Skript RTB WS 19 20 PDF

Preview

Summary

Der neueste Skript von Regelungstechnik B des WS19/20...

Description

Regelungstechnik B Zustandsraummethoden

Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Wintersemester 2019/2020

Lehrstuhl für Regelungstechnik Technische Fakultät Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

“Mankind’s history has been a struggle against a hostile environment. We finally have reached a point where we can begin to dominate our environment and cease being victims of the vagaries of nature in the form of fire, flood, famine, and pestilence. We are at a time when we wish to cease wagering our existence upon the outcome of a race among the Four Horsemen of the Apocalypse. As soon as we understand this fact, our mathematical interests necessarily shift in many areas from descriptive analysis to control theory” Quelle: R. Bellman. Some Vistas of Modern Mathematics, 1968.

Inhaltsverzeichnis

1 Dynamische Systeme

1

1.1 Das Zustandskonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Elektrisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Mechanisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Hydraulisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Systemeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1

Linearität und Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2

Begriff der Ruhelage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Linearisierung nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1

Linearisierung um eine Ruhelage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2

Linearisierung um eine Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Beschreibung und Eigenschaften linearer Systeme

23

2.1 Beschreibung im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1

Lösungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Sprung- und Impulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3

Transformation auf Diagonalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.4

Asymptotische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Ein-/Ausgangsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1

Übertragungsfunktion und Übertragungsmatrix . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2

Realisierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3

Ein-/Ausgangsstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.4

Interpretation der Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Steuerbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1

Steuerbarkeit nach Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.2

Steuerbarkeit nach Hautus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.3

Transformation auf Regelungsnormalform (Eingrößenfall) . . . . . . . . 46 i

Seite ii

Inhaltsverzeichnis

2.4 Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.1

Beobachtbarkeit nach Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.2

Beobachtbarkeit nach Hautus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.3

Transformation auf Beobachtungsnormalform (Eingrößenfall) . . . . . . 51

2.5 Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Entwurf von Zustandsreglern

53

3.1 Stationäres Vorfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Direkte Eigenwertvorgabe im Eingrößenfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Reglerentwurf in Regelungsnormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1

Ackermann-Formel (Eingrößenfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.2

Steuerbarkeitsindizes (Mehrgrößenfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.3

Regelungsnormalform (Mehrgrößenfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.4

Entkopplung und Eigenwertvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Reglerentwurf durch Ein-/Ausgangsentkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4.1

Relativer Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.2

Ein-/Ausgangsnormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.3

Entkopplung und Eigenwertvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.4

Interpretation der Nulldynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5 Optimale Regelung (LQ-Regler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.1

Einführung in die dynamische Programmierung . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.2

Riccati-Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.5.3

Algebraische Riccati-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5.4

Vergleich zwischen Eigenwertvorgabe und LQR-Entwurf . . . . . . . . 84

3.6 Behandlung von Störgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.6.1

Störgrößenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6.2

PI-Zustandsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 Beobachterentwurf

91

4.1 Trivialer Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 Vollständiger Luenberger-Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3 Separationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Behandlung von Störgrößen (Störbeobachter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.5 Reduzierter Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 19/20), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

Inhaltsverzeichnis 5 Folgeregelung

Seite iii 101

5.1 Folgeregelung für den Ausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.1

Fehlerdynamik und Regelgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.2

Folgeregelung mit Integralanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2 Zwei-Freiheitsgrade-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.1

Definition des flachen Ausgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.2

Flacher Ausgang bei linearen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.3

Flachheitsbasierte Vorsteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.4

Polynomiale Solltrajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.5

Stabilisierende Regelung um die Trajektorie . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A Zusammenhang zwischen Polen/Eigenwerten und Zeitverhalten

115

A.1 PT1 -Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.2 PT2 -Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 B Laplace-Transformation

119

B.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 B.2 Eigenschaften und Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 B.3 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B.4 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 19/20), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

1 Dynamische Systeme Der Begriff des Systems wird in vielen Bereichen der Wissenschaft und des täglichen Lebens verwendet, wobei im Detail häufig unterschiedliche Dinge darunter verstanden werden. Wenn ein System zunächst als eine Black Box betrachtet wird, so wird die Wechselwirkung mit der Umgebung durch sogenannte Eingangs- bzw. Ausgangsgrößen beschrieben (siehe Abbildung 1.1): • Eingangsgrößen u1 , u2 ; : : : ; um wirken von der Umgebung auf das System ein. Beeinflussbare Eingangsgrößen dienen in der Regelungstechnik als Stellgrößen (im Gegensatz zu nicht beeinflussbaren Störgrößen). • Ausgangsgrößen y1 , y2 ; : : : ; yp werden vom System erzeugt und beeinflussen die Umgebung. Ausgangsgrößen, die über Sensoren gemessen werden können, bezeichnet man als Messgrößen.

Eingangsgr¨oßen zum Zeitpunkt t

u1 (t)

.. .

System

um (t)

.. .

y1 (t) yp (t)

Ausgangsgr¨oßen zum Zeitpunkt t

Abbildung 1.1: Systemdarstellung mit Ein- und Ausgangsgrößen. In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns hauptsächlich mit zeitkontinuierlichen Systemen, d.h. die Ein- und Ausgangsgrößen werden als Zeitfunktionen betrachtet (siehe Abbildung 1.1). Wenn man nun ein Zeitintervall [t0 ; t1 ] betrachtet, so stellt sich die Frage, ob und in welcher Weise sich das Ausgangsverhalten in diesem Zeitraum (eindeutig) durch die Eingangsverläufe beschreiben lässt. Diese Frage führt auf die Unterscheidung zwischen statischen und dynamischen Systemen. Beispiel 1.1 In Abbildung 1.2 a) und b) sind zwei einfache elektrische Systeme mit einem Widerstand bzw. einem idealen Kondensator sowie der Eingangsgröße i(t) (Strom) und der Ausgangsgröße v (t) (Spannung) dargestellt. Im Fall a) gilt für den Widerstand R der Zusammenhang v (t) = R i(t) :

(1.1)

Die Ausgangsgröße v (t) ist zu jedem Zeitpunkt t eindeutig durch die Eingangsgröße i(t) bestimmt. Statt dessen gilt im Fall b) für die Spannung v (t) über dem Kondensator C v (t) = v0 +

1Zt i(fi ) dfi : C t0

(1.2)

Im Gegensatz zu (1.1) ist die Ausgangsgröße v (t) also abhängig von der Spannung v0 = v (t0 ) zum Startzeitpunkt t0 sowie vom Verlauf des Eingangsstroms i(fi ) für t0 ≤ fi < t . 1

Seite 2

1.1 Das Zustandskonzept

a)

v (t)

b)

i(t)

i(t)

v (t)

R

C

Abbildung 1.2: Beispiel zu statischen und dynamischen Systemen (Beispiel 1.1).

Anhand von Beispiel 1.1 lässt sich der Unterschied zwischen einem statischen und dynamischen System wie folgt beschreiben: • Statisches System: die Ausgangsgrößen y1 (t); : : : ; yp (t) zum Zeitpunkt t hängen lediglich von den momentanen Eingangsgrößen u1 (t); : : : ; um (t) ab, • Dynamisches System: die Ausgangsgrößen y1 (t ); : : : ; yp (t ) zum Zeitpunkt t hängen von der Anfangssituation und der Historie der Eingangsgrößen u1 (fi ); : : : um (fi ) für fi ≤ t ab. Man spricht in diesem Fall auch von einem kausalen dynamischen System.

1.1 Das Zustandskonzept Der oben genannte Begriff der “Anfangssituation” ist eng verknüpft mit der Definition der Zustandsgrößen eines dynamischen Systems: Definition 1.1 (Zustand) Die Größen x1 ; : : : ; xn heißen Zustandsgrößen eines dynamischen Systems, wenn sich die Ausgangsgrößen y1 (t); : : : ; yp (t) zu jedem beliebigen Zeitpunkt t ≥ t0 durch die Historie der Eingangsgrößen u1 (fi ) : : : ; um (fi ), t0 ≤ fi ≤ t und die Anfangszustände x1 (t0 ); : : : ; xn (t0 ) beschreiben lassen.

In der Vorlesung werden dynamische Systeme mit endlichem Zustand (n < ∞) betrachtet, die sich durch gewöhnliche Differenzialgleichungen in expliziter Form beschreiben lassen: x˙1 = f1 (x1 ; : : : ; xn ; u1 ; : : : ; um ; t ) ; x˙2 = f2 (x1 ; : : : ; xn ; u1 ; : : : ; um ; t ) ; .. .

x1 (t0 ) = x1;0 x2 (t0 ) = x2;0

x˙n = fn (x1 ; : : : ; xn ; u1 ; : : : ; um ; t ) ;

xn (t0 ) = xn;0

y1 = h1 (x1 ; : : : ; xn ; u1 ; : : : ; um ; t ) y2 = h2 (x1 ; : : : ; xn ; u1 ; : : : ; um ; t ) .. . yp = hp (x1 ; : : : ; xn ; u1 ; : : : ; um ; t ) wobei x˙i =

d x (t) dt i

9 > > > > =

9 > > > > = > > > > ;

Zustandsdgln. mit Anfangsbedingung (1.3)

Ausgangsgleichungen

> > > > ;

als Abkürzung der Zeitableitung verwendet wird. Es ist gebräuchlich, die

Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 19/20), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

1.2 Physikalische Beispiele

Seite 3

einzelnen Größen in Vektorform anzugeben

u=

2 3 u1 6 7 6 u2 7 6 . 7 6 . 7; 4 . 5

y

um

2 3 y1 6 7 6y2 7 7 =6 6 .. 7 ; 4.5

yp

x

2 3 x1 6 7 6 x27 7 =6 6 .. 7 : 4 .5

(1.4)

xn

Mit dem Eingang u, dem Ausgang y und dem Zustand x lassen sich auch die Differenzialgleichungen (1.3) in der kompakten Form x˙ = f (x ; u; t) mit x(t0 ) = x 0

(1.5)

y = h(x; u; t)

(1.6)

schreiben. Der Zustand x(t) zu einem beliebigen Zeitpunkt t lässt sich als Element eines ndimensionalen Vektorraumes interpretieren, weshalb man auch vom Zustandsraum spricht. Die Kurve aller Punkte x(t) in einem Zeitintervall stellt eine Trajektorie im Zustandsraum dar, siehe Abbildung 1.3. x3 x (t0 )

x (t ) x3 (t) x2 (t)

x2

x1 (t) x1

Abbildung 1.3: Veranschaulichung einer Trajektorie im Zustandsraum (x ∈ R3 ).

1.2 Physikalische Beispiele In den folgenden Abschnitten werden einige Beispiele aus verschiedenen physikalischen Bereichen betrachtet und deren mathematische Modellierung als dynamische Systeme diskutiert. Auch wenn die Modellbildung physikalischer Systeme nicht Teil dieser Vorlesung ist, so sollen die folgenden Beispiele doch vermitteln, dass eine Modellbildung über physikalische Prinzipien typischerweise auf Differenzialgleichungen führt, die nativ im Zustandsraum beschrieben werden können.

1.2.1 Elektrisches System Serienschwingkreis: Abbildung 1.4 zeigt einen Serienschwingkreis mit der Eingangsspannung u(t ) und der Ausgangsspannung y (t ). Das mathematische Modell kann unmittelbar aus der Maschenregel (Kirchhoffsche Gesetze) 0 = −u(t) + uC (t ) + uL (t ) + y (t) Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 19/20), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

(1.7)

Seite 4

1.2 Physikalische Beispiele uC (t)

uL (t)

i (t)

L C

y (t)

R

u(t) i (t)

Abbildung 1.4: Einfaches elektrisches System. und den Bauelementgleichungen C dtd uC (t) = i (t) d i(t) = uL (t) L dt R i(t) = y (t)

mit uC (0) = uC;0 mit i(0) = i0

(1.8)

für den Kondensator C, die Induktivität L und den Widerstand R hergeleitet werden. Eine geeignete Wahl für die Zustandsgrößen ist der Strom i(t) durch die Induktivität und die Spannung uC (t) am Kondensator. Damit ergibt sich die Systembeschreibung "

#

2

1

3"

" #

#

0 d uC (t) C 5 uC (t) + 0 = 4 1 1 u(t) R i(t) dt i(t) −L −L L

und die Ausgangsgleichung

h

y (t) = 0 R

i

"

(1.9)

#

uC (t) : i(t)

(1.10)

Tabelle 1.1 stellt die Lösung von (1.9) für u(t) = 0 dar, wobei R fi= 2L

und ! =

s˛ ˛1 ˛ ˛ CL

−

“

R 2L

”2 ˛˛ ˛ ˛

gilt. Offensichtlich unterscheidet sich das Schwingverhalten in Abhängigkeit der Fälle a) bis c), wie in Abbildung 1.5 für die Parameter L = C = 1, R ∈ {1; 2; 3} und die Anfangsbedingungen (uC;0 ; i0 ) = (2; 1) dargestellt ist. Fall a) √

1 R > 2L CL

Fall b) 1 R √ < 2L CL Fall c) √

1 R = 2L CL

„„

fi uC;0 + uC (t) = exp (−fi t ) ! „„ fi i (t) = − exp (−fi t) i0 + ! „„

fi uC;0 + ! „„ fi i0 + i (t) = − exp (−fi t) !

uC (t) = exp (−fi t )

„

« „„

«

«

1 i0 sin (!t ) + uC;0 cos (!t ) !C « « 1 uC;0 sin (!t ) − i0 cos (!t ) !L «

«

1 i0 sinh (!t ) + uC;0 cosh (!t ) !C « « 1 uC;0 sinh (!t ) − i0 cosh (!t ) !L «

«

2 1 2 i0 + uC;0 t + uC;0 uC (t) = exp − t C RC RC « „„ « « „ 4 2 2 i0 + 2 uC;0 t − i0 t i (t) = − exp − RC RC R C

Tabelle 1.1: Analytische Lösung der Zustandsdifferenzialgleichungen (1.9) für u(t) = 0.

Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 19/20), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

1.2 Physikalische Beispiele

Seite 5

1:5 Fall a) Fall b) Fall c)

1

t =0

i(t)

0:5 t = 10

0 −0:5 −1

t =1

−1:5 −0:5

0

0:5

1 uC (t)

1:5

2

2:5

Abbildung 1.5: Trajektorien des Serienschwingkreises. Aufgabe 1.1 Berechnen Sie zum elektrischen Kreis nach Abbildung 1.6 die Zustandsdgln. und die Ausgangsgleichung für y = i2 . Wählen Sie dazu geeignete Zustandsgrößen und verwenden Sie die Kirchhoffschen Gesetze. Lösung: Wenn i1 und uC als Zustandsgrößen gewählt werden, ergibt sich Zustandsdgln.

"

#

"

y (t) =

h

R2 −L(R1R+1 R2 ) − L(RR11+ d i1 (t) R2 ) = R1 − C(R11+R2 ) dt uC (t) C(R1 +R2 )

Ausgangsgl.

R2 R1 + R2

1 R1 + R2

i

"

u(t)

#

" #

1 i1 (t) + L u(t) uC (t) 0

#

i1 (t) uC (t) uC (t)

uL (t) i1(t)

#"

i3(t) C

L R1

R2

y (t) = i2(t)

Abbildung 1.6: Elektrischer Kreis zu Aufgabe 1.1.

1.2.2 Mechanisches System Feder-Masse-Dämpfer-System: Ein einfaches Feder-Masse-Dämpfer-System mit der Masse m und der externen Kraft F (t) ist in Abbildung 1.7 dargestellt. Für die Rückstellkraft der Feder und die Dämpferkraft gelten die Beziehungen Fc (t) = cx(t) und Fd (t) = d x(t) ˙ Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 19/20), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

(1.11)

Seite 6

1.2 Physikalische Beispiele Rotationsachse J0 x(t)

Fd (t)

m; J1

d Fc (t)

...