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MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA: ÁLGEBRA

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U.N.E.D. GRADO DE ECONOMÍA

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA: ÁLGEBRA

Contenidos de la asignatura: * Espacios vectoriales. * Matrices y Determinantes. Aplicaciones lineales. * Sistemas de Ecuaciones Lineales. * Diagonalización de Matrices. * Formas Lineales, Bilineales y Cuadráticas.

Resumen de Teoría

2013 – 2014

RESUMEN DE TEORÍA

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA: ÁLGEBRA

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Espacios vectoriales 1.

Vectores de

n

Vector: Un vector de  n (o vector de n componentes) es un conjunto ordenado de números reales: x ( x 1 , x 2 , . . . , x n )  n , con xi  Cada elemento x i del vector se denomina componente del mismo.

Suma de vectores: Dados dos vectores x

( x1 , x 2 ,..., x n ) e y

es otro vector de  n definido en la forma: x y ( x1 y1 , x2 y2 ,..., x n

Propiedades y elementos notables: a. Es asociativa: x, y, z  n, se tiene: x b. Es conmutativa: x, y  n, se tiene: x

( y1 , y 2 ,..., y n ) de  n , su suma

y n ) , con xi , y j (y y

z ) (x y x

 y ) z

c. Existe el vector nulo, designado por 0 tal que: x  n : x x tal que x ( )x 0 d . Existe vector opuesto: x  n ,

0

x

Producto de un vector por un número real : Dado un número a  y un vector x ( x 1 , x 2 , . . . , x n )  n , se define el producto del número real por el vector como otro vector: a( x1 , x 2 , . . . , x n) ( ax1 , ax 2 , . . . , ax n)  n , con x i  Propiedades de esta operación : , x y  : n ( a x ) y ax ay a . Distributiva respecto de la suma en  n : a , x  : n ( a ) b x ax bx b. Distributiva respecto de la suma en : ,a b , c. Asociatividad mixta: a , b , x n : (a b ) x a (bx ) d. Siendo 1 al elemento unidad para el producto en  , se verifica: x  n: 1 x x Espacio vectorial: El conjunto de vectores de  n , con las operaciones de suma de vectores y producto de un vector por un número real, anteriormente definidas, es un espacio vectorial real. Lo representaremos en la forma: (  n , ,  ) . Propiedades: a. Cualquiera que sea el valor a  , se verifica: a 0 0 b. Cualquiera que sea x  n, se verifica: 0x 0 c. Si ax 0 , entonces: a 0 ó x 0 . d. Cualquiera que sea x  n, se tiene que ( 1) x x. n ( ax ) Consecuencia: Cualquiera que sea x  , se tiene: ( a ) x e. Cualquiera que sea a 0 de  , si ax ay , se sigue que x y . f. Cualquiera que sea x 0 de  n , si ax bx , se sigue que a b

a( x ) .

Subespacio vectorial (o variedad lineal): Diremos que un subconjunto S de  n , es un subespacio vectorial de  n , si las operaciones definidas en  n son estables en S, es decir: Para todo par de vectores x , y S : x y S Para todo x S y para todo a  : ax S Así (S , , ) , con las mismas operaciones, es también espacio vectorial.

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Por definición, el conjunto formado por el vector nulo, 0 , y el propio  n son subespacios vectoriales de  n , a los que llamamos subespacios impropios . A los demás subespacios los denominaremos subespacios propios . Teorema de caracterización de subespacios vectoriales : La condición necesaria y suficiente para que una parte S de un espacio vectorial n sea un subespacio vectorial es que: x , y  n , a , b  : a x b y S .

2.

Relaciones entre vectores

Sistema de vectores: Se denomina sistema de vectores de  n a un conjunto de vectores x1 , x2 , . . . , xn (alguno podría repetirse). Combinación lineal de vectores : Se dice que un vector x n , es una combinación lineal del conjunto de vectores x 1 , x 2 ,..., x n de  n , si y sólo si existen unos números reales a1 , a2 , ... , an (llamados coeficientes de la combinación lineal ), tales que el vector x se puede escribir en la forma: x a 1x 1 a 2x 2 . . . a n x n

Dependencia lineal de vectores : Se dice que un sistema de n vectores

x1 , x2 ,..., xn

de un

n

espacio vectorial  , son linealmente dependientes, si y sólo si existen n números reales a1 , a2 , ... , an , no todos nulos, tales que: a 1x1 a 2 x 2 . . . a n x n 0 A dicho conjunto de vectores también se le denomina familia ligada o sistema ligado de vectores. Consecuencias: a. Todo sistema de vectores de  n que contenga al vector nulo, es un sistema ligado de vectores. b. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de n vectores x 1 , x 2 ,..., x n de  n sea linealmente dependiente es que, al menos uno de ellos sea combinación lineal de los restantes.

Dependencia lineal de conjuntos de vectores: Un conjunto H de vectores se dice que depende linealmente de otro conjunto H', si cada uno de los vectores de H depende linealmente de los vectores de H'. Independencia lineal de vectores: Se dice que un conjunto de n vectores

x 1 , x 2 ,..., x n

de

n

 , es linealmente independiente cuando la igualdad: a1 x1 a2 x2 . . . an xn 0 se verifica si y sólo si todos los escalares son nulos. Un conjunto de vectores linealmente independiente se dice que es una familia libre o un sistema libre de vectores. Consecuencias: a. Cualquier vector x 0 constituye un sistema libre. b. Si el sistema de vectores x 1 , x 2 ,..., x n es libre, todo sistema extraído de él es libre.

Rango de un sistema de vectores: Se define el rango de un sistema como el número máximo de vectores linealmente independientes que contiene dicho sistema.

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Consecuencias: El rango de un sistema de vectores no cambia por transformaciones elementales: a. Intercambiar la posición de dos vectores b. Multiplicar un vector por un número distinto de cero. c. Sumar a un vector un múltiplo de otro. Nota En la práctica se puede analizar el rango de un sistema de vectores escribiendo sus componentes como filas o columnas de una matriz y estudiando el rango de dicha matriz, lo cual nos dará el número de vectores linealmente independientes. Subespacios engendrados: Dada una familia de n vectores

x 1 , x 2 ,..., x n de  n , el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales realizadas con los vectores de tal familia constituye un subespacio vectorial. Dicho subespacio vectorial se dice engendrado por los n vectores de la familia y por tanto todo vector de S se puede escribir como combinación lineal de los vectores del sistema. Es decir, si: x :S ,a 1 a,..., a n  x a 1x 1 a 2x 2... a nx n 2

Base de un espacio vectorial: Se llama base de un subespacio vectorial S a todo sistema de generadores de dicho subespacio, que sea un sistema libre. En particular, una base de  n es un sistema generador y linealmente independiente del espacio  n . Dimensión de un subespacio vectorial : Es el número de vectores de una base de dicho subespacio S. Se denota por “ dim S ”. En particular, la dimensión de  n es n y, en consecuencia, la de cualquier subespacio propio de  n es menor que n, siendo la dimensión del subespacio impropio 0 cero. Coordenadas de un vector: Se denominan de esta forma a los coeficientes de la combinación lineal del vector respecto de los vectores de una base. Base canónica: Es claro que en  n todo vector x (x 1 , x 2 , . . . , x n ) se puede escribir en la forma: x x1 (1, 0 , . . . 0) x2 (0 ,1, . . . 0) . . . x n ( 0 , 0 , . . .1) . Pues bien, el sistema formado por los vectores: (1, 0 , . . . 0) , (0 , 1, . . . 0) ,. . . , (0 , 0 , . . .1) es un sistema generador de  n . Como además es libre, forma una base de  n . Nota: En este último caso, las componentes y coordenadas de un vector coinciden.

Teoremas referentes a la base: Teorema 1. Todo subespacio vectorial S de dimensión finita, distinto del vector nulo, posee, al menos, una base. Teorema 2. Todos los sistemas generadores de un subespacio vectorial S tienen el mismo rango. En particular, todas las bases tienen el mismo número de vectores. Teorema 3. Para que un sistema libre de un subespacio vectorial S, formado por n vectores, sea una base, basta (es suficiente) con que todo sistema de S formado por mas de n vectores sea ligado. Teorema 4. Todo vector de un subespacio vectorial S de  n , se escribe de forma única como combinación lineal de los vectores de una base.

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Matrices y determinantes. Aplicaciones lineales 1.

Matrices

Definición: Llamamos matriz a un conjunto de números (reales o complejos) dispuestos en filas y columnas. Se representa en la forma:  a11 a12 ... a1n    a21 a22 ... a 2 n   ( aij ) A  ... ... ... ...     am1 am 2 ... amn  Cada elemento lleva dos subíndices, el primero indica la fila en la que está el elemento y el segundo la columna. Así, el elemento aij es un elemento que está en la fila i-ésima y en la columna j-ésima. A las matrices las designaremos mediante letras mayúsculas. Orden de una matriz: Una matriz es de orden m n si tiene m filas y n columnas. Diversos tipos de matrices: 1. Matriz fila: Es una matriz de orden 1 n . 2. Matriz columna: Es una matriz de orden m 1. 3. Matriz cuadrada: Aquella matriz de orden n n (número de filas que de columnas). Diagonal principal: Llamamos así al conjunto de los elementos a ii , i 1, 2 ,..., n 4. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos, excepto los de la diagonal principal, son nulos: 5. Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que aii cte., i 1, 2 ,. ..,n 6. Matriz unidad: Es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son todos igual a la unidad. Se representa por I n ó I si no hay lugar a confusión. 7. Matriz nula: Es una matriz, cuadrada o rectangular, con todos sus elementos nulos. 8. Matriz triangular superior (inferior) o escalonada: Es aquella matriz cuadrada, tal que todos sus elementos por debajo (por encima) de la diagonal principal son nulos. Igualdad entre matrices: Se dice que dos matrices A (a ij) y B ( bij ) son iguales si, siendo del mismo orden, los elementos que ocupan los mismos lugares, en ambas matrices, son iguales. Es decir, si: a ij bij , i 1,2,..., m y j 1,2,..., n. Transformaciones elementales: Se denomina en esta forma a cualquiera de las siguientes: 1. Intercambiar la posición de dos filas 2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero 3. Sumar a una fila otra distinta multiplicada por un número real Nota. También son válidas las transformaciones elementales “por columnas”, aunque en la práctica es suficiente hacerlo “por filas”.

2.

Operaciones con matrices

Suma de matrices: Dadas dos matrices A

(aij ) y B

(bij ) del mismo orden (pueden ser cuadradas o rectangulares), se define la suma de ambas matrices como otra matriz S ( sij ) ,

del mismo orden que aquellas, cuyos elementos sean la suma de los correspondientes s ij a ij bij). elementos de las matrices A y B ( S A B

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Propiedades y elementos notables de la suma de matrices: B B A 1. Conmutativa: A, B m n: A A 2. Asociativa: A , B, C : ( B C ) ( A B) C m n 3. Matriz nula: (0) A (0) (0) A A m n m n :A 4. Matriz opuesta: A , A A ( A) A A (0) . m n m n Producto de una matriz por un número real: Dada la matriz A producto por un número real k 0 , como otra matriz B (bij ) los de la primitiva multiplicados por dicho número: bij ka ij .

(a ij ) m n

m n , se define su cuyos elementos son

Propiedades del producto de una matriz por un número: b ) A aA bA 1. Distributiva respecto de la suma en  : a ,b , A m n : (a 2. Distributiva respecto a la suma en m n : a , A, B B) aA aB m n : a( A : ( ) (ab ) A 3. Asociatividad mixta: a ,b , A m n a bA 4. Llamando 1 al elemento neutro para el producto en  : A A m n: 1 A Estructura del conjunto M m n : El conjunto m n con las operaciones suma de matrices y producto por un número tiene, vistas las propiedades anteriores, estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K. Producto de matrices: Dadas dos matrices A m n y B n r (con los órdenes indicados) se define el producto A B (en este orden) como otra matriz P m r , cuyos elementos son de la forma: pij

n

∑a

b

is sj

a i1 b1 j

a i2 b2 j ... a inb nj

s 1

Es decir, que cada elemento pij de la matriz producto se obtiene mediante la suma de los productos de los elementos de la fila i-ésima de la primera matriz por los elementos de la columna j-ésima de la segunda. Observaciones: 1. En general, el producto de matrices no es conmutativo. En el caso de que se verifique AB BA se dice que ambas matrices conmutan. Es evidente que en este caso ambas matrices han de ser cuadradas y del mismo orden. 2. Las matrices nula y unidad (cuadradas) conmutan con cualquier matriz del mismo orden que ellas. 3. El hecho de que el producto de dos matrices sea la matriz nula, no implica que alguna de las matrices lo sea. Propiedades del producto de matrices: 1. Asociativa : A ( AB )C h k,B k m ,C m n : A (BC ) Aplicación: Potencias de una matriz cuadrada. Llamaremos A n a la matriz resultante de multiplicar la matriz cuadrada A consigo misma un número n  * de veces. Este cálculo se efectúa empleando la propiedad asociativa: A p *: A p ((( AA) A) ... A) , siendo A 0 I n n, n n 2. Distributiva respecto de la suma de matrices : A C) AB AC m n , B, C n p : A( B

Matriz traspuesta: Dada una matriz A m n , llamamos traspuesta de ésta, a otra matriz B n m obtenida de la primera convirtiendo las filas en columnas y viceversa, sin modificar su orden relativo, es decir: bij aijt a ji . Se designa porB A t .

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Consecuencias: 1. La traspuesta de una suma de matrices, del mismo orden, es igual a la suma de las t t t traspuestas de las matrices, es decir: ( A B ) A B 2. La traspuesta de un producto de matrices, con los órdenes necesarios, es igual al producto de las traspuestas cambiadas de orden, esto es: ( AB) t B t A t

3.

Determinantes

Definición: Determinante es un valor numérico que se asigna a una matriz cuadrada A y se denota en la forma: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n  A ... ... ... ...

a n1 a n 2 ... a nn Evitamos dar la definición formal de este concepto y veamos la forma de calcular dicho valor en algunos casos. Algunos determinantes particulares: 1. Determinante de orden 1: Es el determinante que corresponde a una matriz de orden 1 1 y es el número real que forma la matriz. A a11 ⇒ A a11 a11 Determinante de orden 2 : Correspondiente a una matriz de orden 2 2 se halla: a12  a11 a12 a A  11  ⇒ A a11a 22 a12 a 21 a21 a22 a 21 a 22  3. Determinante de orden 3: Corresponde a una matriz de orden 3 3 y se calcula en la forma: a11 a12 a13  a 11 a 12 a 13    A  a 21 a 22 a 23  ⇒ A a21 a22 a23  a a31 a32 a33  31 a 32 a 33  a11 a 22 a 33 a12 a 23 a31 a13 a 21 a 32 a11a 23a 32 a 12 a 21a 33 a13a 22 a 31 Regla de Sarrus : Del desarrollo anterior se deduce la regla de Sarrus, para determinantes de orden 3. o o o o o o o o o o o o , , o o o o o o o, o o o, o o o o o o o o o o o o o o Donde los tres primeros determinantes indican los sumandos positivos y los tres últimos los negativos. 4. Determinante de una matriz triangular: En este caso, el valor del determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal: 2.

n

A

a ii i 1

Propiedades de los determinantes: 1. El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta ( A

A t ). Consecuencia: Toda propiedad válida para filas, también lo es para columnas.

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2.

3.

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Al cambiar, entre si, dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo pero mantiene su valor absoluto. Consecuencia: Si un determinante tiene dos líneas iguales, su valor es cero. Si en un determinante multiplicamos los elementos de una línea por un número k 0, el determinante queda multiplicado por dicho número. Consecuencia: Un determinante con dos líneas proporcionales, vale cero.

Menor complementario de un elemento: Dada una matriz cuadrada A, se llama menor complementario de un elemento aij al determinante, de orden n 1, que resulta de suprimir en la matriz dada, la fila y la columna correspondientes a dicho elemento. Lo designaremos por M ij . Adjunto de un elemento: Dada una matriz cuadrada A, se llama adjunto de un elemento aij al menor complementario de dicho elemento con signo positivo si i j es par y con signo negativo si i

j es impar. Lo designaremos por A ij

i j ( 1) M ij .

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea : Se demuestra que el cálculo de un determinante de orden n se puede reducir al de n determinantes de orden n 1 mediante la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes: Por los elementos de la fila i: A a i1 Ai1 a i 2 Ai 2 ... a in Ain Por los elementos de la columna j: A

a 1 j A1 j

... a nj Anj

a 2 j A2 j

Aplicando esta idea en forma reiterada se llegaría a determinantes de orden fácilmente calculables. Es claro que para aplicar este procedimiento sería conveniente elegir aquella línea que tuviera el mayor número posible de ceros. Consecuencias : 1. La suma de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea paralela es igual a cero. 2. Si todos los elementos de una línea de un determinante se descomponen en el mismo número de sumandos, el determinante puede descomponerse en suma de determinantes, tantos como sumandos, con el resto de las líneas iguales. 3. Si en un determinante una línea es combinación lineal de otras paralelas, el valor del determinante es cero. 4. Si a una línea de un determinante se le añade una combinación lineal de otras paralelas, su valor no se modifica.

Producto de determinantes: El producto de dos determinantes del mismo orden es un número (como producto de dos números) que se puede expresar como otro determinante, del mismo n

orden que aquellos, cuyos elementos son de la forma: pij

∑a

b

ir rj

r 1

Determinante de un producto de matrices: El determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden, es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: AB A B . Suma de determinantes : Si todos los elementos de una línea de un determinante se descomponen en el mismo número de sumandos, el determinante puede descomponerse en suma de determinantes, tantos como sumandos, con el resto de las líneas iguales. 2013 – 2014

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Cálculo de determinantes: Aplicando las propiedades anteriores elementales), se puede hallar el valor de un determinante de cualquier sucesivamente su orden. 3 1 5 5 4 6 Ejemplo: Hallar el valor del determinante de cuarto orden: A 1 3 2

(transformaciones orden, reduciendo 0 3 1

6 7 5 4 Solución: Se pueden hacer, sucesivamente, las operaciones indicadas sin que se modifique el valor del determinante: 3 1 5 0 3 8 1 3 8 1 3 c 2 3c1  5 4 6 3  11 4 2 desarrollar   5 A 11 4 2  c3 2c1   1 3 2 1  1 0 0 0 por la 3ª fila   11 7 2 c 4 c1  6 7 5 4  6 11 7 2

sacar factor a     1 de cada fila 

8 1 3 11 4 2 11 7 2

(f3

f2 )<...