Schema equazioni e disequazioni esponenziali 1 PDF

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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI an = $ a! ⋅ a#⋅… ! "a

Definizione di potenza:

EQUAZIONI ESPONENZIALI (l’incognita è all’esponente)

n volte

a base

an potenza

n esponente

1° Caso

a, b ∈ ℜ+ a =1 ; a = a ; 1 = 1 ; 0 n = 0 n ≠ 0 ; n

1

0

m

n

1) a ⋅ a = a 2)

a

m

a

n

m

m

m

n

1 a

n

an ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ bn ⎝ b ⎠

4)

(a )

m n

5)

n

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝a⎠

⎛3⎞ Es: ⎜ ⎟ ⎝4⎠

−2

m n

2

⎛4⎞ =⎜ ⎟ ⎝3⎠

x=4

x

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ = 16 ⇒ 2 − x = 2 4 ⇒ x = −4 ⎝ 2⎠

3

m

−

x

2x = 16 2 = 2 4 ⇒ 2x = −16 impossibile 2 x = 0 impossibile

= a m⋅n

7) a n = n a m , n ∈ N 0 Es: 8) a

Esempio:

3) a ⋅b = (a ⋅ b)

m +n

= a m −n

6) a −n =

3° Caso

a f ( x) = a g( x) ⇒ f ( x) = g( x)

Proprietà delle potenze:

=

1 m an

=

1 n

a

,

m

5

a 3 = a5

n ∈ N0

Definizione di funzione esponenziale Una funzione si dice esponenziale se l’incognita compare all’esponente: + f : x → ax , con a ∈ ℜ0 − {1} Tale funzione assume valori reali ∀x ∈ ℜ , Esempio: y = ax , 0 < a < 1 x

⎛1⎞ y= ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Def di funzione decrescente x1 < x2 ⇒ a x1 > a x 2 (cambia il verso) Esempio: y = a x , base a > 1 x

y=2

Def di funzione crescente

x1 < x2 ⇒ a x1 < a x 2 (si mantiene il verso) Tutte le funzioni esponenziali passano dal punti (0; 1)

2° Caso

a f ( x) = b f ( x) ⇒ f (x) = 0 Infatti f ( x)

Esempio:

2 x + 2 x −1 + 2 x −2 = 7 2 x + 2 x ⋅ 2 −1 + 2 x ⋅2 −2 = 7 1 1 2 x + 2 x ⋅ +2 x ⋅ = 7 4 2 1 1⎞ x⎛ 7 2 ⎜1 + + ⎟ = ⎝ 2 4⎠ 4 x 7 2 ⋅ = 7 ⇒ 2x = 7⋅ 4 7 ⇒ 2 x = 4 ⇒ 2 x = 22

Si hanno gli stessi casi 1, 2, 3, 4 delle equazioni esponenziali con la seguente REGOLA: Se le basi sono maggiori di uno si ottiene una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti.(Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è crescente) Se le basi sono comprese tra 0 e 1 si ottiene una disequazione di verso contrario tra gli esponenti. (Vedi grafico dell’esponenziale: in questo caso è decrescente) Esempio: base maggiore di 1

⇒ x=2

5x < 25 ⇒ 5 x < 5 2 4° Caso

⎛ a⎞ = 1⇒ ⎜ ⎟ ⎝ b⎠

f ( x)

0

⎛ a⎞ = ⎜ ⎟ ⇒ f ( x) = 0 ⎝ b⎠

Esempio:

Esempio: base compresa tra 0 e 1

Esempio: x

x

2

9 − 7 ⋅3 = 2 ⋅3 3

2x

2 ⋅15 2 ⋅15 − = 40 ⋅ 3 x−4 = 40 ⋅ 3 x 4 9 23 + 1 Isoliamo la x al primo membro: x

9 2 ⋅15 9 ⋅ = 40 ⋅ 3 x −4 ⋅ 15 9 15 2x

2 x = 8⋅ 3⋅ 3 x −4

23

= 3⋅ 3 x −4

2 x −3 = 3 x−3 x− 3 2 x−3 ⎛ 2⎞ ⇒ = 1⇒ ⎜ ⎟ =1 x−3 ⎝ 3⎠ 3 x −3

x

− 7 ⋅ 3 −18 = 0

Si pone 3 x = y ⇒ 32 x = y 2

5

Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

2

S = {3}

y − 7y − 18 = 0

1.

3 x = 27

7 ± 49 + 72 7 ± 121 y= = 2 2 7 + 11 7 −11 = −2 =9 y2 = y1= 2 2 Quindi andando a sostituire in 3 x = y :

2.

5 x+3 = 2 x ⋅ 8 S = {− 3}

3.

3 x −1 + 3 x−2 + 3 x+1 = 31 S = {2}

4.

2 3−

3x =9 x

3 = −2 x=3

x

⎛1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⇒⎜ ⎟ 5 ⎜ ⎟ < 32 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Si inverte il verso della disequazione

x

3 x = 32 ⇒

x=2

impossibile

0

⎛2⎞ = ⎜ ⎟ ⇒ x −3 = 0 ⇒ ⎝3⎠

⇒ x 27

S = {x > 3}

x

3.

⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ < 32 S = {x > −5 } ⎝2 ⎠ 5 x + 3 < 2 x ⋅8 S ={ x < −3}

4.

3x −1 + 3x −2 + 3 x +1 > 31 S = {x > 2}

2....