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Cálculo Financiero

Práctica Interés Compuesto. En el Interés Compuesto existe la reinversión de Intereses, es decir siempre se aplican los intereses sobre el capital inicial + los intereses.

Resumen Formulas: Elementos: -

Co: Capital Inicial. Cn: Capital Final o Monto. Cn= Co + I n: Plazo i: Tasa de interés. I: Masa de Interés. I= Cn - Co

Siempre entre el Plazo y la Tasa de Interés tiene que haber una concordancia, si la tasa de interés es anual, el plazo también tiene que serlo o viceversa. Si no están en la misma medida de tiempo lo TRANFORMO. A diferencia de Interés simple que se hacía con Regla de 3 simples, acá se usa Equivalencia de Tasas (Tema a ver más adelante).

• Tasa de interés permaneciendo constante: 𝐶𝑛 = 𝐶𝑜 (1 + 𝑖)𝑛

𝐶𝑜 =

𝐶𝑛 (1 + 𝑖)𝑛

𝐶𝑛 ) 𝐶𝑜 𝑛= ln(1 + 𝑖) ln(

𝑛 𝐶𝑛 𝑖= √ − 1 𝐶𝑜

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Cálculo Financiero

- Monto de Interés (I). En Interés Compuesto no tengo una fórmula para despejarlo como en Interés simple, solo tengo la formula genérica porque hay reinversión de intereses. 𝐼 = 𝐶𝑛 − 𝐶𝑜

𝐼(6,7) = 𝐶6. 𝑖

Intereses entre un periodo determinado.

• Tasa de interés variable en el tiempo: 𝐶𝑛 = 𝐶𝑜 (1 + 𝑖1). (1 + 𝑖2). (1 + 𝑖3 ). (1 + 𝑖4) … … (1 + 𝑖𝑛 )

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Cálculo Financiero

Práctica Descuento de Documento. Actualización parte de un capital Futuro (N) para llegar a un Valor Presente (V) por efecto del Descuento. Es decir, quiero obtener a la fecha actual la equivalencia financiera de un valor con vencimiento futuro.

Resumen Formulas: Nomenclatura: - N: Valor Nominal: Es el Valor del documento y representa la suma que debe ser pagada su vencimiento. - V: Valor actual: Es el valor del documento al ser cobrado antes de su vencimiento y se determina por la diferencia entre el Valor Nominal y el Descuento. - D: Descuento: es la quita que sufre el valor nominal del documento al ser descontado (cobrado) antes de su vencimiento. D=N – V - Tasa de la operación: Depende de la Hipótesis de descuento utilizada (simple o compuesta) y en este último caso si es con Tasa de Interés (i) o con Tasa de Descuento (d).

• Descuento Simple. 1) Descuento Comercial: Es el interés simple del Valor Nominal (N). Es decir el descuento se aplica sobre N. 𝐷 = 𝑁 .𝑖 .𝑛

𝑉 = 𝑁 . (1 − 𝑖. 𝑛)

De acá puedo despejar i,n,N 𝑖=

1−

𝑛

𝑉 𝑁

𝑉 𝑁= (1 − 𝑖. 𝑛)

𝑉 1− 𝑁 𝑛= 𝑖

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Cálculo Financiero

-Si quiero el Descuento conociendo el Valor Inicial (V), el interés y el plazo: 𝑉. 𝑖. 𝑛 𝐷 = (1 − 𝑖. 𝑛) 2) Descuento Racional: Es el interés simple del Valor Actual (V). Es decir el descuento se aplica sobre V. 𝐷 = 𝑉 .𝑖 .𝑛

𝑉=

𝑁

(1+𝑖.𝑛)

En Descuento matemático o racional, (1 + 𝑖. 𝑛)−1 es el factor de Actualización simple y (1 + 𝑖. 𝑛) es el factor de capitalización a Interés simple. -Si quiero el Descuento conociendo el Valor Nominal (N), el interés y el plazo: 𝑁. 𝑖. 𝑛 𝐷= (1 + 𝑖. 𝑛)

• Descuento Compuesto. El Descuento Compuesto admite la utilización de una Tasa de Interés (i) o una tasa de Descuento (d). - Si uso la Tasa de Descuento “d”: 𝑉 = 𝑁 . (1 − 𝑑)𝑛 Despejo todas las formulas 𝑉 𝑁= (1 − 𝑑)𝑛

𝑉 𝑑 = 1− √ 𝑁 𝑛

𝑛=

𝑉 𝐿𝑛 ( 𝑁 )

𝐿𝑛 (1 − 𝑑)

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Cálculo Financiero

- Si uso la Tasa de Interés “i”: 𝑉 = 𝑁 . (1 + 𝑖)−𝑛 Despejo todas 𝑁 𝑖 = √ −1 𝑉 𝑛

𝑁 = 𝑉 . (1 + 𝑖)

𝑛

𝑁 ) 𝑉 𝑛= 𝐿𝑛 (1 + 𝑖 ) 𝐿𝑛 (

• Si quiero calcular el Descuento Compuesto (D) conociendo el Valor Nominal, el tiempo y la tasa ( tanto para la “i” como para “d”): 𝐷 = 𝑁. [1 −

1 ] (1 + 𝑖)𝑛

≫ 𝑜 ≫ 𝐷 = 𝑁. [1 −

1 ] (1 − 𝑑)−𝑛

Resumen: Con la tasa “i” o “d” puedo tanto Capitalizar o Actualizar en Interés compuesto. • Capitalizar: Parto de un valor Inicial (Co) y llego a un valor final (Cn). Cn = Co (1 + i)n

o

Cn = (1 − d)−n

• Actualizar: Parto de un valor final (N) y llego a un valor inicial (V). V = N (1 + i)−n

o

Relación i-d: i=

d 1−d

d=

V = N. (1 − d)n

i 1+i

• Si el ejercicio no dice bajo que modalidad, utilizar DESCUENTO COMERCIAL. 4

Cálculo Financiero

Práctica Equivalencia de tasas. La TNA es una tasa que permite que el público pueda controlar sus depósitos usando Interés simple. Esta tasa no indica el rendimiento Real de la inversión al cabo de 365 días dado que no contempla la reinversión de los intereses. Para esto hay que determinar una “Tasa Efectiva” que se hace bajo el concepto de Interés Compuesto. Para Capitalizar o Actualizar, SIEMPRE se usa una TASA EFECTIVA. Nomenclatura: a) Intereses Vencidos: A partir de una tasa referencial, podemos calcular la tasa equivalente para cada período. J(m): “Tasa Nominal Anual (TNA) de interés con Capitalización de “m” días. J(90): TN Anual con capitalización Trimestral J(60): TN Anual con capitalización Bimestral.

Para calcular la Tasa Efectiva uso una relación: 𝐽(𝑚) =

𝑖(𝑚).365 𝑚

𝑚

𝑖(𝑚) =

𝑖(𝑚) = [1 + 𝑖 (𝑘)] 𝑘 − 1

𝑗(𝑚) . 𝑚 365

𝑘

𝑖(𝑘) = [1 + 𝑖(𝑚)] 𝑚 − 1

Es decir, con estas formulas puedo pasar de: J(14)

i(14)

i (30)

OJO!!! Estas formulas son para TASAS ANUALES (por eso divide por 365), 2

Cálculo Financiero

b) Descuento o Intereses adelantado. f(m): Tasa Nominal Anual Adelantada o Descontada con Actualización “m” periodos. Ejemplo: f(120) Tasa Nominal Anual con actualización cuatrimestral. d(m): Tasa efectiva de descuento con actualización “m” periodos. La relación para pasar de una a otra es:

𝑓(𝑚) =

𝑑(𝑚).365 𝑚

𝑚

𝑑(𝑚) =

𝑑(𝑚) = 1 − [1 − 𝑑(𝑘)] 𝑘

𝑓(𝑚) . 𝑚 365

𝑘

𝑑(𝑘) = 1 − [1 − 𝑑 (𝑚)] 𝑚

También existe la relación entre la “i” y la “d” siempre y cuando sea bajo la misma periodicidad “m”. 𝑑(𝑚) =

𝑖(𝑚) 1 + 𝑖(𝑚)

𝑖(𝑚) =

𝑑(𝑚) 1 − 𝑑(𝑚)

Para ir de J(180) a una f(120), el camino podría ser:

• Si un ejercicio de parcial está mal la equivalencia de tasas, todo el ejercicio se considera mal. OJO!! • Si la tasa no dice nada consideramos que es efectiva y si no aclara consideramos que es de Interés (la de descuento lo tiene que decir).

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Cálculo Financiero

Práctica Tasa Real de interés - Indexación. La tasa real de interés “r” contempla el efecto inflacionario, es decir contempla la pérdida o la ganancia en el poder adquisitivo. Esta tasa puede ser negativa. Nomenclatura: - La tasa de inflación “𝜋" representa la variación en los precios producida durante un periodo determinado. - Tasa de Interés Real” “r”: - Si 𝑟 > 0 ≫ 𝑖 > 𝜋 - Si r < 0 ≫ 𝑖 < 𝜋 - Si r= 0 ≫ 𝑖 = 𝜋

𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑞 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑑í 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎. 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑í 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎. 𝑛𝑜 𝑔𝑎𝑛𝑜 𝑛𝑖 𝑝𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜.

a) Tasas constantes en un período. (1 + r) =

(1 + i) (1 + π)

𝑜

r=

[i − π] (1 + π)

Ejemplo: Si quiero calcular la Tasa Real Trimestral [ir(90)], tanto la i como 𝜋 tienen que ser Trimestrales.

[r(90)] =

[i(90) − π(90)] (1 + π(90))

Si tengo i(30) la paso a una i(90) con equivalencia de tasas. Pero el Índice de inflación 𝜋 es el coeficiente de 2 unidades: í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑀𝑎𝑦𝑜 𝜋𝑀𝑎𝑦𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = − 1 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐴𝑏𝑟𝑖𝑙 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑀𝑎𝑦𝑜 𝜋𝑀𝑎𝑦𝑜 𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = − 1 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑧𝑜

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Cálculo Financiero

Si tenemos 𝜋(30)𝑦 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝜋(90) y NO tenemos datos, solo para los ejercicios de la práctica (porque no es correcto), hacerlo con equivalencias de tasas. 𝑚

𝜋(𝑚) = [1 + 𝜋(𝑘)] 𝑘 − 1

b) Tasas variables. (1 + r) =

(1 + i1). (1 + i2 ). (1 + i3) … . . (1 + in ) (1 + π1). (1 + π2). (1 + π3 ) … . (1 + πn )

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Práctica Capitalización Continua. La capitalización continua se utiliza en el cálculo financiero avanzado, ejemplo “derivados financieros” (opciones, futuros, swaps, etc) y en matemática actuarial. Para un valor fijo de i, si aumentamos la cantidad de sub periodos “m” contenidos en la tasa nominal j, a medida que m tiende a infinito la tasa de internes nominal irá decreciendo hasta llegar a su menor valor que es Ln(1+i) - Para los ejercicios, en general se van a usar integrales polinómicas. - C(x): Capital de una Función Continua [0,n] (la función continua no pega saltos). - 𝛿(𝑥) Tasa Instantánea de interés -

Como es una función continua se expresa con ∫(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠) 𝑛

- 𝐶 (𝑛) − 𝐶(0) =𝐼(0, 𝑛) = ∫0 𝐶 (𝑥 ). 𝛿(𝑥 ). 𝑑(𝑥)

Interés

- Para calcular el Monto (Cn) hay 2 opciones: 𝑛

a) Cn = Co + I (0,n) = 𝐶𝑜 + ∫0 𝐶(𝑥). 𝛿 (𝑥). 𝑑 (𝑥) 𝑛

b) 𝐶𝑛 = 𝑒 ∫0

𝛿(𝑥).𝑑(𝑥)

. 𝐶𝑜

- Si quiero la Tasa de interés Efectiva: 𝑖 = 𝑒 𝛿(𝑥) − 1

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Práctica Rentas constantes. Una Renta consiste en una sucesión de cuotas que puede ser valuada en el futuro o en el presente (Valor Final o Valor Actual). Las rentas las vamos a ver bajo la hipótesis de Capitalización Compuesta. Elementos: - C: Cuota o Término de la renta o pagos (si es un préstamo). Las cuotas pueden ser Adelantadas cuando se pagan al principio de cada período. Vencidas cuando se efectivizan al final de cada período. - V: 𝑣 𝑛 =

1

(1+𝑖)𝑛

Factor de actualización a interés compuesto

- n: Cantidad de términos (cuotas o pagos) de la renta. - i: Tasa efectiva de interés de la operación (debe coincidir con la periodicidad de las cuotas). Renta Temporal Inmediata. Se trata de un número finito de cuotas (Temporal), se paga o se cobra cuando se realiza la operación (inmediata) y pueden ser: Vencidas o Adelantadas. 1) Valor Final o imposición. (es decir capitalizo)

a) Vencidas:

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖

𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖) = 𝐶. [

]

b) Adelantado:

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Cálculo Financiero

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] 𝑉𝐹 (0; 𝑛; 𝑖) = 𝐶. (1 + 𝑖) [ 𝑖

- Relación entre el Valor Final Adelantado y vencido:

𝑉𝐹 (0; 𝑛; 𝑖) = 𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖 ) . (1 + 𝑖 ) 2) Valor Actual (es decir Actualizo) a) Vencidas:

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖) = 𝐶. [ ] (1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖

Otra forma de sacar el Valor Actual Vencido es utilizando la formula: 𝑣=

1

(1+𝑖)

Factor de Actualización.

1 − 𝑣𝑛 𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖) = 𝐶. [ ] 𝑖 Es otra forma de calcular el Valor Actual Vencido. b) Adelantado:

(1 + 𝑖 )𝑛 − 1 𝑉𝐴 (0; 𝑛; 𝑖) = 𝐶. [ ] . (1 + 𝑖) (1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖 3

Cálculo Financiero

Relación entre el Valor Actual Adelantado y vencido: 𝑉𝐴 (0; 𝑛; 𝑖) = 𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖 ) . (1 + 𝑖 ) • Error muy común: Tener muy en cuenta donde queda valuada las cuotas ya sea si son cuotas vencidas o adelantadas. Siempre es conveniente guiarse por un grafico. Si calculo un Valor Final: ✓ Vencido: Las cuotas quedan valuadas en la última cuota. ✓ Adelantado: Las cuotas quedan valuadas un período después. Si calculo un Valor Actual: ✓ Adelantado: Las cuotas quedan valuadas en la primer cuota. ✓ Vencido: Las cuotas quedan valuadas un período antes. . Rentas Diferidas. En este tipo de rentas hay un diferimiento entre el momento de recepción del préstamo y el pago de la primera cuota. Dicho diferimiento se llama “periodo de gracia o de carencia”. Las rentas diferidas se componen de una Renta Inmediata donde se definen los pagos de la deuda y de un factor de actualización (vp ) cuya duración es el diferimiento (p). Es muy importante saber en qué momento se recibe el préstamo y la fecha en que se comienza a pagar las cuotas. Luego si se resuelve mediante cuotas vencidas o adelantadas se llega al mismo resultado.

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Rentas Perpetuas. Para las Rentas perpetuas vamos a considerar Cuotas iguales pero la incógnita es que no se sabe cuántos periodos van a ser o cuantos hay que pagar, es como en la Jubilación. Dado esto que no tiene sentido calcular un Valor Final. Siempre calculamos el Valor Actual Vencido.

𝑉𝐴 (1; ∞; 𝑖) =

𝐶 𝑖

• Aclaración de Saldo en el momento n (Sn ) : Sn = Sn−1 . (1 + i) + C El saldo en el momento n es igual al saldo en el momento anterior, capitalizado 1 periodo más la cuota del momento n.

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Práctica Renta Variable. Las cuotas de la renta pueden crecer o decrecer su valor de forma: 1) Progresión Aritmética: El valor de la cuota crece o decrece en un valor fijo. 2) Progresión Geométrica: El valor de la cuota crece o decrece en un %. Elementos: - C: Cuota o Término de la renta o pagos (si es un préstamo). Las cuotas pueden ser Adelantadas cuando se pagan al principio de cada período. Vencidas cuando se efectivizan al final de cada período. - V: 𝑣 𝑛 = (1+𝑖)𝑛 Factor de actualización a interés 1

-

compuesto, con tasa de interés. A medida que n aumenta, el factor disminuye. n: Cantidad de términos (cuotas o pagos) de la renta. i: Tasa efectiva de interés de la operación (debe coincidir con la periodicidad de las cuotas). r: Razón de variación de la cuota en Progresión Aritmética q: Razón de variación de la cuota en Progresión geométrica.

Progresión Aritmética. 1) Valor Actual (Actualizo). a) Vencidas:

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𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑟) = 𝐶. 𝑎 (1; 𝑛; 𝑖) + 𝑖 [𝑎(1; 𝑛; 𝑖) − 𝑛. 𝑣 𝑛 ] 𝑟

Si la cuota decrece el signo es “-“

b) Adelantado:

Por la relación entre el Valor Actual adelantado y vencido: 𝑉𝐴 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑟) = 𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑟) . (1 + 𝑖)

2) Valor Final o imposición. (Capitalizo) a) Vencidas:

Si la razón decrece es “(–r)”

𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑟) = 𝐶. 𝑠(1; 𝑛; 𝑖) + [𝑠(1; 𝑛; 𝑖) − 𝑛] 𝑟 𝑖

𝑠(1; 𝑛; 𝑖) =

(1+𝑖)𝑛 −1 𝑖

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a) Adelantado:

Por la relación entre el Valor Final adelantado y vencido: 𝑉𝐹 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑟) = 𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑟) . (1 + 𝑖)

• Si quiero calcular el valor de la cuota en un momento n 𝐶𝑛 = 𝐶1 + (𝑛 − 1). ℎ → (h con su signo)

Progresión Geométrica. • Hay 2 casos: - i=q: La tasa de interés es igual a la tasa de crecimiento. - i≠ q: La tasa de interés es distinta a la de crecimiento.

➢ Caso 1: i≠ q: a) Valor Actual-Vencido 1+𝑞 𝑛 1 −( 1+ 𝑖) 𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝐶. { } 𝑖−𝑞 4

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Si “q” es Decreciente (-q)

b) Valor Actual-Adelantado

𝑉𝐴 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) . (1 + 𝑖) c) Valor Final – Vencido: (1 + 𝑖)𝑛 − (1 + 𝑞)𝑛 𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝐶. [ ] 𝑖−𝑞 d) Valor Final – Adelantado: 𝑉𝐹 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) . (1 + 𝑖) ➢ Caso 2: i = q: a) Valor Actual-Vencido

𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝐶. 𝑣. n

b) Valor Actual-Adelantado

𝑉𝐴 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝑉𝐴 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) . (1 + 𝑖) 𝑉𝐴 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝐶. n

c) Valor Final – Vencido: 𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝐶. 𝑛. (1 + 𝑖)𝑛−1 d) Valor Final – Adelantado: 𝑉𝐹 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝑉𝐹 (1; 𝑛; 𝑖; 𝑞) . (1 + 𝑖 ) 5

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𝑉𝐹 (0; 𝑛; 𝑖; 𝑞) = 𝐶. 𝑛. (1 + 𝑖)𝑛

• Si quiero calcular el valor de la cuota en un momento n 𝐶𝑛 = 𝐶1. (1 + 𝑞 )𝑛−1 → (q con su signo) Perpetuidad variada. Solo calculamos un VA porque no sabemos dónde termina la renta. 1) Progresión Aritmética. 𝑉𝐴 (1; ∞; 𝑖; 𝑟) =

1 𝑟 . (𝐶 + ) 𝑖 𝑖

2) Progresión Geométrica (solo vemos el caso i≠ q).

𝑉𝐴 (1; ∞; 𝑖; 𝑟) = 𝐶. [

1 ] 𝑖−𝑞

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Práctica Préstamos. Nomenclatura: Ck: “Cuota de servicio” correspondiente al periodo “k”. Está compuesta por la “cuota de interés” y por la “cuota de amortización o cuota de capital” que es la que va cancelando la deuda. 𝐶𝑘 = 𝐼𝑘 + 𝑡𝑘 S0 = S1: “Saldo de deuda” al inicio del préstamo o “valor del préstamo al inicio”(Vamos a suponer que el préstamo es siempre en forma vencida, se paga al periodo siguiente). Sk: “Saldo de deuda” al momento “k”, antes de pagar la cuota “k”, es decir se pagaron (k-1) cuotas. Sk+1: “Saldo de deuda en el momento “k”, después de pagar la cuota k. Ik: “Cuota de interés”, intereses incluidos en la “cuota de servicio” correspondiente al “periodo k”. Es decir, son los intereses pagados en la cuota k. tk: “Cuota de amortización o cuota de capital” en el periodo “k”, destinada periódicamente a cancelar el préstamo. TK: Total amortizado hasta el momento k inclusive. n: Duración del préstamo. i: Tasa de interés efectiva periódica de la operación.

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Sistema Francés : Características: • Las “Cuotas” que se pagan son CONSTANTES, iguales. • Los “Intereses” se pagan sobre saldo de deuda (I. Decrecientes). • La “Amortización” es Creciente. 𝐶𝑘 = 𝐼𝑘 + 𝑡𝑘 =

- Valor de la cuota (constante): (1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖 C = S0 . [ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1 - Intereses (sobre saldo de deuda, decrecientes): 𝐼𝑘 = 𝑆𝑘 . 𝑖 𝐼1 = 𝑆0 . 𝑖

Los intereses que pago en la cuota “k”. Porque S0 = S1 por ser vencido.

- Amortización: Calculo la amortización al momento 1 y después las otras las saco en función del momento 1.

t 1 = S0 . [

𝑖 ] (1 + 𝑖 )𝑛 − 1

t k = t1 . (1 + 𝑖)𝑘−1 (1+𝑖) 𝑘 −1

𝑇𝑘 = 𝑡1 . [

𝑖

] 3

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- Saldo de deuda: Hay 2 métodos. Para los sistemas de préstamos podemos elegir cual usar. 1) Retrospectivo: mira el pasado. Saldo de deuda 2) Prospectivo: mira el futuro.

1) Retrospectivo: Para saber lo que debo en el momento k (sk) por el método retrospectivo sería: lo que me prestaron (s 0) menos lo que fui cancelando del préstamo (TK) (analizo solo el pasado). 𝑆𝑘+1 = 𝑆0 − 𝑇𝑘 𝑆𝑘 = 𝑆0 − 𝑇𝑘−1

2) Prospectivo: Para saber lo que debo en el momento k (s k) por el método prospectivo es: lo que me falta pagar en el futuro. 𝑆𝑘+1 = 𝐶 . 𝑎 (1; 𝑛 − 𝑘; 𝑖) Otras relaciones del Sistema Francés: - 𝑆0 = 𝑇𝑛

Valor del préstamo = Todo lo que pagué de Amortización.

- 𝑇𝑘 = 𝑇𝑛 − 𝑆𝑘+1 Lo que amortice al momento k (inclusive)= Valor del préstamo menos lo que debo (luego de pagar la cuota k).

- 𝐼 (0; 𝑛) = 𝑛. 𝐶 − 𝑇𝑛

Todos los intereses que pague es la suma de todas las cuotas (iguales) menos el valor del préstamo.

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- 𝑡𝑘 = 𝑆𝑘 − 𝑆𝑘+1 El saldo de deuda no contempla los intereses, por ende la cuota de amortización al momento k (tk) es lo que debo antes de pagar la cuota k (Sk) menos lo que debo luego de pagar la cuota k, es decir S(k+1).

- 𝐼 [𝑘; (𝑘 + 5)] = 5. 𝐶 − [𝑇𝑘+5 − 𝑇𝑘−1] - Si el periodo es inclusive, quiere decir que para calcular los intereses que pagué entre el periodo k y k+5 inclusive, sumo las 6 cuotas que pagué y le tengo que restar lo que corresponde a la amortización. Para eso hago 𝑇𝑘+5 que incluye la amortización de la cuota k+5 y le resto la amortización de la cuota 𝑇𝑘−1 ya que si

tomo Tk estaría dejando afuera una cuota de amortización.

- 𝑡𝑘 = 𝑡𝑘−1 . (1 + 𝑖) - 𝐶 = 𝑡1 + 𝐼1 →

𝑡1 = 𝐶 − 𝑆0. 𝑖

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Cálculo Financiero

Práctica Sistema Alemán. • Las “Cuotas” que se pagan son DECRECIENTES. • Los “Intereses” se pagan sobre saldo de deuda (I. Decrecientes). • La “Amortización” es CONSTANTE.

𝑡𝑘 =

𝑆0

Cuota de amortización Constante.

𝑛

𝑇𝐾 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ . + 𝑡𝐾 𝑇𝑘 = 𝐾 . 𝑡1

𝑜

𝐶𝑘 = 𝑡𝑘 + 𝐼𝑘

Como son todas iguales

𝑇𝑘 = 𝐾 .

𝑆0 𝑛