Td Math 01 - TD probabilités et statistiques PDF

Preview

Summary

TD probabilités et statistiques...

Description

Université de Nice – Sophia Antipolis Mathématiques

Licence 3 Miage 2013–2014 TD 1

Combinatoire et Probabilités discrètes

1

Prise en main de Mathematica • Notebooks • Cellules, format de cellule • Input Cells, evaluation : Shit-Enter, Output Cells • Variables, tableaux • Fonctions • Graphiques (Plot, ListPlot) • Animations (Manipulate) • Programmation itérative • Programmation récursive

2 Histogrammes Exercice 1) Ecrire un programme qui génère une liste de nombres aléatoires (pas forcément entiers, pas forcément réels entre 0 et 1 ...). Les représenter sous forme d’histogramme. en considérant d’une part le cas du découpage en intervalles réguliers et d’autre le découpage en intervalles irréguliers, par exemple [0, 1[, [1, 2[, .., [9, 10[ ou [0, 2[, [2, 4[, [4, 5[, [5, 6[, [6, 8[, [8, 10[. On considèrera également le cas des histogrammes de valeurs et le cas des histogrammes de fréquences. On demande d’écrire le programme qui réalise les représentations graphiques

3 Combinatoire Exercice 2) Contrôle de qualité 1. Dans un lot de vingt pièces fabriquées, on en prélève simultanément quatre. Combien de prélèvements différents peut-on ainsi obtenir ? 2. On suppose alors que sur les vingt pièces, quatre sont mauvaises. Dans combien de prélèvements : 1. les quatre pièces sont bonnes ? 2. au moins une pièce est mauvaise ? 3. une et une seule est mauvaise ? 4. deux au moins sont mauvaises ?

Exercice 3) De combien de manières peut-on ranger quatre paires de chaussettes dans trois tiroirs ? Exercice 4) Une multinationale décide de lancer un dentifrice pour chien. Le nom de ce nouveau produit indispensable doit comporter trois lettres. a) Combien de noms peut-on former avec toutes les lettres de l’alphabet ? b) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles ? c) Combien de noms peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes ? Exercice 5) a) Combien de mots de 7 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C, D, E, F, G, en les utilisant toutes ? b) Combien y a-t-il de ces mots où les lettres CDE sont toujours ensemble • Dans cet ordre ? • Dans un ordre quelconque ?

4

Probabilités discrètes

Exercice 6) Grand-père a trois bérets et une casquette. Quand il descend acheter sa baguette, il saisit un couvre-chef au hasard. Sachant qu’il prend une fois sur trois une baguette moulée et que deux fois sur cinq il oublie de chausser ses souliers, calculer la probabilité de le voir remonter en charentaises, un béret sur la tête et une baguette non moulée sous le bras. Exercice 7) On lance trois dés non pipés. On note le nombre de points (1,2,3,4,5 ou 6) qui apparaît sur la face supérieure de chaque dé. Calculer la probabilité d’avoir : a) trois 3. b) deux 2 et un 1. c) un 1, un 3, un 5. d) la somme des points égale à 9. e) la somme des points égale à 10. Remarque : Ces calculs ont été effectués à l’origine par Galilée pour expliquer la différence entre d) et e). Exercice 8) Une urne contient une boule rouge, trois boules vertes et seize boules blanches. La boule rouge permet de gagner 10 euros, chaque boule verte permet de gagner 5 euros et les boules blanches ne rapportent rien. Un joueur tire simultanément cinq boules. Quelle est la probabilité pour que ce joueur gagne exactement 10 euros ? Exercice 9) Deux chasseurs aperçoivent simultanément un lapin et tirent en même temps. La probabilité que le premier tue le lapin est 4/5, celle du second est 3/4. Quelle est la probabilité que le lapin soit tué ? Exercice 10) Réfléchissez bien ! 1. On extrait treize cartes d’un jeu de 32 cartes : neuf noires et quatre rouges. On les met face contre table après les avoir mélangées. Avez-vous plus d’une chance sur deux de tirer deux noires ? 2. Pensez-vous que dans votre TD il y ait plus de 50% de chances que deux d’entre vous puissent fêter leur anniversaire le même jour ? Exercice 11) L’oracle d’Oberhausen Lors de la Coupe du Monde de football 2010, avant chacune des 7 rencontres de l’équipe allemande (3 matchs de poule, huitième, quart, demi et “petite finale”) ainsi qu’avant la finale (Espagne contre PaysBas), Paul le Poulpe avait le choix entre 2 récipients contenant sa nourriture préférée, chacun à l’effigie de

l’un des deux adversaires. Le pronostic correspondait au choix du récipient où l’animal allait se nourrir. Il se trouve que les 8 pronostics se sont avérés exacts. 1. Quelle est la probabilité d’un pronostic correct pour un match de poule ? Et pour un match avec élimination directe ? 2. En déduire la probabilité qu’avait Paul le Poulpe de “tomber juste” sur l’ensemble des rencontres Exercice 12) Le poulpe démasqué La probabilité de gagner le gros lot au Loto est notée p (environ une chance sur 19 millions). 1. Quelle est la probabilité qu’aucune des N personnes jouant au Loto pour un tirage donné ne remporte le gros lot ? 2. En déduire le nombre de joueurs nécessaires pour qu’il y ait au moins une chance sur deux que le gros lot soit remporté. 3. Combien de “poulpes” (ou autres pronostiqueurs farfelus) étaient nécessaires pour qu’avec une probabilité supérieure à 90%, l’un au moins pronostique les 8 bons résultats ? Exercice 13) Cet exercice est tiré d’un article de Benjamin Dessus et Bernard Laponche, paru le 3 juin 2011 dans le quotidien Libération et intitulé “Accident nucléaire : une certitude statistique”. Au vu des données historiques, la probabilité d’un accident majeur par an pour un réacteur nucléaire est estimée à 3 × 10−4 , obtenue en considérant les 4 accidents majeurs (1 à Tchernobyl, 3 à Fukushima) survenus sur 450 réacteurs en 31 ans. Cette estimation est sujette à débat, mais passons. 1. Il y a 58 réacteurs en France (resp. 143 en Europe). En supposant l’indépendance entre ceux-ci, en déduire la probabilité d’au moins un accident majeur dans les 30 ans à venir en France (resp. en Europe). 2. Donner un équivalent de 1 − (1 − p)nt lorsque p tend vers 0 et nt est fixé. 3. En déduire comment les auteurs en arrivent à écrire une phrase telle que : “Sur la base du constat des accidents majeurs survenus ces trente dernières années, la probabilité d’occurrence d’un accident majeur sur ces parcs serait donc de 50% pour la France et de plus de 100% pour l’Union européenne.” 4. Estimez la note que vous auriez à un contrôle de Probabilités en écrivant une telle phrase. Exercice 14) L’ivresse du gardien de nuit Un gardien de nuit a 10 clés, dont une seule marche, pour ouvrir une porte. Il emploie deux méthodes. Méthode A : à jeun, il retire du trousseau les clés déjà essayées ; méthode B : ivre, il remet la clé dans le trousseau après chaque essai. 1. Méthode A : on appelle pn la probabilité qu’il faille n essais pour ouvrir la porte. Déterminer pn . 2. Méthode B : on appelle qn la probabilité qu’il faille n essais pour ouvrir la porte. Déterminer qn . 3. Le gardien est ivre un jour sur trois. Un jour, après avoir essayé 8 clés, le gardien n’a toujours pas ouvert la porte. Quelle est la probabilité qu’il soit ivre ? Exercice 15) Pierre-feuille-ciseaux On considère ici trois dés à 6 faces un peu particuliers. Le dé A a pour faces (3, 3, 3, 3, 3, 6), le dé B (2, 2, 2, 5, 5, 5), et le dé C (1, 4, 4, 4, 4, 4). 1. Vous lancez simultanément les dés A et B. Quelle est la probabilité que A batte B ? 2. Quelle est la probabilité que B batte C ? 3. Sachant ces résultats, on vous propose de choisir entre le dé A et le dé C pour un nouveau duel. Lequel choisiriez-vous intuitivement ? Que donne le calcul des questions précédentes dans ce cas ? Exercice 16) Let’s make a deal

Vous participez à un jeu où l’on vous propose trois portes au choix. L’une des portes cache une voiture à gagner, et chacune des deux autres une chèvre. Vous choisissez une porte, mais sans l’ouvrir ! L’animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte, derrière laquelle se trouve une chèvre. Il vous donne maintenant le choix entre : vous en tenir à votre choix initial, ou changer de porte. Qu’avez-vous intérêt à faire ? Remarque : C’est un problème auquel étaient confrontés les invités du jeu télévisé Let’s make a deal de Monty Hall (animateur et producteur américain). Il a par ailleurs fait l’objet d’un débat houleux aux Etats-Unis. Exercice 17) Peer-to-Peer Un logiciel Peer-to-Peer utilise 4 serveurs S1, S2, S3, S4 de listes de fichiers partagés. S4 est le plus gros des serveurs et recense 40% des données disponibles. Les données restantes sont distribuées équitablement entre les 3 autres serveurs. Sur la masse des fichiers disponibles, un certain nombre d’entres eux sont défectueux, soit que leur contenu n’est pas conforme à la description qui en est donnée, soit qu’ils contiennent des virus. Les pourcentages de fichiers défectueux sont : 8% pour S4, 6% pour S3, 2% pour S2 et 2% pour S1. 1. On télécharge un fichier. Quelle est la probabilité que ce fichier soit défectueux ? 2. Sachant que le fichier est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne du serveur S4 ?...