Riassunto - tutte le lezioni - a.a. 2015/2016 PDF

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BILANCI ENERGETICI Forma termica Q ̇+L ̇=m ̇(hOUT+vOUT2 2+gzOUT)+m ̇(h¿+v¿2 2+g z¿) Forma meccanica l−lw=∫δPρ+vOUT 2 −v¿ 2 2+g(zOUT−z¿) La forma meccanica salta fuori dalla scrittura di δh=TδS+δP ρconsiderando TδS=q+lIRR esfruttando il primo principio per scrivere δU=TδS−pδv→TδS=δU+pδv→δH=TδS+δP ...

Description

BILANCI ENERGETICI v v Q´ + ´L=m + g z )+ m ´ ( h + +g z ) ´ (h + 2 2 2 OUT



Forma termica



Forma meccanica



La forma meccanica salta fuori dalla scrittura di

¿

OUT

OUT

2 ¿

¿

2

l−lw =∫

2 δP vOUT −v ¿ + g + ( z OUT −z ¿) 2 ρ

sfruttando il primo principio per scrivere   

δh=TδS +

δP ρ

considerando

TδS=q+ lIRR e

δU =TδS− pδv →TδS =δU + pδv → δH =TδS +

δP ρ

´ che L´ hanno segno in base alla convezione adottata ed al tipo di macchina Ricorda che sia Q La convenzione comunemente adottata vede lavoro e calore positivi se ENTRANTI Le potenze disponibili alle eliche o alle pale sono sempre potenze uscenti dal fluido

EULERO   

Si hanno due formulazioni del lavoro Euleriano: la prima discende dal bilancio del momento della quantità di moto mentre la seconda è una conseguenza del teorema di Carnot se maggiore di zero è entrante, al contrario se negativo l=u2 v 2 −u2 v 1 TG

TG

2 2 2 2 2 2 2 w 2=u2 +v 2+2 u2 v 2 cos ( 90−α2) →=u 2 + v 2+ 2u 2 v 2 sin α 2 → u2+v 2 +2u 2 v 2TG e scrivendolo anche per il la velocità relativa in ingresso ( sottraendo 1 a 2 ) si ottiene

u ¿ 2 2 2 2 2 2 (¿ 2 −u 1¿)+ ( v 2 −v 1) +( w1−w2 ) ¿ 1 2 2 2 2 2 2 w 1−w 2=u1 −u2 +v 1 −v 2 +2( u2 v 2TG −u1 v 1TG) → l= ¿ 2   

La direzione tangenziale positiva dipende dal verso della u Gli angoli hanno segno e dipende dalla direzione di crescita rispetto l’ asse meridiano ( concorde o meno con la direzione tangenziale positiva ) Ricorda che se usi l’ arcoseno per determinare un angolo, sarà senza segno. Lo aggiungo io oppure uso la tangente.

SIMILITUDINE IDRAULICA 

Si definiscono i coefficienti adimensionali come segue

ψ=   

l V´ gH ; λ= 2 2 ; φ= 3 2 2 nD n D n D

Due macchine sono in similitudine idraulica SOLO se sono in similitudine geometrica, similitudine cinematica e dinamica ( la similitudine dinamica implica quella cinematica ) Dire che due macchine sono in similitudine significa dire che hanno lo stesso rendimento La similitudine geometrica implica β 2A =β 2B



Quando due macchine sono in similitudine idraulica hanno similitudine nei triangoli di velocità

α=arctan



Da

(

V TG u−w TG u wm tan β + =arctan =arctan Vm Vm vm Vm

ψ , φ ricaviamo D

)

e n e si ottiene la scrittura di w s=ω

´1 V2 3 4

e di

( gH ) 1

( gH )4 D s=D ´1 V2 

Noto il rendimento, la prevalenza e la potenza è sempre possibile ricavare la portata fluente

η POMPA =

gH P=ρ →´ V´ l l

LIFT & DRAG  

Le forze di lift e drag agiscono rispettivamente in direzione perpendicolare e parallela al verso del fluido Si verifica la forza di lift quando il profilo palare NON è simmetrico è la differenza di pressione tra superficie superiore ed inferiore genera PORTANZA ( vale la stessa regola se la pala è simmetrica ma l’ angolo di incidenza diverso da 0 )

POMPE  

Le equazioni per lo studio degli impianti di sollevamento idraulici sono sostanzialmente due, il bilancio energetico in forma termica e quello in forma meccanica Ricorda che negli impianti idraulici ci sono delle perdite, queste si dividono in distribuite e localizzate:



Y LOC =K

v2 2

2

dove

è il coefficiente di perdita , Y DISTR =f

K

L v D 2

con f

coefficiente di attrito ( ricavabile dall’ abaco di Moody ) Si può sempre definire una CURVA DI IMPIANTO che si ricava dal bilancio dell’ energia meccanica tra monte e valle

(

l−lw =( Y CONC +Y DISTR ) +

)(

)

p2 p1 v2 v2 + g z 2+ 2 − +g z 1 + 1 2 2 ρ2 ρ1

ricordo che

l−lw =H → gH=Y TOT + A (la differenza di quota cinetica è nulla in quanto mi sto riferendo ai g serbatoi) a questo punto Y TOT =f (V´ 2 ) → gH =C V´ 2 +A ( parabola concavità positiva ) 

La CURVA DELLA POMPA si ottiene invece valutando l’ andamento delle perdite, si avrà un’ ´ 2 +B V´ +C : A δ V´ δ V´

φ=

gH V´ ; γ= 2 2 n D n D3



Il lavoro per un pompa centrifuga posso scriverlo come v 1=v AX → v 1TG =0 ;

l=u2 v 2 −u2 v 1 TG

l=u2 v 2 =u2 ( u2 +w 2TG )=u 2 +u 2 w2m tan β 2=u2+u2 v 2m tan β 2=u2+u2 2

2

2

TG



TG

, ricordando che

V´ tan β 2 π D2 b 2



L’ ultima uguaglianza corrisponde all’ equazione di una retta con pendenza dipendente dalla tangente di β 2 infatti si possono suddividere le pompe in : pale AVANTI (β 2> 0) , INDIETRO (β 2< 0) , RADIALI (β 2=0) Le macchine con pale in avanti hanno una pendenza positiva ed il lavoro aumenta con la portata, occhio che il lavoro di cui si parla è l−lw =…→ l=l w + … quindi considera anche le perdite per attrito. Infatti macchine con pale in avanti hanno rendimenti più bassi e perdite maggiori ( velocità maggiori )



Il grado di reazione per macchine operatrici idrauliche è definito come riscrivere come



χ=

P2−P1 P3−P1

χ=

P2−P1 e lo si può ρgH

ossia la variazione di pressione a cavallo del ROTORE fratto la

variazione di pressione a cavallo della MACCHINA A grado di reazione piccolo corrisponde salto pressorico al rotore BASSO ( pale AVANTI ), per χ ≅0.5 si hanno pale RADIALI mentre per grado di reazione elevato pale all’ indietro (

χ ≅0.8 ÷ 0.9 → β 2 ≅−75 ° 

Per adimensionalizzare una curva sarà necessario IMPORRE LA SIMILITUDINE tra le due macchine e successivamente sfruttare i parametri

 

ψ=

V´ gH ψ n2 D 2 3 ; φ= → H = → V´ =n D φ 2 2 g n D n D3

così

da ottenere un ‘ espressione ψ=ψ ( φ) . Ottenuta l’ espressione adimensionale, sostituisco alla scrittura di ψ . φ la loro espressione in funzione dei parametri della seconda macchina in modo tale da ricavare la nuova curva caratteristica. Puoi fare lo stesso con il rendimento MA questa volta si scrive solo la portata in funzione di φ per poi riscrivere φ in funzione dei parametri dell’ altra macchina. Quando viene richiesta la potenza di una o più macchine in similitudine ricordati che è sempre vera

´ l= la scrittura P=ρ V

ρ V´ gH η

da qui sfrutto il fatto che sono in similitudine ed il rendimento è

lo stesso.

PTOT = P+

v2 ρ 2



Ricorda che la pressione totale è definita come



E’ possibile esprimere il lavoro in funzione della portata a partire dalla formulazione di Eulero al fine ´ ) con quella di η=η( V´ ) per ricavare l’ espressione di di combinare la scrittura l=l( V

H P = H P ( V´ ) 



Quando cambio pompa ma il circuito rimane lo stesso, posso sfruttare l’ espressione della prevalenza del circuito per ricavare portata e/o il valore di H ( in base a cosa è noto ) Due pompe in parallelo costituiscono un sistema tale che

{

H P= H SISTEMA V ricorda che la scrittura V P = SISTEMA 2

che va uguagliata alla prevalenza del circuito è quella del SISTEMA



N.B. Fai sempre attenzione all’ unità di misura in cui viene espressa la curva della pompa Es.

[ ]

3 2 ´ m H P =100−42 V´ : V h

bisogna sempre riscriverla in forma

[ ]

m3 2 → H P =100− 42∗36002 V´ ma questa volta s

V´

è espressa in

[ ] m3 s

DETTAGLIO CAVITAZIONE  

  

Si tratta di un fenomeno che si innesca qualora la pressione minima all’ interno della macchina raggiunge un valore MINORE della pressione di saturazione dell’ acqua ( e dei gas in essa disciolti ) Le conseguenze meno gravose sono la riduzione dell’ area di passaggio ( in uscita ) alla macchina dovuta al formarsi di bolle con conseguente aumento della velocità v 2 e quindi riduzione di lavoro ( triangoli di velocità INSTABILI ) Uno degli effetti più importanti si verifica nel caso in cui la pressione diminuisce a tal punto da far implodere la bolla di vapore che porta a rottura le pale della girante. Posso ottenere altezze di installazione negative (interro la pompa) Ricorda che in caso di acqua distillata ed assenza di perdite nei condotti di aspirazione l’ altezza

P ATM ≅ 10,33 m γ

massima di installazione è  

Lo studio della cavitazione si limita all’ imporre NPS H D > NPS H R Si può definire NPS H D a partire dal bilancio tra ingresso MACCHINA e sezione ( INTERNA alla macchina ) imponendo che la pressione minima ( valutata nella sezione x minore di



p v + p SOL γ

x ) sia

p ¿ v ¿ p v + p SOL [ m] − + γ γ 2g 2

→ NPS H D =

Da un bilancio tra la sezione del bacino e l’ ingresso della macchina si ha che 2

2

p − p v 2 −v 1 +z 2−z 1 −Y ASP= 2 1 + 2g γ Sostituendo la scrittura di NPS H D=NPS H R −Y ASP=NPS H R +

( incipiente cavitazione ) consegue che

P1− ( P v +P sol) v 12 Pv +Psol P1 v −Y −NPS H + − − → z −z z − z = +( 2 1) ( 2 1) ASP R γ γ 2g 2g γ 2 1

TURBINE IDRAULICHE  

Il salto motore è definito come l’ energia disponibile alla macchina, date le condizioni dell’ impianto Si può legare il salto motore della macchina al SALTO GEODETICO ( differenza di quota dei bacini ) tramite un bilancio energetico g H m=( z MONTE −z VALLE) −Y ASP−Y MAN N.B. il salto motore è minore del salto geodetico, sono UGUALI nel solo caso in cui le perdite siano nulle



Il rendimento di una macchina operatrice idraulica si definisce come



Fai attenzione che in questo caso vale la relazione g H m=l+l w ossia che la massima energia disponibile è la prevalenza ( nelle pompe era l in quanto l−lw =g H P )

PELTON

η=

g H m −l w l = g Hm g Hm

   

 

La pelton è l’ unica turbina la quale non interagisce in maniera diretta con il fluido di lavoro, esistono degli ugelli che lo convogliano alle pale con lo scopo di accelerare la corrente. I triangoli di velocità sono particolari, in ingresso si ha un parallelismo tra le velocità ( assoluta, trascinamento, relativa ) in uscita segue l’ andamento delle pale Le pale sono a doppio cucchiaio per equilibrare le spinte sui cuscinetti N.B. si avrebbe un lavoro massimo in caso di velocità (relativa) all’ uscita parallela a quella in ingresso ( di verso opposto ) ma questo causerebbe un’interferenza con la pala successiva quindi è bene avere β 2 negativo MA non troppo. Il salto motore si può sempre vedere come trinomio di bernoulli valutato tra monte e valle da qua derivano i bilanci utili allo studio della macchina La velocità in uscita dall’ ugello ( ingresso macchina ) si calcola come v 1= √ g H m−l w e si usa UG

caratterizzare le perdite nell’ ugello con un coefficiente

φ=

v1 (¿ 1) dove la velocità ideale si v1 ID

ℜ



calcola ipotizzando nulle le perdite nell’ ugello Facendo un bilancio al rotore come osservatore relativo si ha che +

l+ q=( u2−u 1) +

(

(

)

)

2 2 u 2−u 2 p 2 p1 w2−w1 −( 2 1 ) ma sappiamo che lavoro, calore, − +g ( z 2− z 1) + 2 2 ρ ρ

differenza di quota, differenza di pressione, differenza di velocità di trascinamento (macchina

w22−w21 ( u2−u 1) =( 2 ) e ricordando che la

assiale) sono NULLE quindi il bilancio si riduce a

variazione di energia interna è causata dalle irreversibilità nella macchina possiamo scrivere

lwROTORE=( 

w22 −w21 ) 2

Dall’ ultima equazione puoi dire che, supposta la macchina ideale (

lw

=0

ROTORE

) , w 2 =w1ℜ ID

w2 ℜ quindi si definisce un coefficiente che tiene conto delle perdite nel rotore ψ= w2 w2 ℜ ideale il coefficiente si definisce come ψ= w1

e nel caso

ID

ℜ



Per scrivere il lavoro si sfruttano gli stessi accorgimenti di sempre

l=u ( v 2 −v 1 )=u ( w 2 +u−v 1 ) =u ( w 2 sin β 2 +u−φ v 1)=u ( ψ w 1 sin β 2+ u−φ v 1)=u ( ψ ( v 1−u ) sin β 2+u−φ TG

TG

definendo K p =

TG



)

Kp φ k p= 2

Tirando le somme e scrivendo l’ espressione del rendimento in funzione di curva che descrive



(

u φ 2 →l =u −1 (ψsin β 2−1) v1 Kp ID



TG

η è una parabola (negativa) con massimo per

si nota che la

Il salto motore è espresso come “ La variazione di energia meccanica tra ingresso macchina e bacino di valle, espressa in unità tecniche” cit. Spinelli Il salto motore lo devi calcolare come g H M =Τ INGRESSOMACCHINA−Τ VALLE siccome le grandezze all’ ingresso della macchina generalmente NON sono note si fa un bilancio dell’ energia meccanica tra MONTE ed INGRESSO MACCHINA così da riscrivere Τ INGRESSOMACCHINA Dovrei ottenere un ‘ espressione del tipo g H m= g ( z MONTE − z VALLE )−Y CONDOTTA ASP N.B. è sempre minore ( o al più uguale ) del salto geodetico



Variando la sezione dell’ ugello regolo la portata MA varierà anche la velocità v 1 o v 1 ID che sia in quanto variando la portata variano le perdite e la velocità dipende anche dalle perdite. ( beh ci siamo capiti )

TURBINE A REAZIONE 

La cavitazione nelle turbine si deve studiare sul lato di mandata: il bilancio sulla sezione esegue allo scarico e si ricava ( in analogia alle pompe )

NPS H D=

x si

2 2

p2 v pv + psol + − γ 2 γ

Facendo un bilancio tra lo scarico ed il serbatoio di valle si ottiene 2

2

2 2 p SCARICO v SCARICO PVALLE v VAL l−lw Y DIFF pVALLE − pSCARICO v VALLE−v SCARICO + + = − + = + ( z VALLE−z SCARICO ) → γ γ 2g 2 g γ g 2g dalla scrittura di NPS H D ottengo 2

p v +p sol PVALLE v VALLE l−l w Y DIFF + = + + ( z VALLE−z SCARICO )− γ g γ g 2g Y DIFF p p +p z VALLE−z SCARICO = VALLE − v sol + −NPS H D γ γ g NPS H D +

dalla quale si ricava



N.B. In una turbina le perdite nel diffusore RIDUCONO il rischio di cavitazione nella macchina



Il grado di reazione è sempre definito come

p1 −p 2 ρg H m

v21 2 g Hm Una macchina ottimizzata ha velocità ASSOLUTA allo scarico assiale (v 2T =0) macchina fratto salto motore e si può riscrivere come

 







ossia come salto di pressione a cavallo della

χ=1−

Il salto motore scrivilo sempre come differenza tra trinomio all’ ingresso della macchina e trinomio al bacino di valle T 1 −T VALLE , tale espressione si può sempre riscrivere come composizione dei trinomi valutati tra altre sezioni Occhio quando devi utilizzare Baljè , molte volte viene fornito n o qualche altro parametro e ω s piuttosto che D s è già definito. Incrociando la linea a rendimento ottimizzato si ricava il valore mancante Occhio che la velocità calcolata dal bilancio tra monte e macchina non è la velocità in ingresso alla GIRANTE bensì la velocità in ingresso allo statore, non la posso usare per definire il triangolo di velocità Analogamente la velocità all’ uscita del diffusore NON corrisponde alla velocità in uscita alla girante, si può calcolare a partire dalla portata come v DIFFUSORE =



V´ A DIFFUSORE

Quando si analizzano le perdite al diffusore ricorda sempre che oltre al coefficiente di perdita distribuita ( pari ad una parte della quota cinetica o comunque calcolabile ) bisogna SEMPRE aggiungere una quota cinetica che tiene conto della perdita localizzata Es Perdite nel diffusore pari a 0.5 quote cinetiche → le perdite effettive saranno

0.5 v 2 1 v 2 + 2 2

MACCHINE TERMICHE 

L’ entalpia si ottiene applicando un arresto adiabatico della corrente, ipotizzando di valutare un 2

2

v v fluido ( comprimibile ) in un tubo e scrivendo il bilancio di energia l+ q=h2− h1 + 2− 1 2 2 2 v v2 dovendo arrestare il fluido v 2=0 inoltre in un tubo l ,q=0 → h1 + 1 =h2 → hTOT =h+ 2 2 

In sezioni in cui non si compie lavoro l’ entalpia TOTALE si conserva sempre Partendo dalla definizione di entalpia per un gas perfetto si ha che δH =c p (T 2−T 1 ) si può allor

v2

1 (hTOT −h1 ) =c P (T TOT −T 1 ) → 2 =c P( …)

scrivere che

si definisce la temperatura TOTALE come

2

T TOT =T 1 +  

v1 2 cP

Se faccio lo stesso discorso a cavallo della girante, mi accorgo che la variazione di entalpia totale coincide con il lavoro della macchina Per definire la pressione totale è necessario richiedere che l’ arresto sia adiabatico ma anche REVERSIBILE così da poter scrivere



( ) T TOT T1

γ −1 γ

(

2

2

)

δP v 2 v 1 Il bilancio di energia meccanica si esegue come al solito l −l w = + − + g(z 2−z 1 ) MA ρ 2 2 p =RT si può riscrivere la densità ed ottenere sfruttando l’ equazione dei gas ideali ρ l−lw =RT



PTOT =P1

(

)

2 2 δP v 2 v 1 + − + g(z 2−z 1) N.B. Ricordati che la variazione di quota è SEMPRE 2 2 P

trascurabile Per una trasformazione ISOENTROPICA ( adiabatica, reversibile ) si può scrivere il bilancio di energia come

l+q=h2− h1+ g ( z 2− z 1 ) +

v 22 v 12 − 2 2

→l =h2−h 1=c P (T 2IS −T 1 )

Volendo si può sfruttare la definizione di trasformazione politropica per legare la variazione di temperatura a quella di pressione e scriviamo γ

p ( RT ) p =cost → p 1−γ T γ =cost → p p v =cost → γ =cost → γ ρ p γ

IS

T2 =β T1

definire il rapporto

l=c P T 1 

(

IS

)

(

γ −1 γ

1−γ γ

T =cost allora posso

con beta rapporto di compressione ed infine

γ −1 T2 −1 =c P T 1 β γ −1 T1

)

Il una trasformazione reale (di compressione) si avrà sempre il lavoro maggiore rispetto una trasformazione ideale poiché si va incontro ad un fenomeno di CONTRORECUPERO ed alla presenza di attriti. Il primo si studia ipotizzando una macchina in più stadi che vede il susseguirsi di trasformazioni eseguite più o meno bene: una trasformazione che segue una fatta MALE si vedrà un

  

fluido più caldo ( scaldato dalle irreversibilità della precedente ) e dovrà quindi compiere un lavoro maggiore ( per comprimere il gas ad esempio ). Il lavoro perso il attrito è lw ed è pari a ∫ TδS valutato tra 1 e 2R La relazione fondamentale che esprime il lavoro reale è la seguente l −l w=l IS +lCONTRORECUPERO con l w=l ATTRITO → l=l IS + lw+lCONTRORECUPERO Volendo analizzare una trasformazione politropica generica prendi l’ espressione del lavoro nel caso isoentropico

p v m= cost → l = 





l=c P T 1

(β