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Capitolo 13

SPINTA DELLE TERRE

CAPITOLO 13 SPINTA DELLE TERRE La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che, ancora oggi, nonostante l’enorme ampliamento delle conoscenze, viene affrontato utilizzando due teorie “storiche”, opportunamente modificate e integrate alla luce del principio delle tensioni efficaci: la teoria di Rankine (1857) e la teoria di Coulomb (1776). Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell’attrito fra la parete e il terreno, le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee, ed risultati che si ottengono applicando i metodi classici, specie per le condizioni di spinta passiva (resistente) sono spesso non cautelativi. È pertanto opportuno riferirsi, almeno per il calcolo della spinta passiva, al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee.

13.1 Teoria di Rankine (1857) Si consideri un generico punto A alla profondità Z in un deposito di terreno incoerente (c’ = 0), omogeneo e asciutto (o comunque sopra falda), avente peso di volume  costante con la profondità, e delimitato superiormente da una superficie piana e orizzontale (Figura 13.1). Per ragioni di simmetria lo stato tensionale (geostatico) è assialsimmetrico. La pressione interstiziale è zero (terreno asciutto), per cui le tensioni totali ed efficaci coincidono.

’v0 =  Z ’ ’h0 = K0 v0

Z

A

Figura 13.1 – Tensioni geostatiche in un deposito di terreno omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e orizzontale

Nel punto A: - la tensione verticale 'v0 è staticamente determinata dalla condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale, e vale: 'v0 = Z; - la tensione orizzontale 'h0 è eguale in tutte le direzioni, non è staticamente determinata, e vale: 'h0 = K0 'v0. Il coefficiente di spinta a riposo, K0, può essere misurato sperimentalmente o più spesso stimato con formule empiriche1. 1

Per la stima del coefficiente di spinta a riposo, K0, sono state proposte diverse equazioni empiriche, come già visto nel Capitolo 3, le più note e utilizzate delle quali sono:

13 – 1 Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale – Sezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 2011)

Capitolo 13

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Poiché di norma K0 è minore di 1, la tensione verticale 'v0 corrisponde alla tensione principale maggiore '1, mentre la tensione orizzontale 'h0 corrisponde alla tensione principale minore '3. Per simmetria assiale la tensione principale intermedia '2 è eguale alla tensione principale minore '3. Sia la tensione verticale ’v0 che la tensione orizzontale ’h0 valgono zero in superficie (Z=0) e variano linearmente con la profondità Z, rispettivamente con gradiente  e con gradiente K0 . Assumiamo che il terreno abbia resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di MohrCoulomb:

  ' tan '

(Eq. 13.1)

 ’ Cerchio O

In Figura 13.2 è rappresentato nel piano di Mohr il cerchio corrispondente allo stato tensionale geostatico nel punto A e la retta inviluppo a rottura.

Supponiamo ora di inserire, a sinistra e a destra del punto A, due pare ti verticali ideali, cioè tali da non ’ ’h0 ’v0 modificare lo stato tensionale nel terreno (Figura 13.3). Alla generica profondità z, sui due lati di ciascuna Figura 13.2 – Stato tensionale geostatico nel punto A parete, si esercita la tensione orizzontale efficace 'h0 = K0 z. La spinta orizzontale S0 (risultante delle tensioni orizzontali efficaci) presente sui due lati di ciascuna parete, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H, vale: H

S0   h' 0  dz  0

1   H 2 K 0 2

(Eq. 13.2)

La profondità Z0 della retta di applicazione di S0, vale: H

Z0 



' h0

 z  dz

0

S0



2 H 3

(Eq. 13.3)

per terreni NC:

K 0 ( NC)  1  sen'

e per terreni OC:

K0 (OC)  K 0 ( NC)  OCR 0,5

Per avere un’idea anche quantitativa dei valori di K0 si consideri che per ’=30°, applicando le equazioni sopra scritte si stima: per OCR = 1 (terreno normalmente consolidato) K0 ≈ 0,50 per OCR = 2 (terreno debolmente sovraconsolidato) K0 ≈ 0,71 per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,00 per OCR = 10 (terreno fortemente sovraconsolidato) K0 ≈ 1,58 ovvero, in un terreno NC la tensione geostatica orizzontale ’h0 è circa la metà di quella verticale, per OCR = 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale ’h0 diviene tensione principale maggiore.

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che corrisponde alla profondità del baricentro dell’area triangolare del diagramma di pressione orizzontale di altezza H e base K0  H. Supponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti (Figura 13.4). Nel punto A permangono condizioni di simmetria, per cui le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali. La tensione verticale ’v0 = Z non varia, mentre la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente.

’h0

’h0

Z0 = 2/3 H

’v0

A

’ha

H

A

S0

K0 H

K 0 H

Figura 13.3 – Spinta a riposo

Figura 13.4 – Condizione di spinta attiva

Il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in A, si modifica di conseguenza: la tensione principale maggiore ’1 = ’v0 rimane costante, mentre la tensione principale minore ’3 si riduce progressivamente dal valore iniziale ’h0 al valore minimo compatibile con l’equilibrio, ’ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura (Figura 13.5). Il raggio del cerchio di Mohr dello /4+’/2 stato di tensione limite attiva è R = ½ (’v0-’ha), ed il centro è ad  una distanza dall’origine ’ OC = ½ (’v0+’ha). Considerando il triangolo rettangolo OFC (Figura 13.5), si ha:







R

R  FC  OC  sen' 1 1   'v0  'ha   'v0  'ha sen ' 2 2



O

’ha

’ h0

C

’v0

’

Figura 13.5 – Stato tensionale attivo (limite inferiore)

 'ha  (1  sen' )   'v0  (1  sen ' ) 'ha 

Cerchio A Cerchio O

F

f

1  sen ' '   '    v0  tan 2      'v0 1  sen' 4 2

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Il rapporto:

KA 

1  sen'   '   tan 2    1  sen' 4 2

(Eq. 13.4)

è detto coefficiente di spinta attiva. Dunque si può scrivere:  'ha  K A   'vo

(Eq. 13.5)

La tensione tangenziale critica, il cui valore f è l’ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un ango  '  lo di    con la direzione orizzontale (Figura 13.5). In condizioni di rottura per rag4 2 giungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.6). ’v0 /4+’/2 /4+’/2

A

f

A

Z ’ha

’ f

Figura 13.6 – Piani di scorrimento nella condizione di spinta attiva

La spinta orizzontale SA presente sui lati interni di ciascuna parete ideale, dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 13.7), vale: H

S A    'hA  dz  0

1    H2  K A 2

’ha

A

(Eq. 13.6)

Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare, la profondità ZA della retta di applicazione di SA vale: ZA 

2  H  Z0 3

(Eq. 13.7)

Z A= 2/3 H H

SA

KA H

Figura 13.7 – Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta attiva

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Se si suppone ora di avvicinare le due pareti verticali ideali, alla destra ed alla sinistra del punto A, la tensione verticale efficace non subisce variazioni mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo compatibile con il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Figura 13.8). In tali condizioni la tensione verticale efficace, corrisponde alla tensione principale minore, ’v0 = ’3, e quella orizzontale, detta tensione limite passiva, ’hp, alla tensione principale maggiore, ’hp = ’1 (Figura 13.9).

’hp

Procedendo in modo analogo a quanto già fatto per la condizione di spinta attiva, si ottiene: 'hp 

’v0 A

1  sen ' '   '    v0  tan 2      'v0 1  sen ' 4 2

(Eq. 13.8) Il rapporto: KP 

1 sen '   '  1  tan 2     1 sen '  4 2  KA

Figura 13.8 – Condizione di spinta passiva

(Eq. 13.9) è detto coefficiente di spinta passiva. Le tensioni tangenziali critiche agiscono su piani che formano un ango 4

 lo di  

'   con la direzione oriz2

/4-’/2

’

f

F

Cerchio O

O

’ h0

Cerchio P

R

zontale (Figura 13.9). In condizioni di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite superiore (spinta passiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.10).



’

v0

C

’hp

’

Figura 13.9 – Stato tensionale passivo (limite superiore)

La spinta orizzontale SP presente sui lati interni di ciascuna parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità H (Figura 13.11), vale: H

S P    'hP  dZ  0

1    H 2  KP 2

(Eq. 13.10)

Poiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare la profondità ZP della retta di applicazione di SP, vale:

ZP 

2  H  Z0 3

(Eq. 13.11)

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I coefficienti di spinta attiva, KA, e passiva, KP, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale: KA 

 'h  v' 0

KP

(Eq. 13.12)

In particolare il valore del coefficiente di spinta a riposo, K0, è compreso tra il valore di KA e quello di KP.2 ’v0  /4 -  ’/2

 /4 -  ’/2

A



f

’hp Z ’ f

A

Figura 13.10 – Piani di scorrimento nella condizione di spinta passiva

’hp Z P= 2/3 H A

H

SP

KP H

Figura 13.11 – Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta passiva

2

Utilizzando per la stima di K0 le equazioni empiriche viste in precedenza si può constatare che i valori di K0 sono molto più prossimi al limite inferiore KA che al limite superiore KP. A titolo di esempio per ’ = 30° si stima: KA = 0,333; K0 = 0,5; KP = 3

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13.1.1 Osservazioni sperimentali sull’effetto del movimento della parete sul diagramma di pressione orizzontale

La distribuzione delle pressioni orizzontali dipende dal movimento della parete. In Figura 13.12 sono qualitativamente mostrati i diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida in funzione del movimento della parete. Inoltre, è stato sperimentalmente osservato (Tabella 13.1 e Figura 13.13) che le deformazioni di espansione necessarie per far decadere la pressione orizzontale dal valore ’h0, che corrisponde allo stato indeformato, al valore limite inferiore ’ha, sono piccole, e comunque molto inferiori alle deformazioni di compressione necessarie per far elevare la pressione orizzontale dal valore ’h0, al valore limite superiore ’hp. Pertanto è buona norma riferirsi all’angolo di resistenza al taglio di picco per il calcolo della spinta attiva, ed all’angolo di resistenza al taglio a volume costante (ovvero per grandi deformazioni) per il calcolo della spinta passiva.

Passiva

Kp

Attiva

Rotazione rispetto alla testa K a K 0

Passiva

Kp

Pressione orizzontale

Pressione orizzontale

Rotazione rispetto al piede

Passiva

Attiva

K a K0

Pressione orizzontale

Attiva

13.1.2 Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito

Se il deposito di terreno incoerente (c’ = 0), omogeneo e asciutto, avente peso di volume  costante con la profondità, è delimitato superiormente da una superficie piana, inclinata di un angolo  < ’ rispetto all’orizzontale, le tensioni principali non corrispondono più alle tensioni verticale ed orizzontali.

Kp

Traslazione uniforme

K a K0

Figura 13.12 – Diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida. Dipendenza dai movimenti della parete

Si consideri un concio di terreno di larghezza b e altezza Z, delimitato inferiormente da una superficie parallela al piano campagna e lateralmente da due superfici ideali verticali (Figura 13.14). Per ragioni di simmetria, le risultanti delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali sono due forze S, eguali ed opposte, aventi la stessa retta d’azione inclinata dell’angolo  sull’orizzontale. Consideriamo l’equilibrio del concio: - le forze S si elidono l’una con l’altra e non intervengono nelle equazioni di equilibrio; - il concio ha peso W =  Z b; la forza W è verticale; 13 – 7 Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale – Sezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 2011)

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- la base del concio ha lunghezza l = b/cos; - la risultante delle tensioni normali alla base del concio vale: N = W cos ; - la risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio vale: T = W sen; - la tensione normale alla base del concio vale: ’n =N/l = Z cos2; - la tensione tangenziale alla base del concio vale:  =T/l = Z sen cos. Tabella 13.1: Entità delle rotazioni della parete per raggiungere la rottura (con riferimento ai simboli di Figura 13.13) Terreno

Rotazione Y / H Compressione

(Stato attivo)

(Stato passivo)

Incoerente denso

0,001

0,020

Incoerente sciolto

0,004

0,060

Coesivo consistente

0,010

0,020

Coesivo molle

0,020

0,040

Nel piano di Mohr il punto Q di coordinate ’n –  rappresenta la tensione agente sul piano di base del concio, alla profondità Z inclinato dell’angolo  rispetto all’orizzontale. Il punto Q appartiene ad una retta di equazione  = ’ tan (Figura 13.15). Il segmento OQ = Z cos = ’v0 rappresenta la tensione verticale sul piano alla base del concio. Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di inviluppo a rottura di equazione  = ’ tan’ rappresentano stati di tensione alla profondità Z compatibili con l’equilibrio.

Rapporto tra pressione orizzontale e verticale, K

Decompressione

Sabbia densa

Sabbia sciolta Kp

Stato attivo

Ka

Stato passivo K0

Sabbia sciolta Sabbia compatta

Sabbia densa Rotazione del muro, Y/H

Figura 13.13 – Effetti del movimento della parete sulla pressione orizzontale esercitata da sabbia

Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passivo) alla profondità Z sono rappresentati dai cerchi A e P di Figura 13.16. I segmenti OA e OP (essendo A e P il polo dei relativi cerchi) sono rispettivamente il valore minimo, in condizioni di spinta attiva, ed il valore massimo, in condizioni di spinta passiva, della tensione, inclinata dell’angolo  sull’orizzontale, agente sulla superficie verticale alla profondità Z (il piano verticale non è principale, su di esso insistono una tensione normale ed una tensione tangenziale). 13 – 8 Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale – Sezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 2011)

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b



S S

 ’

Z

W Q



Zsencos

T

O

N

’

2

 ’ =  Z cos  n

l

Figura 13.14 – Condizione di equilibrio in Figura 13.15 – Stato di tensione sul piano alla base un semispazio omogeneo, incoerente e del concio asciutto delimitato da una superficie piana e inclinata

 ’ Cerchio P

Cerchio A

A O



P

E

Q B

’

C

Figura 13.16 – Stati di tensione limite in un deposito di terreno incoerente in pendio

Le spinte attiva, SA, e passiva, SP, sono le forze limite di equilibrio agenti su una parete verticale e inclinate dell’angolo  rispetto all’orizzontale, corrispondenti alle rispettive aree dei diagrammi di pressione. Si consideri il cerchio A:  'a  OA  OB  AB OQ    Z  cos   OB  BQ  OB  AB OB  AB  'a       Z  cos   OB  AB  OB  OC  cos  AC  EC  R  OC  sen ' BC  OC  sen AB 

AC2  BC 2 

 OC sen '2   OC sen2

 OC  sen '2  sen2

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2 2  OC  cos   OC  sen ' 2 sen  2       Z  cos    cos   1  cos ' 1  cos   'a    OC  cos   OC  sen ...