem também dois furos em suas laterais, onde conectam-se peças metálicas dependendo de cada experimento. 5. Eletroimã; - Utiliza corrente elétrica para gerar um campo magnético, semelhantes aos imãs naturais. Este equipamento é fixo em uma das extremidades superiores do trilho, sua função é manter o móvel parado nesta posição até o encerramento da corrente elétrica. 6. Sensores de tempo; 14

- São sensores de luz que informam o tempo em que o móvel passa em sua devida posição. Cinco sensores compõem o experimento, os mesmos devem estar conectados ao cronômetro, cada qual em sua devida posição, definida conforme o necessário. O primeiro sensor é responsável por ativar os respectivos sensores (tempo inicial). 7. Suporte lateral; - Nas laterais da parte superior do trilho são fixados por meio de um parafuso, suportes laterais em formato de U, possuem um elástico. Estes têm como função, evitar o impacto do móvel com a extremidade, evitando também sua queda.

Figura 3 Foto do conjunto Azeheb



Materiais adicionais: 

Régua (20 Centímetros); - Utilizado para corrigir a distância entre os sensores de tempo.



Nivelador; - Utilizado para medir a inclinação do trilho.



Tiras de Borracha; 15

- Utilizadas para amenizar o choque com o fim do trilho de ar; 

Lastros de Metal; - Utilizados para aumentar o grau de inclinação do trilho.



Paquímetro; - Responsável por medir o tamanho dos Lastros de metal.

5.2 MONTAGEM EXPERIMENTAL

Figura 4 Representação da montagem experimental

Equipamentos listados no item 5.1.

16

5.3 DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO Com o objetivo de definir a equação que descreve o movimento unidimensional de um móvel deslizando sem atrito sobre um trilho de ar em um plano com inclinação de aproximadamente

5 ° , em primeiro lugar, é preciso ajustar o plano de acordo com o

experimento, inicialmente ajustando os fótossensores. O primeiro fótossensor é posicionado a 40 cm

em relação à fita métrica fixada no trilho, para marcar a posição

os quatro restantes fótossensores são posicionados com 15 cm

S 0=0 , em seguida

equidistantes entre si medidos a

partir de seu eixo central com o uso de uma régua milimétrica de 30 cm com uma incerteza de ± 0,05

centímetros, a fim de prever erros é adotado um desvio de aproximadamente

0,05 cm para cada medida. Os fótossensores são conectados a um cronometro com um display

composto de quatro contadores que medem a variação do tempo em relação ao espaço percorrido entre os sensores. Em segundo lugar, a inclinação do trilho precisa ser ajustada de acordo com o experimento, que é de aproximadamente

5 ° , para isso, é utilizado pequenos lastros de metal, a

somatória de todos os lastros utilizados é de

± 9 mm

inclinando o ...