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Geometría Vectorial A continuación se darán los conceptos y resultados mas utilizados en Geometría Vectorial. Estan dados , en general ,para el trabajo en 3 , pero note que todo es similar en el espacio 2 Longitud de un vector Sea u u a, b, c la longitud del vector u sera denotada por a2 b2 c2 Vecto...

Description

Geometría Vectorial A continuación se darán los conceptos y resultados mas utilizados en Geometría Vectorial. Estan dados , en general ,para el trabajo en  3 , pero note que todo es similar en el espacio  2

Longitud de un vector Sea u  a, b, c la longitud del vector u sera denotada por   a 2  b 2  c 2 u

Vector unitario Sea u un vector, se define el vector unitario en la direccion de u,al vector u . Note que este  u vector tiene longitud 1.

Producto interior Sea u  a 1 , b 1 , c 1  y  v  a 2 , b 2 , c 2 , denotaremos el producto interior entre u y  v por  v  a 1a 2  b1b2  c1c2 u

Proyección Ortogonal v vectores. La proyección ortogonal de u en v es el vector Sean u,  v v proy v u  u    v  2

Ángulo entre vectores ,  Sea u y  v vectores, sera denotado por   u v   Queda determinado pues sabemos que cos   u  v .  u v (Como cos2    cos , para que no haya ambigüedad se considera  como el menor ángulo v) formado por los vectores u y 

Paralelismo y perpendicularidad entre vectores  u v      0 / u   v  v0 u v  u  

Producto vectorial v  a 2 , b 2 , c 2 , denotaremos el producto vectorial entre u y  v por Sea u  a 1 , b 1 , c 1  y  u  v  b 1 c 2  c 1 b 2 , a 2 c 1  a 1 c 2 , a 1 b 2  a 2 b 1  v es un vector ortogonal a u y a v (Observación:  u   Aplicación: u  v es el área del paralelogramo cuyo lados estan formados por los vectoresuy  v

  v sin  , donde   u,  u v   u v

Producto mixto    v      vectores , el producto mixto es u   cos ,   u w  u v w v, w Sea u,  v, w  w| es el volúmen del paralelepipedo cuyos lados estan formados por los v   Aplicación : |u  vectores u,v, w

Cosenos directores de un vector Sea v  a 1 , b 1 , c 1  , ,  son los respectivos ángulos formados por el vector v con los ejes cartesianos , como muestra la figura:

b 1 ,cos   c 1 cos   a 1 ,cos   v v v

Ecuación de la Recta Para calcular ecuación de la recta que pasa por los puntos Pa 1 , b 1 , c 1  y Qa 2 , b 2 , c 2 , primero Xx, y, z va a representar un punto arbitrario que esta en la recta , luego PX  PQ ,   X  P  Q  P X  Q  P  P x, y, z  a 2 , b 2 , c 2   a 1 , b 1 , c 1   a 1 , b 1 , c 1  x, y, z  a 2  a 1   a 1 , b 2  b 1   b 1 , c 2  c 1   c 1  Ecuación paramétrica.    x  a 2  a 1   a 1 , y  b 2  b 1   b 1 , z  c 2  c 1   c 1 , Ecuación Cartesiana y  b1 z  c1 x  a1 a 2  a 1  b2  b1  c2  c1 (Note que es lo mismo para P, Q   2 ) El vector director de la recta que pasa por los puntos P y Q es el vector PQ

Ecuación del Plano Para calcular la ecuación del plano que definen los puntos Pa 1 , b 1 , c 2 , Qa 2 , b 2 , c 2  y Ra 3 , b 3 , c 3 no colineales : Primero consideremos los vectores PQ y PR, estos claramente estan en el plano que pasa por los puntos P, Q, R . Llamaremos n  PQ  PR , el vector normal del plano. Recuerde quenes perpendicular a PQ y PR. Sea Xx, y, z un punto arbitrario en el plano., luego el vector PX esta en el plano , y como nes perpendicular a PQ y PR., se debe tener que n es perpendicular a PX , por lo tanto PX  n  0 ,(con n  n 1 , n 2 , n 3 ) x  a 1 , y  b 1 , z  c 1   n 1 , n 2 , n 3   0 n 1 x  n 2 y  n 3 z  n 1 a 1  n 2 b 1  n 3 c 1   0 Asi el plano que pasa por los P, Q y R es  : n 1 x  n 2 y  n 3 z  n 1 a 1  n 2 b 1  n 3 c 1   0 donde n  n 1 , n 2 , n 3  vector normal del plano . Los vectores directores del plano son PQ y PR

Angulos entre rectas, planos y rectas y planos . Sean L y L  dos rectas con vectores directores  u y u respectivamente, ademas sea  y   dos  n respectivamente, entonces se tiene planos con vectores normales n y      1. L, L   u, u  2. ,     n,n 

, n  3. L,   u

Paralelismo y Perpendicularidad Sean L y L  dos rectas con vectores directores  u y u respectivamente, ademas sea  y   dos  n respectivamente, entonces se tiene planos con vectores normales n y      1. LL  uu  2.    nn 3. LL   uu   4.    nn 5. L   un  6. L  un

Distancias Distancia entre puntos: sean P, Q dos puntos , la distancia entre P y Q es dP, Q  PQ Distancia de un punto a una recta: sea L recta con vector director  u, sea Q un punto tal que Q  L, y sea P un punto arbitrario que pertenece a la recta L. La distancia del punto Q a la recta L es u  PQ dQ, L  u  Distancia de un punto a un plano: sea  plano con vector normal n, sea Q un punto tal que Q  , y sea P un punto arbitrario que pertenece al plano . La distancia del punto Q al plano  es: n  PQ dQ,    n Distancia de un plano a un plano: sean  1 ,  2 dos planos en  3 , se tienen dos posibilidades  1   2   o  1   2  . Si  1   2   esto equivale a que  1  2 , y asi d 1 ,  2   d 1 , P con P   2 (P punto arbitrario que pertenece al plano  2 ) Si  1   2   , se tiene que d 1 ,  2   0 Distancia de una recta a un plano: sea L una recta y  un plano en  3 , se tienen dos posibilidades L     o L    . Si L     esto equivale a que L , y asi dL,   dL, P con P   (P punto arbitrario que pertenece al plano  2 ) Si L     , se tiene que dL,   0...