Riassunto Libro Elementi DI Meccanica Classica per l\'Ingegneria PDF

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RIASSUNTO DEL LIBRO "ELEMENTI DI MECCANICA CLASSICA PER L'INGEGNERIA".
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RIASSUNTO ELEMENTI DI MECCANICA CLASSICA PER L’INGEGNERIA

CINEMATICA DEL PUNTO E DEI SISTEMI MATERIALI.

GRANDEZZE CINEMATICHE POSTO UN OSSERVATORE IN UN PUNTO FERMO E FISSO O; SUPPONENDO CHE UN PUNTO P SIA IN MOVIMENTO NELL’INTERVALLO DI TEMPO t Є [t1, t2], LE POSIZIONI ASSUNTE DA P RISPETTO AL PUNTO FISSO O SARANNO MESSE IN RELAZIONE CON IL TEMPO DALLA FORMULA: ´ OP ´ ( t ) ∀t ∈[t ,t ] OP= 1 2

E QUESTA RAPPRESENTA L’EQUAZIONE DEL MOTO DI P. SIA γ LA TRAIETTORIA DI P E STABILITO SU γ UN SISTEMA DI ASCISSE CURVILINEE s: ´ OP ´ (s ) OP= s=s (t)

CHE CORRISPONDE ALLA LEGGE ORARIA DEL MOTO DI P. PER UN PUNTO P CHE SI MUOVE LUNGO LA SUA TRAIETTORIA, SI DEFINISCONO I VETTORI VELOCITà ED ACCELERAZIONE: v´ =

´ d OP (t ) dt

a´ =

d ´v (t ) dt

VELOCITÀ ED ACCELERAZIONE DEL TERNA INTRINSECA. STABILITO UN SISTEMA DI ASCISSE CURVILINEE s CON TERNA INTRINSECA ( ^t , ^n , ^b ¿ SULLA TRAIETTORIA DI γ DI P: v´ =´s ( t ) ^t ( t ) ´2 ´a =s´ t+ ^ s ^n ρ

DOVE ρ È IL RAGGIO DI CURVATURA DI γ NELLA POSIZIONE OCCUPATA DA P SU γ ALL’ISTANTE t. I VERSORI RAPPRESENTANO IL PIANO OSCULATORE A γ POSIZIONE OCCUPATA DA P ALL’ISTANTE t.

ESPRESSIONE IN COORDINATE POLARI DELLE GRANDEZZE. UN PUNTO P SI MUOVE DI MOTO PIANO SE LA SUA TRAIETTORIA γ è UNA CURVA PIANA. STABILITO CHE P SI MUOVA DI MOTO PIANO, LA SUA POSIZIONE Può ESSERE DESCRITTA TRAMITE DELLE COORDINATE POLARI ( ρ ,θ ¿ , DI VERSORI: ´ ´ OP OP ´ ^r =vers OP= = ´ | ρ |OP ^h= d r^ dθ

CHIAMATI VERSORE RADIALE E VERSORE TRASVERSO. SI Otterrà: ´v =ρ´ ^r + ρ θ´ ^h ´ ρ´ ´θ) ^h ´a =( ´ρ− ρ θ´ 2 ) ^r +( ρ θ+2

LA VELOCITà ED ACCELERAZIONE Può ESSERE SCOMPOSTA A SECONDA DEL VERSORE IN RADIALE E TRASVERSA.

FORMULE DI POISSON. NEL CAMPO DELLA CINEMATICA RELATIVA, Cioè CON IL MOTO RELATIVO DI UN SISTEMA SOLIDALE RISPETTO AD UN ALTRO, INTRODUCIAMO LE FORMULE ED IL VETTORE DI POISSON. CONSIDERANDO UN SISTEMA RIGIDO, UNA TERNA CARTESIANA ORTOGONALE ( Ω ; ξ , η , ζ ¿ ED UNA TERNA SOLIDALE (0; x, y, z) IL MOTO DEL CORPO RIGIDO è NOTO QUANDO è NOTO IL MOTO DELLA TERNA SOLIDALE. QUINDI OCCORRE CONOSCERE COME VARIANO NEL TEMPO I VERSORI ( ^i, ^j, k^ ¿ DEGLI ASSI SOLIDALI, OVVERO LE FUNZIONI: ´ ΩO ´ ( t) ΩO=

^i= ^i(t)

^j= ^j(t) ^k =^k (t )

PER LE QUALI VALGONO LE SEGUENTI CONDIZIONI: ^i∙ i=1 ^ ^j ∙ ^j=1 ^k ∙ ^k=1 ^i ∙ ^j=0 ^j ∙ k=0 ^ ^i∙ ^k =0 ^i× ^j= ^k ^j × ^k = ^i ^k × ^i= ^j

OTTENENDO: ( ^i∙ ^k )=0 d ^ ^ (i∙ k )=0 dt ^

^

(ddti) ^k =−ddt k ∙i^ ´ TALE CHE: ESISTE UNICO IL VETTORE ω

d ^i =ω ´ × ^i dt

( )

^

(ddtj )= ω´ ×^j ^

(ddtk )=ω´ × ^k IL VETTORE w´ è DEFINITO VETTORE DI POISSON. DIMOSTRAZIONE. ´ DERIVANDO RISPETTO AL TEMPO IL DIMOSTRO L’ESISTENZA DEL VETTORE ω ^ VERSORE i .

{( ) } {( ) } {( ) }

d ^i d i^ ^ ^ d ^i ^ ^ d ^i ^ ^ = i i+ j j+ k k =¿ dt dt dt dt

¿

{( ) } {( ) }

¿

{( ) }

¿

{[( ) ] [( ) ] [( ) ] }

d ^i ^ ^ d ^k ^ ^ j j− i k=¿ dt dt

{( ) }

{( ) }

d ^i ^ ( ^ ^ ) d ^k ^ ( ^ ^ ) d ^j ^ ( ^ ^ ) j k ×i + i j× i + k i × i =¿ dt dt dt d ^i ^ ^ d ^j ^ ^ d ^k ^ ^ ^ j k+ k i+ i j × i=¿ dt dt dt

¿ω ´ × i^

FORMULA FONDAMENTALE DEI MOTI RIGIDI. CONSIDERANDO DUE PUNTI O E P APPARTENENTI AL CORPO RIGIDO, IL VETTORE ´ è SOLIDALE E LA SUA DERIVATA è DATA DALLA FORMULA DI POISSON: OP ´ d OP ´ =w ´ ×OP dt

DA CUI SI OTTIENE LA FORMULA FONDAMENTALE DELLA CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI: ´ ´ × OP v´( P = ) v´( O) + w

CINEMATICA RELATIVA DEL PUNTO STABILITA UNA TERNA FISSA (Ω; ξ, η, ζ) ED UNA TERNA SOLIDALE (O; x, y, z) A Σ . SI DEFINISCE MOTO ASSOLUTO DEL PUNTO IL MOTO DI P RISPETTO ALLA TERNA FISSA; MOTO RELATIVO IL MOTO DI P RISPETTO ALLA TERNA SOLIDALE; MOTO DI STRASCINAMENTO IL MOTO DELLA TERNA SOLIDALE RISPETTO ALLA TERNA FISSA.

MOTI PIANI. IL PUNTO P HA MOTO PIANO SE LA SUA TRAIETTORIA γ è UNA CURVA PIANA.

MOTO CIRCOLARE UNIFORME. IL PUNTO P HA UN MOTO CIRCOLARE SE LA SUA TRAIETTORIA è UN ARCO DI CIRCONFERENZA. IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME è UN MOTO PERIODICO.

SIANO O e R RISPETTIVAMENTE IL CENTRO ED IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA TRAIETTORIA DI P. FISSATO UN SISTEMA DI ASCISSE CURVILINEE s, CON ORIGINE IN PO CORRISPONDENTE AL VALORE O DELL’ANOMALIA θ , SI HA: s(t)=Rθ(t) E

´ ´s =R θ(t)

NEL MOTO CIRCOLARE UNIFORME SI HA: v E QUINDI: ´θ= o vo t + θo R

∀t

∀t .

R

θ=

´s =v o

(

)

2 πR = e θ t+ v

vo t + 2 π + θ o = θ ( t) R

DA CUI:

(

s t+

)

2 πR 2 πR ) = Rθ(t)=s(t) =Rθ (t+ v v

MOTO ARMONICO. IL PUNTO P HA MOTO OSCILLATORIO ARMONICO SE LA SUA LEGGE ORARIA è DEL TIPO: c2 t (¿ +c 3) ( ) s t =c 1 cos ¿

SIANO A e γ DUE COSTANTI:

s (t )=A cos(wt +γ )

IL MOTO DI P SI DEFINISCE OSCILLATORIO ARMONICO E OSSERVANDO CHE s(o)=A cos γ E |s(t )|= A |cos (wt + γ )|≤ A , LA COSTANTE A PRENDE IL NOME DI AMPIEZZA DEL MOTO, LA COSTANTE γ FASE INIZIALE ED INFINE w PRENDE IL NOME DI PULSAZIONE.

LE PROIEZIONI DI P SUGLI ASSI CARTESIANI SONO:

x(t )=R cosθ y(t )=Rsenθ

LE CUI DERIVATE SECONDE SONO: ´2 ´x =− R θ´ senθ−R θ cosθ ´y =R θ´ cosθ−R ´θ2 senθ

IL MOTO è UNIFORME SE: ´θ=

vo R

E ´θ=0

QUINDI:

( ) x=0

v ´x + o R

2

( )

2

´y +

vo =0 R

MOTO ELICOIDALE. IL PUNTO P HA MOTO ELICOIDALE SE LA SUA TRAIETTORIA è UN ARCO DI ELICA CIRCOLARE.

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

LEGGI DELLA DINAMICA. UN CORPO SOGGETTO AD UNA FORZA SI MUOVE IN MODO CHE LA VARIAZIONE NEL TEMPO DEL SUO “MOMENTUM” UGUAGLIA LA FORZA ESERCITATA. QUESTO CI PERMETTE DI STABILIRE LA PRIMA EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA: m a´ = F´

SE LA FORZA è APPLICATA NEL PUNTO P DI MASSA m, DURANTE TUTTO IL MOTO DI P IL SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA DIVENTA: ´ , ´v (t ) ,t ) m a´ = F´ ( ΩP

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA.

SE LE FORZE CHE AGISCONO SUL SISTEMA SONO CONSERVATIVE, LE FORZE ATTIVE F´ ia=Fi´a ,e + F´ia , i CHE AGISCONO SUI PUNTI POSSONO ESSERE DERIVATE DA UN’ENERGIA POTENZIALE V FUNZIONE DELLE COORDINATE DI TUTTI I PUNTI DEL SISTEMA. V=V (x, y, z) E TALE CHE:

´iV F´ ia=−∇

DUNQUE PER UN SISTEMA VINCOLATO, CON VINCOLI FISSI LISCI E BILATERALI, L’ENERGIA TOTALE MECCANICA E=T+V, SI CONSERVA DURANTE TUTTO IL MOTO. DIMOSTRAZIONE. n

n

i=0

i=0

´ T´ + W ´ =W´ + ∑ ∇ ´ i V v i=W −∑ F´ i v i=W −W =0 E=

CAMPO DI FORZA. → CHIAMEREMO CAMPO DI FORZA UNA FUNZIONE VETTORIALE F: R3 ❑ R3 LE CUI COMPONENTI SIANO DI CLASSE C1 IN Ω. DOPO AVER INTRODOTTO UN SISTEMA DI COORDINATE O (x, y, z) SCRIVIAMO: F (x, y, z) =Fx (x, y, z) ^i + Fy (x, y, z) ^j + Fz (x, y, z) ^k CON Fx, Fy, Fz DI CLASSE C1 in Ω.

MOTO DEI GRAVI. IL MOTO DEI GRAVI è IL MOTO DI UN PUNTO MATERIALE SOTTO L’AZIONDE DELLA Gravità. DUE ESEMPI DI MOTO GRAVE SONO QUELLO DEL MOTO BALLISTICO E QUELLO DELLA CADUTA VERTICALE DI UN GRAVE.

MOTI OSCILLATORI. UN PUNTO MATERIALE SOGGETTO UNICAMENTE ALLA FORZA ELASTICA SI CHIAMA OSCILLATORE ARMONICO LINEARE SEMPLICE. SE OLTRE ALLA FORZA ELASTICA AGISCE ANCHE UNA FORZA VISCOSA CHE SI OPPONE AL MOTO, IL PUNTO MATERIALE SI DICE OSCILLATORE ARMONICO LINEARE SMORZATO. SE OLTRE AD UNA FORZA ELASTICA AGISCE UNA FORZA ESTERNA, IL PUNTO MATERIALE SI DICE OSCILLATORE ARMONICO LINEARE FORZATO. SE AGISCE ANCHE UNA FORZA VISCOSA ASSIEME ALLA FORZA ESTERNA, SI DICE OSCILLATORE ARMONICO LINEARE FORZATO E SMORZATO.

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO E DEL MOMENTO ANGOLARE DIFINITA UNA Quantità DI MOTO O MOMENTO LINEARE: ´p=m v´ ^ e , F´ LA FORZA E SIA F´ e=0 SIA UN VERSORE ^ , ABBIAMO ALLORA: d (p ^e ) ´ e^ =0 ^ F = p´ e= dt

SE ^e = ^i ABBIAMO CHE Fx=0 E QUINDI px=0. ANALOGO RAGIONAMENTO VALE PER GLI ALTRI VERSORI. SE TUTTE LE COMPONENTI DELLA FORZA SONO NULLE ALLORA p È UNA COSTANTE DEL MOTO.

DEFINITO IL MOMENTO ANGOLARE: ´ ( o ) =(P−O)× p´ K ´ SIA ^e UN VERSORE, F´ LA FORZA E SIA N (o)

^e =0, ABBIAMO ALLORA:

´ d ( K (o ) e^ ) ´ ´ ^ = K ( o ) ^e = N´ ( o ) e=0 dt

SE PER ^e = ^i Nx=0 E TUTTE LE COMPONENTI SONO NULLE, ABBIAMO CHE K´ ( O ) è UNA COSTANTE DEL MOTO.

VINCOLI. SI DEFINISCE VINCOLO UN QUALUNQUE DISPOSITIVO ATTO A LIMITARE L’INTERVALLO DI VARIAZIONE DI UNA O Più COORDINATE DI UN INSIEME DI PUNTI. L’ESPRESSIONE MATEMATICA DI UN VINCOLO è UN’EQUAZIONE O DISEQUAZIONE DETTA DI VINCOLO. NEL CASO DI EQUAZIONE DI VINCOLO è DETTO VINCOLO BILATERALE, NEL CASO DI DISEQUAZIONE è DETTO UNILATERALE. SPOSTAMENTI VIRTUALI. IN ASSENZA DI VINCOLI I PUNTI MATERIALI POSSONO MUOVERSI IN QUALUNQUE DIREZIONE NELLO SPAZIO. ^ ^ ^ INDICHIAMO CON dr i= dxi i+dy i j+dz i k IL GENERICO SPOSTAMNTO DI UN PUNTO P. IN PRESENZA DI VINCOLI ALCUNI SPOSTAMENTI SONO BLOCCATI. GLI SPOSTAMENTI ANCORA POSSIBILI VENGONO DETTI SPOSTAMENTI VIRTUALI E SONO CONSENTITI DAL VINCOLO ISTANTE PER ISTANTE. CLASSIFICAZIONE DEI VINCOLI. A SECONDA DELLA NATURA DEL VINCOLO E DEGLI SPOSTAMENTI VIRTUALI, IL VINCOLO Può ESSERE CLASSIFICATO IN VARI MODI: - VINCOLI FISSI E MOBILI: UN VINCOLO SI DICE FISSO SE L’EQUAZIONE O DISEQUAZIONE DI VINCOLO NON CONTIENE ESPLICITAMENTE IL TEMPO. IN CASO CONTRARIO è DETTO MOBILE. - VINCOLI BILATERALIE UNILATERALI:

SONO VINCOLI CARATTERIZZATI DALL’EQUAZIONE O DISEQUAZIONE DI VINCOLO. - VINCOLI GEOMETRICI E CINEMATICI: I VINCOLI GEOMETRICI SONO SOLO FUNZIONI DELLA POSIZIONE, MENTRE QUELLI CINEMATICI SONO FUNZIONE DELLA VELOCITà. - VINCOLI OLONOMI: IL VINCOLO SE ESPRESSO DA UN’EQUAZIONE DEL TIPO f ( x , y , z , t )=0 è DETTO OLONOMO. IN QUESTO CASO è GEOMETRICO E BILATERALE.

COORDINATE LAGRANGIANE LA SUPERFICIE DI DIMENSIONE l∈ R3 N POSSIEDE UNA RAPPRESENTAZIONE PARAMETRICA IN TERMINI DI l PARAMETRI LIBERI E INDIPENDENTI, INDICATI CON q1 , … … , ql .

LE COORDINATE DI R3 N SARANNO: x 1=X 1 (q 1 , … … , q l , t ) y 1=Y 1 (q 1 , … … , q l , t ) z 1=Z 1 (q 1 ,… … , q l , t ) x N =X N (q 1 ,… … , ql ,t) y N =Y N (q 1 ,… … , ql ,t) z N =Z N (q1 ,… … ,q l ,t )

IN FORMA COMPATTA: r i=Ri ( q 1 , … …, q l , t ) CON i= (1 , … … , N ) . AL VARIARE DEI PARAMETRI q1, …, ql NEL LORO DOMINIO, QUESTI PRENDONO IL NOME DI COORDINATE LAGRANGIANE. DEVONO SODDISFARE IL REQUISITO CHE AD OGNI PARTICOLARE l-upla CORRISPONDE UNO ED UNO SOLO PUNTO DELLO SPAZIO DELLE CONFIGURAZIONI DI COORDINATE.

ESPRESSIONE LAGRANGIANA DELLA VELOCITA’ LE DERIVATE TEMPORALI DELLE COORDINATE LAGRANGIANE q´1 , … …, q´ l SONO DETTE VELOCITà GENERALIZZATE. IL VETTORE VELOCITà DI P SI Può SCRIVERE COME: l

∂ ri ∂r q´k + i ∂t k=1 ∂ q k

v´ i=∑

DETTA ESPRESSIONE LAGRANGIANA DELLA VELOCITà. LA VELOCITà è COMPOSTA DAL PRIMO TERMINE CHE RAPPRESENTA LA VELOCITà VIRTUALE DI P LUNGO LO SPOSTAMENTO VIRTUALE E DAL SECONDO TERMINE CHE RAPPRESENTA LA VELOCITà DI TRASCINAMENTO DOVUTA AL MOTO DEI VINCOLI.

REAZIONI VINCOLARI ED EQUAZIONI DEL MOTO PER OGNI PUNTO MATERIALE AD OGNI VINCOLO CORRISPONDE UNA REAZIONE VINCOLARE, E Così SE SUL PUNTO AGISSERO m VINCOLI, AVREMO m REAZIONI VINCOLARI CHE SI SOMMANO VETTORIALMENTE A FORMARE UNA RISULTANTE VINCOLARE. L’EQUAZIONE DEL MOTO DIVENTA PER IL PUNTO Pi : m i a´ i = F´ i +Φ i EQUILIBRIO E Stabilità UNA CONFIGURAZIONE r e =( x e , y e , z e ) SI DICE DI EQUILIBRIO PER UN PUNTO MATERIALE, LIBERO O VINCOLATO, SE LO STATO CINEMATICO Γ e =(x e , y e , z e , 0,0,0) COSTITUISCE DA SOLO UNA CURVA DI FASE. UNA CONFIGURAZIONE r e SI DICE DI EQUILIBRIO SE r (t )=r e è SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI MOTO CON LE CONDIZIONI INIZIALI r (0) = re ED r´(0 )=0 . TEOREMA. CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE Affinché r SIA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO PER UN PUNTO MATERIALE è CHE LA SOMMA DELLE FORZE ATTIVE E DELLE REAZIONI VINCOLARI SIA NULLA. F( x

e

, y e , ze ,0,0,0 )

+Φ(x

e

=0

, ye , ze , 0,0,0)

DIMOSTRAZIONE. CONDIZIONE NECESSARIA SE F + Φ ≠ 0. ALLORA LA DERIVATA SECONDA DELLA CONFIGURAZIONE E QUINDI LA DERIVATA DELLA VELOCITà SARANNO DIVERSE DA ZERO ED IL PUNTO ACQUISTEREBBE VELOCITà INIZIALE CHE COMPORTEREBBE MOTO.

CONDIZIONE SUFFICIENTE SE: F+Φ=0, ALLORA LA DERIVATA DELLA VELOCITà Sarà NULLA E r (t )=r e è SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DI MOTO.

SE SI ASSEGNANO AD UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI DELLE CONDIZIONI INIZIALI VICINO ALL’EQUILIBRIO, IL MOTO CHE NE CONSEGUE RIMANE NELLE VICINANZE DELLA CONFIGURAZINE DI EQUILIBRIO. SIA DATA UNA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO PER UN SISTEMA DI N PUNTI E SIA ABBIA UNO STATO CINEMATICO CORRISPONDENTE NELLO DELLE FASI. SIA ε > 0 ARBITRARIO E SIA ABBIA UN INTORNO SFERICO DELLO STATO CINEMATICO NELLO SPAZIO DELLE FASI. SE ESISTE δ> 0 , CON δ< ε TALE CHE LO STATO CINEMATICO APPARTENGA ALL’INTORNO, ALLORA LA CONFIGURAZIONE SI DICE STABILE SECONDO LJAPUNOV.

CRITERIO DI DIRICHLET. CONSIDERANDO UN SISTEMA DI N PUNTI MATERIALI SOGGETTO A SOLE FORZE CONSERVATIVE E SIA V L’ENERGIA POTENZIALE DEL SISTEMA. IL CRITERIO DI DIRICHLET AFFERMA CHE: SE LA CONFIGURAZIONE r è UN PUNTO DI MINIMO DELL’ENERGIA POTENZIALE, ALLORA ESSA è UNA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO LINEARMENTE STABILE.

DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI DISTRIBUZIONI DISCRETE E CONTINUE DI MASSA UNA DISTRIBUZIONE DISCRETA DI MASSA è UN INSIEME DI PUNTI P CIASCUNO DOTATO DI MASSA m. LA Quantità: N

M =∑ m i i=1

VIENE CHIAMATA MASSA TOTALE DEL SISTEMA. UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI MASSA CON ESTENSIONE SPAZIALE è UN DOMINIO D ∈ R3 , CON dim(D)=3, NEL QUALE è DEFINITA UNA FUNZIONE ρ : D→ R , CON ρ (P ) ≥ 0 ∀P∈ D DETTA Densità DI MASSA, TALE CHE: ❑

M =∫ ρ ( P ) dV...