RT Aufgabenblatt 2 Loesung Tutorium PDF

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Regelungstechnik Tutorium...

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Lösung zu Tutorium 2 Offener und geschlossener Regelkreis, Notwendiges Stabilitätskriterium, Hurwitz-Kriterium Veranstaltung Regelungstechnik, WS 2018/19

T2 Aufgabe 1:

Standardregelkreis, Offener und geschlossener Regelkreis (Klausuraufgabe vom 30.03.2017)

D as Blockschaltbild unten beschreibt ein technisches System, bestehend aus Regler GR (s) und Regelstrecke GS (s).

e(t)

w(t)

GR(s)

u(t)

z(t) −

GS (s)

y(t)

−

Gegeben sind die Übertragungsfunktionen (Regler)

GR (s) = KR GS (s) =

a)

0,1 (s2 + 4s + 3)(s + 1)

(Regelstrecke)

Skizzieren Sie das Blockschaltbild eines Standardregelkreises! Welche Merkmale zeichnen diesen aus? Formen Sie anschließend den oben dargestellten Regelkreis in einen Standardregelkreis um und geben Sie die Übertragungsfunktion Fo (s) des offenen Regelkreises an! Lösung Standardregelkreis Skizze: z(t) w(t)

e(t)

Fo (s)

y(t)

− • Rückwärtszweig mit Faktor 1

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• Störeingang nach Streckendynamik Blockschaltbild umformen: z(t) − GS (s) w(t)

e(t)

GR (s)

u(t)

GS (s)

y(t)

−

Fo (s) =

b)

Y(s) = GR (s)GS (s) E(s) 0 ,1 = KR 2 (s + 4s + 3)( s + 1) Zo 0,1KR := = 2 No (s + 4s + 3)(s + 1)

Beurteilen Sie die Stabilität des offenen Regelkreises Fo (s)! Lösung Pole von Fo (s) berechnen: s1 = −1 s2,3

4 =− ± 2

⇒ s2 = −1

s

4 2

!2

− 3 = −2 ± 1

s3 = −3

Der offene Regelkreis ist stabil, da alle Pol einen negativen Realteil haben. Alternativ: s2+ 4s + 3 stabil, da alle Koeffizienten das gleiche Vorzeichen haben und vom Grade 2 ist. c)

Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion Fw ( s) = tragungsfunktion Fz (s) =

Y(s) und die StörüberW(s)

Y(s) ! Z(s)

Lösung

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Fw (s) =

Fz (s) =

d)

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Y(s) Fo Zo = = No + Z o W(s) 1 + Fo 0,1KR = 2 0,1KR + (s + 4s + 3)( s + 1) No 1 Y(s) = −GS (s) = −GS (s) 1 + Fo Z(s) No + Z o (s2 + 4s + 3)( s + 1) 0,1 =− 2 (s + 4s + 3)( s + 1) 0,1KR + (s2 + 4s + 3)( s + 1) 0,1 =− 2 0,1KR + (s + 4s + 3)( s + 1)

Für welchen Wertebereich von KR verhält sich der geschlossene Regelkreis stabil? Lösung Nenner von Fw (s) bzw. Fz (s): (s2 + 4s + 3)(s + 1) + 0,1KR = |{z} 1 s3 + |{z} 5 s2 + |{z} 7 s + 3| + {z 0,1K} R Stabia0

a1

a2

a3

litätsnachweis mit dem Hurwitz-Kriterium:     0 a1 a3 0   5 3 + 0,1KR  H = a0 a2 0  =  1 7 0   0 a1 a3  0 5 3 + 0,1KR H1 = a1 = 5X   7 3 + 0,1KR   H2 =  1  5

= 7 · 5 − (3 + 0,1KR ) · 1 = 35 − 3 − 0,1KR = 32 − 0,1KR > 0 ⇔ KR < 320

H3 = a3 · H2 > 0 ⇔ a3 = 3 + 0,1KR > 0 KR > −30

T2 Aufgabe 2:

Übertragungsfunktion, Hurwitz-Kriterium

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild für die Drehzahlregelung eines Elektromotors, bestehend aus den Übertragungsfunktionen für den Motor, den Stromrichter, den Regler

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und den Tachogenerator (Messglied). Der Motor ist als PT2-Glied angenähert, der Stromrichter als PT1-Glied. Die Übertragungsfunktion des Messglieds stellt die Skalierung von der gemessenen Drehzahl ω auf die ausgegebene Spannung dar (P-Glied mit Einheit V s rad−1). Die Eingangsgröße des Regelkreises (Spannung u s ) ist zur Solldrehzahl ω s proportional. Zunächst soll ein P-Regler verwendet werden: GR (s) = KR . uS (t)

GR ( s )

GS t ( s )

uA (t)

GS ( s)

ω(t)

− G M (s) Übertragungsfunktionen: 0,25 + 0,6s + 1 30 Stellglied (Stromrichter): GS t(s) = 1 + 0,01s Messglied: G M (s) = 0,2 Strecke (Motor): GS (s) =

a)

0,05 s2

Transformieren Sie das Strukturbild in die Standardstruktur und geben Sie die Übertragungsfunktion Fo (s) des offenen Regelkreises an. Hinweis: Als Eingangsgröße des Regelkreises tritt nun die Solldrehzahl ω s auf ! U s (s) mit Ω s (s) = . G M (s) Lösung us

30 0, 005s + 1

KR − umess

us

1 0, 24

ωs

0,24 −

0, 242 + 0, 586 s + 1

ω

0, 0293 s2

0,24

KR

30 0, 005 s + 1

0, 242 0, 0293 s2 + 0, 586 s + 1

ω

Andere Faktoren denkbar (G M „nach hinten“ verschieben), führen aber nicht zu der gewünschten Solleingangsgröße ω s !

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Ω(s) = G M · GR · GS t · GS Ω s (s) 0,25 30 = 0,2KR · 1 + 0,01s (0,5s + 1)(0,1s + 1) 1,5KR = (1 + 0,01 s)(0,5s + 1)(0,1s + 1) Offener RK stabil? ⇒ Ja, da alle λ < 0 Fo (s) =

b)

Bestimmen Sie mithilfe des Hurwitz-Kriteriums den Wertebereich von KR für den der geschlossene Regelkreis stabil ist. Lösung Mit dem Hurwitz-Kriterium muss der Nenner desjenigen Systems betrachtet werden, dessen Stabilität untersucht werden soll. Hier: geschlossener RK ⇒ Nenner von FW(s) untersuchen! FW (s) =

Zo (s) 1,5KR Ω(s) = = Ω s (s) No (s) + Zo ( s) (1 + 0,01 s)(0,5s + 1)(0,1s + 1) + 1,5KR

Charakteristische Gleichung: Zo(s)+No (s) = 0 (Nenner des geschlossenen Regelkreises, sog. Charakteristische Gleichung) (1 + 0,01 s)(0,5s + 1)(0,1s + 1) + 1,5KR = 0 N(s) = 0,0005 s3 + 0,056s2 + 0,61 s + 1 + 1,5KR = 0 mit a0 = 0,0005, a1 = 0,056, a2 = 0,61, a3 = 1 + 1,5KR Grundlegendes Kriterium: Bei entsprechender Wahl von KR könnte das System stabil sein.     0  a1 a3 0   0,056 1 + 1,5KR  0,61 0 H = a0 a2 0  =  0,0005   0 a1 a3  0 0,056 1 + 1,5KR H1 = 0,056 > 0   a1 a3   = a1 · a2 − a0 · a3 H2 =  a0 a2 

= 0,056 · 0, ,61 − 0,0005 · (1 + 1,5KR )

= 0,03366 − 0,00075KR > 0 ⇒ KR < 44,88

H3 = H = a3 · H2 > 0 ⇒ a3 > 0 ⇒ 1 + 1,5KR > 0 2 ⇒ KR > − 3

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2 Der geschlossene Regelkreis ist stabil für − < KR < 44,88. 3

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T2 Aufgabe 3:

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Stabilität, Hurwitz-Kriterium

Für ein Antriebssystem soll eine Positionsregelung ausgelegt werden. Dabei kommt ein PI-Regler zum Einsatz. Die nachfolgende Abbildung zeigt das Blockschaltbild des geregelten Systems. Darin ist GR(s) die Übertragungsfunktion des PI-Reglers und GS (s) die der Strecke. Fo (s) X soll (s) E(s)

GR( s)

U( s)

GS (s)

X(s)

− Übertragungsfunktionen: 0,1 U(s) KR (s + 1) X(s) PI-Regler: GR (s) = = 2 = Strecke: GS (s) = s U(s) 4 s + 5 s + 1 E(s) In T1A2 wurde folgende Führungsübertragungsfunktion bestimmt: FW (s) = a)

0,1 · KR (s + 1) 4s3 + 5s2 + s(0,1KR + 1) + 0,1KR

Berechnen Sie mithilfe des Hurwitzkriteriums, für welchen Wertebereich der Reglerverstärkungen KR der geschlossene Regelkreis stabil ist. Lösung KR (s + 1) 4 s3 + 5 s2 + s(0,1KR + 1) + 0,1KR FW ist eine rationale Übertragungsfunktion ⇒ das Hurwitzkriterium darf zur Stabilitätsuntersuchung angewendet werden. Notwendiges Stabilitätskriterium: a0 , ..., a3 > 0 Aus a3 = 0,1KR > 0 folgt KR > 0. Aus a2 = 0,1KR + 1 > 0 folgt KR > −10. Hinreichende Bedingung des Hurwitzkriteriums: alle NW-Determinaten (führende Hauptminoren) > 0.   0,1KR 0  5  0  H = 4 0,1KR + 1  0 5 0,1KR

FW (s) =

H1 = det(5) = 5 > 0

! 5 0,1KR H2 = det = 5(0,1KR + 1) − 0,4KR > 0 4 0,1KR + 1

⇒ KR > −50

H3 = H2 ·a3 > 0, wenn KR > 0. (Laplace’scher Entwicklungssatz für Determinanten, Entwicklung nach der 3. Spalte) ⇒ Der geschlossene RK ist für KR > 0 stabil. Heinz Nixdorf Institut – Regelungstechnik und Mechatronik Universität Paderborn • Fürstenallee 11 • D-33102 Paderborn Telefon: +49 5251 60 6276 • Telefax: +49 5251 60 6297 • E-Mail: [email protected] • Website: www.hni.uni-paderborn.de/rtm

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b)

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Berechnen Sie die Pole des geschlossenen Regelkreises bei einem Verstärkungsfaktor von KR = 10. Welche Aussagen lassen sich über die Stabilität des geschlossenen Regelkreises treffen? Lösung

FW (s) =

4 s3

+

5 s2

s+1 10 · 0,1( s + 1) = 3 + s(10 · 0,1 + 1) + 10 · 0,1 4 s + 5 s2 + 2 s + 1

Berechnung der Pole der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: 4s3 + 5 s2 + 2 s + 1 = 0 Raten des ersten Pols: α1 = −1 Polynomdivision:     4 s3 + 5 s2 + 2 s + 1 : s + 1 = 4s2 + s + 1 − 4s3 − 4s2 s2 + 2s − s2 − s s+1 −s−1 0

Nullstellen des Restpolynoms bestimmen: √ 1 15 2 4s + s + 1 = 0 ⇒ α2,3 = − ± j 8 8 √ 1 15 haben einen negativen Die Pole α1 = −1 und α2,3 = − ± j 8 8 Realteil. Daraus lässt sich schließen, dass sich der geschlossene Regelkreis stabil verhält. Hier wird der Nutzen des Hurwitzkriteriums deutlich. Es lässt sich damit etwas über die Stabilität eines Systems aussagen ohne den genauen Wert aller Pole zu kennen. Es handelt sich um ein Ersatzkriterium.

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T2 Aufgabe 4:

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Hurwitz-Kriterium

Zeigen Sie mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums die Stabilität der folgenden Übertragungsfunktion: GS (s) =

s4

+

8s3

17 . + 19 s2 + 14s + 8

Lösung GS ist eine rationale Übertragungsfunktion ⇒ das Hurwitzkriterium darf zur Stabilitätsuntersuchung angewendet werden. N(s) = s4 + 8s3 + 19 s2 + 14s + 8 a0 = 1; a1 = 8; a2 = 19; a3 = 14; a4 = 8; ⇒ n = 4   8 14 0 0 1 19 8 0 H =  0 8 14 0 0 1 19 8

H1 = 8 > 0   8 14  = (8 · 19) − 14 = 138 > 0 H2 =  1 19   8 14 0  H3 = 1 19 8  0 8 14

= 8 · 19 · 14 + 1 · 8 · 0 + 0 − 0 − 8 · 8 · 8 − 14 · 14 · 1

= 2128 − 512 − 196 = 1420 > 0      8 14 0 0 8 14 0   1 19 8 0 H4 = H =  = 8 · 1 19 8  = 8 · H3 = 8 · 1420 = 11360 > 0  0 8 14 0 0 8 14  0 1 19 8 Anmerkung: Zur Berechnung von H4 Entwicklung nach der 4. Spalte. Die Übertragungsfunktion GS (s) ist stabil.

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T2 Aufgabe 5:

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Hurwitz-Kriterium

Überprüfen Sie mit dem Hurwitz-Kriterium die Stabilität des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s) =

s2 − 4 . (s + 1)(3 s3 + 7 s2 + 2 s + 2)

Lösung GS ist eine rationale Übertragungsfunktion ⇒ das Hurwitzkriterium darf zur Stabilitätsuntersuchung angewendet werden. Der Pol s = −1 kann direkt abgelesen werden. Daher braucht nur der 2. Teil des Nenners untersucht werden: N(s) = 3 s3 + 7 s2 + 2s + 2 a0 = 3; a1  a1 H = a0  0

= 7; a2 = 2; a3 = 2;    a3 0   7 2 0  a2 0  =  3 2 0 a a   0 7 2 1

3

H1 = a1 = 7 > 0   7 2 =7·2−3·2 =8 >0 H2 =  3 2

H3 = H = a3 · H2 = 2 · 8 = 16 > 0

Alle „nordwestlichen Unterdeterminanten“ sind größer als null: Das System ist stabil.

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