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Universit´e de Rouen Normandie Math´ematiques, Alg`ebre L1 MIM, IEEEA & PMPC Ann´ee 2019-2020

´ l´ements de logique. D´emonstrations. Fiche n 1. E

1. Le propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les r´eponses. – P : pour tout n 2 N, (n est pair) ou (n est impair). – Q : (pour tout n 2 N, n est pair) ou (pour tout n 2 N, n est impair) . – R : pour tout n 2 N, (n est multiple de 4) =) (n est pair). – S : pour tout n 2 N, (n est multiple de 4) donc (n est pair). 2. On consid` ere des propositions P et Q de valeurs de v´ erit´e quelconques. ´ a. Ecrire les tables de v´erit´ e de l’implication P =) Q, de sa contrapos´ee, de son contraire. ´ b. Ecrire les tables de v´erit´ e de [Non(P ) ou Q] et de [P et Non(Q)]. Que remarque-t-on ? c. La proposition [P =) (Q =) P )] est-elle une tautologie ? 3.

– L’affirmation “je suis arriv´e a` la gare avant 10” est-elle une condition n´ecessaire (ou suffisante, n´ecessaire et suffisante) pour “je suis mont´e dans le train de 9h30” ? – Donner une condition suffisante mais non n´ecessaire pour qu’un nombre entier soit strictement sup´erieur `a 10. – Donner une condition n´ecessaire mais non suffisante pour qu’un nombre entier soit divisible par 6.

4. On consid` ere les propositions suivantes : 9 n 2 N, 8 p 2 N, p  n,

8 n 2 N, 9p 2 N, p  n,

9 x 2 R, 8 y 2 R, x + y > 0,

8 x 2 R, 9 y 2 R, x + y > 0, 8 x 2 R, 8 y 2 R, y2 > x.

9 x 2 R, 9 y 2 R, x + y > 0, 2

8 x 2 R, pour que x > 1 il faut que x2 > 1.

8 x 2 R, pour que x > 1 il suffit que x > 1,

´ a. Ecrire la n´ egation de chacune de ces propositions. b. Pour chacune de ces propositions, indiquer (en le justifiant) si la proposition consid´er´ee est vraie ou fausse. 5. D´emontrer les propositions suivantes : a. Pour tout nombre r´eel x : x3 < 7, 99 =) x < 2. b. Si n est un entier naturel dont le carr´e est pair, alors n est pair p c. 2 est irrationnel (un nombre r´eel est dit rationnel s’il est de la forme p/q avec p 2 Z et q 2 N∗ , irrationnel dans le cas contraire). 6.

a. Montrer que, pour tout entier n, si 10n + 7 est multiple de 9, alors 10n+1 + 7 l’est aussi. Que peut-on en d´ eduire ? b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 4 n + 5 est un multiple de 3.

7. D´emontrer les propositions suivantes : a. Montrer que, pour tout entier n  4, on a 2n < n!. P b. 8n 2 N, nk=0(2k + 1) = (n + 1)2 . 1

Universit´e de Rouen Normandie Math´ ematiques, Alg` ebre L1 MIM, IEEEA & PMPC Ann´ee 2019-2020

Fiche n 2. Ensembles et applications.

1. Rappeler les inclusions entre les ensembles N, Z, Q, R , C. Sont-elles strictes ? Justifier. 2. Expliciter les ensembles suivants : a. l’ensemble A des entiers naturels diviseurs de 45. b. l’ensemble B des entiers diviseurs de 45. c. l’ensemble C des entiers naturels diviseurs de 45 et de 18. d. l’ensemble D des nombres r´eels x tels que x2 > 36. e. l’ensemble B \ D. 3. Pour tout entier n 2 Z, on pose nZ = {nk, k 2 Z}. D´eterminer l’ensemble 4Z \ 6Z. 4. Soient les parties de R suivantes : A = [1, 5] et B = [2, 7]. D´eterminer : A \ B, A [ B, A\B, B\A, R \A, R \B, R\(A \ B ), R \(A [ B ). Que remarque-t-on ? 5. Soit E un ensemble et A, B , C trois parties de E . a. Montrer les propositions suivantes : CE (A \ B) = (CE A) [ (CE B) et CE (A [ B ) = (CE A) \ (CE B). b. En d´eduire : A\(B [ C) = (A\B) \ (A\C) et A\(B \ C) = (A\B) [ (A\C) ´ 6. Soient E un ensemble et A, B et C des parties de E. Etablir les ´equivalences suivantes : A \ CE B 6= ; () A 6⇢ B, A\B = A () B\A = B, A \ B = A \ C () A \ CE B = A \ CE C. 7. Soit f : R ! R, x ! x2 , et soient les parties A = [1, 2] et B = [1, 4]. D´ eterminer f (A), f −1 (B ), −1 −1 f [f (B)] et f [f (A)]. 8. Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? f0 : Z ! Z, n ! 2n;

f1 : N ! N∗ , n ! n + 1; 2

f3 : R ! R, x ! x ;

2

f4 : R ! R + , x ! x ;

f2 : Z ! Z, n ! n. f5 : C ! C, z ! z 2 .

9. On consid` ere les deux fonctions f : R ! R + et g : R + ! R dont les graphes sont repr´esent´es ci-dessous :

2

a. L’application f est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ? b. Par lecture du graphe, d´eterminer f −1 ({1}) et f ([2, 4]). c. L’application g est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ? d. Par lecture du graphe, d´eterminer g([1/2, 3/2]) et g −1 ([0, 1]). 10. Soient E et F deux ensembles, f une application de E dans F et A, B des parties de E et C et D deux parties de F . D´ emontrer les propositions suivantes : a. A ⇢ B =) f (A) ⇢ f (B),

b. C ⇢ D =) f −1 (C) ⇢ f −1 (D), c. f (A \ B) ⇢ f (A) \ f (B), d. f (A [ B) = f (A) [ f (B), e. f −1 (C [ D) = f −1 (C) [ f −1 (D) f. f −1 (C \ D) = f −1 (C) \ f −1 (D), g. f −1 (F \C) = E\f −1 (C).

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