Resumen MNEM definitivo (Dicapua Apruebame) PDF

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Resumen para el parcial final de la asignatura. Recortado y editado...

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Resumen MNEM

MEF en la mecánica:

La mecánica de sólidos solo se hace referencia a los desplazamientos, no a los giros. Para el caso de un sólido bidimensional: Dos grados de libertad (x,y) para cada nodo. En el caso de un sólido tridimensional: Tres grados de libertad (x,y,z) para cada nodo.

Análisis estructural ·Reticulados: Parecido a los cables pero los cables no pueden resistir esfuerzos de compresión y los reticulados sí. Ej: Celosías en naves industriales:

·Membranas: Ej: airbag, paracaídas, cubierta inchable. En todos los casos, es una estructura formada por elementos con poco espessor, tan sólo capaces de absorber esfuerzos de tracción. Son elementos totalmente superficiales. ·Placas: Cargas verticales, o forjados (como por ejemplo de un edificio). Tienen cargas verticales. Poco espesor

·Laminas: Juntan dos mecanismos resistivos, las placas y un plano de tensión. Pueden resistir cargas perpendiculares a su plano y cargas en su plano.

Ej: Casco de un barco, fuselaje de un avión. Ecuaciones de gobierno

Ecuación de Cauchy:

A partir de la divergencia del tensor de tensiones más el vector de fuerzas másicas: que tiene que ver con las fuerzas gravitatorias (refierendome al vector de fuerzas másicas) A este problema también se le suma el efecto de las cargas exteriores y el efecto de las reacciones de los apoyos. Se puede subdividir el contorno del cuerpo Г en dos partes:

·

·

Parte del contorno donde están dispuestas las cargas.

Parte del contorno donde tiene dispuestos los desplazamientos. Al decir que u=u*,

el * indica que el desplazamiento es conocido. Puede ser 0 o valor conocido. Es decir, puede ser que el apoyo se desplace, o que no. En el método de los elementos finitos NO se utilizan estas ecuaciones tal cual están expresadas así, sino que es el punto de partida del MEF de el principio de los trabajos virtuales (principio en que se basa el MEF). Principio de los trabajos virtuales

Este principio establece equilibrios o igualdades de trabajos o energías. El PTV establece lo siguiente: Un cuerpo al que se le aplica ciertas fuerzas másicas (b) y unas fuerzas superficiales (t) se deformará. Un cuerpo ya deformado, se le realiza un pequeño desplazamiento o perturbación (δu) , respetando los apoyos (haciendo que no se muevan). Si tenemos desplazamientos, donde habrá una carga, se generara un trabajo (fuerza*desplazamiento), por lo que habrá dos tipos de trabajo, los generados por las fuerzas másicas (b) y los generados por las fuerzas superficiales (t). Se puede observar en la siguiente ecuación:

donde se incluyen ambos tipos de trabajos (trabajos por las fuerzas externas):

Trabajo por fuerza másica:

Trabajo por fuerzas superficiales:

Por tanto, el trabajo por el efecto de las tensiones (fuerzas internas) será:

El PTV nos declara que el trabajo de las fuerzas internas si se verifica que el trabajo de las fuerzas internas es el trabajo de las fuerzas externas para todo tipo de desplazamiento, entonces ese cuerpo esta en equilibrio. Es una manera alternativa de expresar un sistema en equilibrio. A diferencia de las ecuaciones de gobierno, el PTV nos ofrece el problema expresado de manera integral, no diferencial. Si encontramos un campo de desplazamientos (u) que nos confirme la ecuación de equilibrio, podemos confirmar que con ese campo, el sistema esta en equilibrio. El PTV es el punto de partida de todos los problemas de elementos finitos.

Sólidos Bidimensionales

De dos tipos: Problemas de estado plano de tensiones y problemas de estado plano de deformaciones. En ambos casos, las tensiones tangenciales

y las deformaciones

tangenciales son 0. ·Estado plano de tensiones: Los espesores son muy pequeños. El espesor es mucho más pequeño que cualquiera de las otras medidas de la estructura. Si el cuerpo se le aplica una tensión en su plano, podemos considerar que es un estado plano de tensiones. Ej: discos, placas, cortafuerte de un deposito. Al tener un espesor muy pequeño, suponemos que:

Esto no implica que no se pueda deformar en la dirección Z

.

·Estado plano de deformaciones: El espesor no es pequeño sino que es muy largo, por ejemplo en las tuberías. Podemos considerar que ahora lo que es cero son las deformaciones en Z y lo que no es cero son las tensiones en Z:

En cualquier caso, en los dos tipos de problema, lo importantes es que:

Resolución de los sólidos bidimensionales

Discretizamos la geometría mediante ciertos elementos finitos. Con este elemento, reproducimos o interpolamos el campo de desplazamiento en él para referir todos los movimientos U y V que puede tener cualquier punto interior del cuerpo que estamos analizando, relacionando con el desplazamiento en los nodos. En él aparece el concepto de interpolación: Relacionamos el desplazamiento de un punto en el interior del elemento con los desplazamientos en los nodos del elemento. La clave de esta interpolación es utilizar las funciones de forma:

Siendo u(x,y) el desplazamiento horizontal y v(x,y) el vertical. En el caso de los solidos bidimensionales, para cualquier valor de Z, encontramos el mismo valor de U y V. Con las funciones de forma somos capaces de relacionar el desplazamiento en el interior de un punto del elemento con los desplazamientos de los nodos. Es la clave para resolver los problemas de los elementos finitos.

A partir del campo de desplazamientos que se ha deducido, lo expresamos de manera matricial (foto de abajo). Ya que de esta manera conseguimos que todo quede de manera compacta y para que se pueda programar.

·u=2x1 ·(a(e))=2*nx1 ·N=2x2*n Donde n es el nº de nodos. Posteriormente, planteamos las deformaciones:

Derivamos la interpolación mediante las expresiones de las deformaciones. Esto, nuevamente, se pone de forma matricial:

El vector de desplazamientos nodales (a(e)) tiene tantas componentes como grados de libertad tiene el nodo (en el caso bidimensional tiene 2 grados de libertad) multiplicado por el numero de nodos. Si por ejemplo el vector de deformaciones ɛ(x,y) es de 3x1, la matriz de deformación B será de 3x(2*n), es decir, tendrá tres filas y las columnas las encontraremos mediante la multiplicación de 2 por el número de nodos (el 2 es debido a que hay dos grados de libertad por nodo al tratarse de un caso bidimensional). El vector (a(e)) tendrá 2*n. Con estos elementos, el siguiente paso es definir las ecuaciones constitutivas:

Las ecuaciones constitutivas son la relación entre las deformaciones y las tensiones. Con la matriz D correcta, podemos resolver tanto caso de estado plano de tensiones como de deformaciones. El siguiente paso es definir la matriz de rigidez:

El punto de partida es el PTV. Realizamos la misma interpolación que se ha hecho con los desplazamientos reales

pero ahora con los desplazamientos virtuales.

Recordar que son los desplazamientos virtuales, son desplazamientos inventados muy pequeños pero que nos sirven como herramienta matemática para sacar las ecuaciones. Para interpolar estos desplazamientos, utilizamos la misma matriz de deformación N que utilizábamos para interpolar los desplazamientos reales. A diferencia que ahora en lugar de poner los desplazamientos reales en los nodos ponemos los desplazamientos virtuales:

Siendo δu el desplazamiento virtual horizontal y δv el desplazamiento virtual vertical. Con estas expresiones interpolamos los desplazamientos virtuales δu y a su vez las deformaciones virtuales δɛ. Una vez hecho esto, remplazamos en la ecuación de PTV. Para poder hacer eso, tenemos que tener en cuenta que cargas tenemos en cada elemento:

Las fuerzas nodales de equilibrio son las fuerzas que equilibran las otras fuerzas aplicadas al triángulo (másicas y superficiales). Posteriormente, podemos expresarlo todo en el PTV:

·Diferencial de volumen: ·Diferencial de contorno:

siendo dl el contorno del cuerpo

Siendo en ambos casos t el espesor. Finalmente, nos queda la siguiente expresión:

Donde q(e) es el vector de las fuerzas nodales de equilibrio. Debido a la condición de equilibrio:

Las fuerzas nodales que se dan en un nodo

pueden ser igual a 0, o a una fuerza

nodal exterior aplicada en ese nodo: Una vez hecho esto, sumando el aporte de cada una de las fuerzas nodales de equilibrio podemos montar la matriz de rigidez completa K . Otra forma de encontrar la matriz de rigidez completa es ensamblando el aporte de cada una de las matrices de rigidez para montar la matriz de rigidez global.

Elementos sólidos de revolución

Tienen geometría y cargas de revolución.

Son problemas que se pueden pensar como generados por una sección meridional que mediante su rotación se crea el sólido. Lo que mallamos es un problema plano realmente.

Sus características són:

El elemento finito posee simetría de revolución. El campo de desplazamientos dependerá de una coordenada radial (r) y del eje Z. Su matriz de deformación es la siguiente:

Posee un elemento nuevo a diferencia de los sólidos bidimensionales y es la deformación circunferencial ɛƟ:

Donde: ·U= desplazamiento del punto ·Rp= Radio de la circunferencia Posteriormente creamos la ecuación constitutiva:

Existe un nuevo elemento que es σƟ, es la deformación circunferencial. Hay que tener en cuenta que: σr=σx para el caso bidimensional σz=σy para el caso bidimensional τrz=τxy para el caso bidimensional Con la matriz constitutiva somos capaces de calcular las relaciones entre las deformaciones y las tensiones.

Su sentido físico es el siguiente:

Posteriormente se calcula el PTV:

Debido a su simetría de revolución se puede definir el diferencial de volumen como:

siendo

el diferencial circunferencial y

el diferencial

de área. Fijarse que es exactamente igual que en el caso bidimensional excepto que en este caso aparece el término del radio r y 2Ԉ. Los conceptos son iguales:

·Trabajo de las tensiones:

·Trabajo de las fuerzas másicas:

·Trabajo de las fuerzas superficiales:

·Trabajo de las fuerzas nodales de equilibrio: Finalmente se llegan a las mismas ecuaciones que en el caso bidimensional:

Elementos tridimensionales

Salvo geometrías con mucho espesor o geometrías muy complejas, los sólidos tridimensionales son la clave para la resolución de los elementos tridimensionales. Los elementos distintivos de los solidos 3d son:

Aparece una nueva componente, el desplazamiento en W. Realizamos la interpolación del campo de desplazamientos:

Observar que el campo de desplazamientos dependen de X,Y e Z. Teniendo por nodo TRES componentes. Siendo: u= matriz de 3x1 N=matriz de 3x3*n a= vector de 3*n Siendo n el numero de nodos.

La interpolación de deformaciones es.

A diferencia el caso anterior, aparecen tres componentes. Lo único que cambia es el concepto, per se repite siempre lo mismo. La ecuación constitutiva es:

Siendo D la matriz que vincula las tensiones con las deformaciones. Siguiendo el mismo procedimiento, se vuelve a llegar a la matriz de rigidez K.

Calculo de las reacciones

Los desplazamientos prescritos o conocidos, son desplazamientos de los apoyos en los cuales se conoce el valor y ese valor puede ser 0 o que el apoyo se mueva. En el caso de que el desplazamiento es 0, lo que hacemos es dividir la matriz de rigidez en cuatro submatrices:

Calculamos el vector desplazamientos desconocidos y luego lo substituimos en la matriz anterior....