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resumen unidad tres corte 3, con ejercicios ...

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Unidad 3. Pensamiento algebraico Introducción El álgebra es una parte fundamental de las matemáticas, cuyo desarrollo la lleva a tener el sustento estructural en las teorías de grupos, anillos, cuerpos, etc. Las evidencias de su uso se remontan a las culturas mesopotámicas y egipcias. La palabra álgebra tiene su origen en la obra de Mohammed ibn-Musa Alkhowarizmi, llamada ‘Hisab al-jabr wa-al-muqaba’ (Libro sobre las operaciones), ésta recopila los avances de las culturas griegas, hindú y china. La cultura china, gracias a su pujante desarrollo socio-económico, llegó a avances en la solución de sistemas de ecuaciones lineales; muy parecido al método de Gauss, ya que expresaba los coeficientes en forma matricial, transformándolos en cero de forma escalonada. La cultura hindú, también, realizó grandes aportes a la matemática como la generación del sistema decimal de numeración y las reglas de cálculo. En álgebra, profundizaron en la concepción de reglas de solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, las cuales las aplicaban en la economía; desde ese entonces las soluciones de raíces negativas se consideraban como deudas. La cultura griega hizo aportes fundamentales, empezando con la publicación de la aritmética de Diofanto de Alejandría, el cual trabajó las ecuaciones de primer y segundo grado, solo que con una simbología muy rudimentaria; debido a esto, se le considera como uno de los precursores del álgebra moderna. Entre los griegos también se destaca la escuela de Pitágoras; ésta, con el descubrimiento de los números irracionales, presentó una reformulación de la geometría involucran do a l álgebra. En el siglo IX, el Imperio Musulmán crea escuelas por todo el reino, entre las cuales se destaca la Casa de la sabiduría (Bait Al-hikma), y con ella la obra de AlKhowarizmi, que trata las operaciones a efectuar para trasladar términos de un lado a otro de una ecuación, la reducción de términos semejantes dentro de una ecuación y las resoluciones sistemáticas para ecuaciones de primer y segundo grado. La obra de Al-Khowarizmi fue de gran importancia debido a la aparición de los términos de álgebra y de algoritmos que utilizamos aún el día de hoy. Asimismo, fue una inspiración para grandes matemáticos como Leonardo de Pizza, conocido como Fibonacci, quien introdujo en Italia el álgebra y el sistema decimal hindú de numeración.

Autor: José Néstor Bolívar – Versión 1.0

Europa debió esperar hasta el siglo XII, cuando los musulmanes rompieron la barrera del idioma y se hicieron miles de traducciones del árabe, para dar así inicio al apogeo de las matemáticas en el viejo continente. Durante el Renacimiento, gracias a la invención de la imprenta, se destacaron trabajos como los de Scipione del Ferro, quien resolvió ecuaciones de la forma cubica ; y Geronimo Cardano, quien introduce un importante cambio del álgebra literal al álgebra simbólica. En siglo XVII, el matemático francés Rene Descartes publicó su obra ‘El discurso del método’, en donde elabora una serie de teorías que relacionan la geometría con el álgebra. La posterior aparición de la geometría analítica demostró que las teorías propuestas por Descartes no podían realizarse y es así como la geometría y el álgebra siguieron caminos diferentes, pero relacionados. Lo anterior lo desarrollan de forma independiente Newton, a través de la física, y Leibniz, a través de la geometría. De esta forma, aparece el concepto de límite, recta tangente a la curva, la derivada y las relaciones inversas de ésta con la integral. El siglo XIX es conocido como el siglo de oro del álgebra. Se presenta como fundamental el problema de la solución de ecuaciones de grado mayor o igual a cinco a través de radicales; esto quiere decir mediante fórmulas que implican las operaciones básicas de suma, resta, producto, cociente, potenciación y radicación, con exponentes enteros positivos. Lo anterior se conoció como la búsqueda de la solución general. Matemáticos como Euler, LaGrange y D’Alembert trataron el tema sin encontrar solución y fue Evariste Galois quien estableció cuándo las ecuaciones polinómicas son solubles con radicales, abriendo camino a una álgebra más abstracta o moderna, que se encarga del estudio de la estructura matemática. Objetivo general Incentivar en el estudiante un pensamiento formal que le brinde las habilidades para modelar problemas y situaciones a través de ecuaciones, permitiéndole abordar disciplinas tales como el cálculo, la física, ingenierías y demás áreas del conocimiento que utilizan el álgebra. Objetivos específicos  Desarrollar la capacidad de operar expresiones algebraicas, que le permitan el modelamiento de situaciones.

2

 Expresar geométrica y aritméticamente cualquier producto notable.  Utilizar la factorización de expresiones algebraicas para solucionar problemas modelados con un polinomio. Contenido temático de la unidad 3. Pensamiento algebraico 3.1 Expresiones algebraicas 3.1.1 operaciones con expresiones algebraicas 3.1.2 aplicaciones 3.2 Productos notables 3.2.1 productos de binomios, trinomios y polinomios de orden n 3.2.2 Aplicaciones 3.3 Factorización 3.3.1 Técnicas de factorización 3.3.2 Aplicaciones

3. Pensamiento algebraico 3.1 Introducción La mayoría de las ciencias formulan leyes que parten de estudios particulares para llegar a generalizaciones. Algunas de estas ciencias, se valen de una herramienta desarrollada por los árabes en el siglo IX, a.C y perfeccionada a través de la historia: el álgebra. Esta herramienta está compuesta de expresiones, las cuales se forman a partir de cantidades reales (números), variables (letras) y operaciones básicas. Ejemplo: 3x4;

mc2;

ma; 3x2+2x+5;

⅓m5 - ⅔mn4 + ⅛m2n3 + ⅝.

Las anteriores expresiones provienen de la formalización de una situación particular. Ejemplo: 3

El doble del área de un rectángulo incrementada en 150 se formaliza: 2xy+150, donde el rectángulo tiene largo x y ancho y 3.2 Definiciones  Coeficiente numérico: Son los números reales que anteceden y acompañan a las variables en la base. √  Variables: Son una o varias letras acompañadas de coeficientes. Cuando no existe coeficiente numérico éste se toma como 1. Ejemplo: las variables de esta expresión son m y n y el último coeficiente numérico es 1.  Operaciones: Son sumas, restas, productos, potencias, etc. En la expresión , existen sumas, restas, potencias , productos  Término: es una expresión algebraica compuesta de coeficiente numérico, variable(s), operaciones y llega hasta donde aparezca una suma o una resta. ; En esta expresión hay 3 términos.  Monomio: expresión que consta de un sólo término. (2x3y2z5)  Binomio: expresión que consta de dos monomios (5v2w + 3z)  Trinomio: expresión que consta de tres monomios (5v2w + 3z -7)  Polinomio: expresión de más de tres monomios (2x3+3x2-5x+7)  Grado de un polinomio: es el grado del término más alto del polinomio. Si el término contiene más de una variable, entonces se deben sumar los exponentes. Polinomio grado 4 2m3-3m4+4m -7 2x5y2+2 x1 y1 +3 x1 y7- 2x2y3 + 4 grado 0 grado 5 grado 8 4

polinomio de grado 8

grado 2 grado 7  Términos semejantes: son aquellas expresiones que tienen las mismas variables, con los mismos exponentes y puede cambiar su coeficiente numérico. Ejemplo: 3x2 con -8x2;

12m4n5 con 213m4n5;

con

.

3.3 Formación de expresiones algebraicas Para formar expresiones algebraicas se debe tener en cuenta la equivalencia 1 de ciertas expresiones, la organización lógica 2 , así como fórmulas geométricas, relaciones numéricas, algoritmos de operaciones (algoritmo de la división: ), etc. Ejemplos: Enunciado

Expresión algebraica

El doble de una cantidad aumentada en 20. La diferencia entre dos cantidades. La diferencia entre el cuadrado de una cantidad y el tercio de ésta. El exceso del cuadrado del área de un rectángulo sobre 50. La suma del doble de un número con el triplo de su consecutivo. El costo de 10 libros, 5 esferos y 4 cuadernos es $200000. El volumen de un cubo cuyo largo es el doble de su ancho y el triple de su altura. El cuadrado de diferencia de los cuadrados de dos cantidades. Dos cantidades cuyos cocientes y residuos son 2 y 5 respectivamente.

o también

http://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF0 Todas las expresiones algebraicas anteriores se deben operar para dar solución a problemas particulares y llegar a deducir leyes que enuncian resultados de 1

Equivalencia: concordancia entre una frase y una expresión algebraica. Organización lógica: que tenga una relación numérica correcta dentro de los números reales. Por ejemplo, que no quede cero en el denominador, que no se tenga una raíz que contiene una cantidad subradical negativa y sea de índice par. Que cumpla con el orden de hacer operaciones. 2

5

experimentos en las ciencias. Esto se hace a través de operaciones como las siguientes:

3.4 Operaciones con expresiones algebraicas 3.4.1 Suma de polinomios Para sumar polinomios (expresión algebraica de n términos), se agrupan por términos semejantes y se suman algebraicamente sus coeficientes. Ejemplo: a. Sumar:

con

; El procedimiento consiste en agrupar verticalmente columnas de términos semejantes y sumar los coeficientes numéricos teniendo en cuenta las reglas de los signos.

b. Sumar:

Se realiza la ordenación en columnas3 y por términos semejantes.

(

)

(

)

(

)

(

)

Al realizar las operaciones dentro de los paréntesis se obtiene el siguiente resultado:

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=3 3

Columnas: organización en forma vertical.

6

3.4.2 Resta de polinomios Para restar polinomios, se identifican el minuendo 4 y el sustraendo; luego, se cambian los signos al sustraendo 5 para proceder a sumar las expresiones. Ejemplo: Restar: 5x3+3x2-2x+4 de 4x4-2x2+3x-5; La palabra ‘de’ muestra el minuendo (4x4-2x2+3x-5) y el término a restar es el sustraendo (5x3+3x2-2x+4); a continuación se procede a cambiar los signos del sustraendo y a sumarlo con el minuendo.

= Ejemplo: restar

con

De la suma de la suma de

.

con

Solución: Para solucionar el ejercicio se debería sumar el polinomio (1) + (2) = R1 (resultado 1); el polinomio (3) + (4) = R2 (resultado 2) y luego restar R 2 de R1, esto es R1-R2, para así obtener la respuesta. Sin embargo, podemos hacer una analogía con la siguiente operación: R1 - R2

=

(1)+(2) – [ (3)+(4) ] = (1) + (2) - (3) - (4)

Donde cada número representa un polinomio. Los que están con signo negativo se les cambia los signos y se suman. Polinomio (1) Polinomio (2)

4 5

Minuendo: primer término de la resta. Sustraendo: Cantidad que se resta.

7

Polinomio (3) Polinomio (4)

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=3&ejercicio=resta

3.4.3 Producto de polinomios Para multiplicar dos polinomios, se organizan en forma descendente o ascendente, respecto, al exponente de la variable X, luego ponerlos uno debajo del otro y multiplicar término a término. Ejemplo: Multiplicar:

por

Solución: Como los polinomios ya están ordenados en forma descendente se procede a multiplicar.

Ejemplo: con el resultado de la diferencia DE

Realizar el producto de .

con

Solución: Lo primero, es encontrar el otro factor del producto. Este se obtiene de hallar la diferencia; para lo anterior, se identifica el minuendo y el sustraendo. El minuendo se identifica porque lleva el prefijo DE y el otro término es el sustraendo. 8

(minuendo) (

) (sustraendo)

(otro factor) Ahora, se realiza el producto porque se cuenta con los dos factores:

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=3&ejercicio=producto

3.4.4 División de polinomios Para dividir dos polinomios se debe proceder como en la división de cantidades numéricas, esto es:

30593

-2 5

25

1223

55 -5 0 59

Para realizar la prueba se recurre al algoritmo de la división, esto es: Dividendo (D); divisor (d); cociente (c); residuo (r). 1223 X 25 6115 2446 30

-5 0 93 -7 5 18

Ejemplo: Dividir Entre 

.

Primer paso: Ordenar ambos polinomios, el del dividendo y divisor en forma descendente 6 o ascendente. En este ejercicio están ordenados, ahora se procede a dividir.

 Segundo paso: se debe encontrar una expresión que al multiplicarla por el primer término del divisor ( dé como resultado ; lo anterior, con el fin de eliminar el primer término del dividendo; para este caso es y luego se procede a multiplicar los demás términos del divisor por y a restarlos al dividendo.

Se debe recordar que para restar se cambian los signos del sustraendo y luego se suman los términos semejantes

.  Tercer paso: ahora se baja la siguiente expresión empezar.

6

y se vuelve a

Descendente: secuencia numérica de los exponentes la cual disminuye de izquierda a derecha.

10

 Cuarto paso: se elimina el primer término del nuevo dividendo que ahora es ; para lo anterior, se busca una nueva expresión que al multiplicarla por dé como resultado ; en este caso la expresión es . Además, por la anterior expresión, se debe multiplicar todo el divisor y restar los resultados a los tres términos del dividendo.

Al realizar la resta se obtiene:

 Quinto paso: se repite nuevamente el proceso como lo hecho desde el segundo paso.

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 ¿Qué expresión multiplicada por

anula o da como resultado

?

 Al realizar la resta se tiene:

 Al bajar el último término y eliminar el primer término del dividendo se tiene:

12

0

0

0

(división exacta)

http://www.ematematicas.net/polinomios.php?a=3&ejercicio=div http://www.youtube.com/watch?v=tc20GDFkPoc Para dividir cualquier polinomio entre un polinomio de grado 1 de la forma , se recurre a la división sintética. Este método es una manera más corta de hacer ciertas divisiones y es especialmente útil para hallar las raíces de un polinomio7. Procedimiento:  Se ordena el polinomio en forma decreciente respecto a la variable, colocando cero en los términos faltantes.

 Se toman los coeficientes de cada término y se escriben en fila.  Se escribe el valor de ‘c’ en la parte derecha de la fila y dentro del símbolo de división.

7

Raíces de un polinomio: valores numéricos los cuales al ser reemplazados y operados en los polinomios dan como resultado cero.

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 Se forma una nueva fila bajo una línea y se coloca el primer coeficiente (de la izquierda de la fila) nuevamente.

 Se multiplica este primer coeficiente por el valor de ‘c’. El resultado de la multiplicación anterior se coloca en una fila intermedia de las dos anteriores y debajo del segundo coeficiente.



Se suman algebraicamente los valores de la segunda columna para así encontrar el valor del coeficiente de la segunda columna y tercera fila.



El resultado anterior se multiplica por el valor de “c” y se coloca en la fila central debajo del tercer término para de ahí obtener el un nuevo coeficiente de la tercera fila y tercera columna.



Se repite el proceso anterior hasta completar todas las tres filas y todas las columnas.

14



Se arma el polinomio resultante de la división que es un grado menor del dividendo, para lo anterior, se toman los coeficientes de la tercera fila y se añaden a la variable en forma descendente y empezando por el primero de la izquierda. [



]

[

]

El coeficiente sobrante representa el residuo de la división; si es cero, es porque la división es exacta.

Ejemplo: Dividir: 

entre

Al ordenar el polinomio y al completar los términos faltantes se tiene. Dividir:

.

entre



Se toman los coeficientes de cada término y también el valor de ‘c’



1 1 -5 0 -7 6 -3 Se baja el primer coeficiente, se multiplica por el valor de “c” y el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente. 1



8

1 -3

-5

0

-7

6

-3

por

Ahora se suman algebraicamente 8 los valores de la segunda columna, se multiplica el resultado por el valor de ‘c’ y el nuevo resultado obtenido se pone en la fila del centro Algebraicamente, es decir, teniendo en cuenta las leyes de los signos dadas para números enteros.

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1

1 

-5 6

-2

1

0

-7

6

-3

Por

Se continúa este mismo proceso hasta la última columna . 1



1 -3

1 -3

-5 6

0 -3

-7 9

6 -6

-3

1 -2 1 -3 2 0 Finalmente, se arma el resultado de la división (cociente) y el residuo. ; residuo 0

Ejemplo: entre

Dividir

.

Al analizar el ejercicio, aparentemente, no se puede hacer división sintética, lo anterior, debido a que, el divisor no tiene la forma , sin embargo, se puede hacer una analogía con la siguiente división numérica: Al dividir 40 entre 20 la respuesta es 2, pero al dividir entre la mitad del divisor (20) la respuesta (el cociente) se duplica, luego, si se quiere conservar la misma respuesta, entonces, la respuesta se debe dividir en 2. Para el ejercicio propuesto, se divide el polinomio resultado que se obtenga, también se divide a la mitad

a la mitad, y el

)

(

Como ya está ordenado el polinomio, se procede a realizar la división sintética, teniendo presente que el polinomio tiene términos en todos los grados descendentes. 16

Dividiendo el resultado en 2; se obtiene el resultado de la división.

Luego el cociente de la division es

(exacta).

Comprobación: Para probarla se hace por el método extenso:

0

0

Como el residuo es cero, entonces, la división es exacta.

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EJERCICIOS 3.1 1. Plantea la expresión algebraica correspondiente para cada situación:  Si b es un número entero par ¿Cuáles son los tres números anteriores a b?  Tenía m pesos, gasté la mitad, regalé la mitad de lo que me quedaba y se me perdió la tercera parte ¿Cuánto dinero tengo ahora?  Al vender 10 casas iguales por n pesos, gano m pesos. ¿En cuánto vendí cada casa?  Si han transcurrido m horas de un mes (30 días) ¿Cuántas horas faltan por transcurrir?  ¿Cuál es el área de un terreno cuyo lado excede en 30m al triple del ancho?  ¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuya base es 30m menos que el doble de su altura?  Una botella de agua, un jugo y un yogurt cuestan M, N, y R pesos respectivamente. ¿Cuánto se paga si se compran x botellas de agua, y jugos y z yogures?  ¿Cuál es la ganancia de vender (x+3) casas en (y+5) pesos. Si a cada casa se le invirtió (z-4) pesos?  Un tren viaja entre dos ciudades separadas x Km. El viaje de ida lo hace a v Km/h y el de regreso al triple de velocidad ¿Cuánto tiempo duró todo el viaje?  La página de una tienda virtual anuncia “pague M pesos por el primer artículo, por el segundo pague la mitad, por el tercero la mitad de lo que pagó por el segundo y así suc...