T2 Método Numérico Sánchez Medina Roger Alexander PDF

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Examen de trabajo grupal T2 del curso de métodos numéricos para ingeniería donde esta detallado paso a paso la solución de cada ejercicio....

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

ACTIVIDAD CALIFICA DA – T2 CALIFICADA TAREA I.

DATOS INFORMATIVOS:     

II.

Título o tema Tipo de participación Plazo de entrega Medio de presentación Calificación

: Métodos numéricos para ingeniería : Grupal (4 integrantes) : Séptima semana de clase (Semana 07) : Aula virtual / menú principal / T2 : 0 a 20 – 15% del promedio final

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE: De acuerdo a lo revisado en los módulos deberán desarrollar los ejercicios planteados y responder a las preguntas indicadas aplicando los conocimientos adquiridos.  El desarrollo del ejercicio es claro, coherente, bien organizado, fácil de comprender y cuidan la simbología.  La respuesta de la pregunta tiene sustento con el enunciado del ejercicio.

III.

INDICACIONES Para el desarrollo de los ejercicios debe considerar: 1. El contenido de los módulos 4, 5 y 6 revisados en la unidad. 2. Condiciones para el envío:  El documento debe ser presentado en archivo de Ms. Word (.doc).  Grabe el archivo con el siguiente formato: T2_(nombre del curso)_Apellidos y nombres completos Ejemplo: T2_Método_Numérico_Ing_Castillo Pérez Sofía 3. Asegúrese de enviar el archivo correcto y cumplir con las condiciones de envío, de lo contrario, no habrá opción a reclamos posteriores. NOTA: Si el/la estudiante comete cualquier tipo de plagio su puntuación automática será cero (0).

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

IV.

RÚBRICA DE EVALUACIÓN: La asignación del puntaje máximo a cada criterio es aplicable si este se cumple a nivel satisfactorio. El docente del curso determina el puntaje de cada ejercicio de acuerdo a su juicio de experto.

ESCALA DE CALIFICACIÓN

CRITERIOS Excelente

Bueno

Por mejorar

Deficiente

Uso del método de diferencia centrada para aproximar la derivada y ' en el punto indicado y con tamaño de paso especificado

Determina correctamente los datos, realiza en forma ordenada y secuencial su algoritmo y, finalmente, realiza una correcta implementación , arrojando la solución correcta

Determina correctamente los datos, realiza en forma ordenada y secuencial su algoritmo, pero realiza una incorrecta implementación, arrojando resultados incorrectos.

Determina correctamente los datos, realiza en forma ordenada y secuencial su algoritmo, pero no realiza la implementación

Determina correctamente los datos, pero realiza a medias su algoritmo y no realiza la implementación .

Ejercicio 1

10 puntos

8 puntos

6 puntos

3 puntos

Uso del método del Trapecio compuesto y Simpson compuesto 1/3 para estimar el valor del integral

Determina correctamente los datos, realiza en forma ordenada y secuencial su algoritmo y, finalmente, realiza una correcta implementación , arrojando la solución correcta

Determina correctamente los datos, realiza en forma ordenada y secuencial su algoritmo, pero realiza una incorrecta implementación, arrojando resultados incorrectos.

Determina correctamente los datos, realiza en forma ordenada y secuencial su algoritmo, pero no realiza la implementación

Determina correctamente los datos, realiza a medias su algoritmo, pero no realiza la implementación .

10 puntos

8 puntos

6 puntos

3 puntos

Ejercicio 2

Punto s

CALIFICACIÓN DE LA TAREA

V.

EJERCICIO 1:

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

Utilice diferencia centrada para aproximar la derivada

y'

en el punto indicado y con tamaño de

paso especificado. 3

y = x +4 x −15

x=0 ,

en

h=0.25

 Desarrollo:

DIFERENCIA CENTRADA: SOLUCIÓN FORMULA:

Datos: y = x 3 +4 x −15 x=0 h=0.25 Reemplazando valores: ƒ'(y)=

ƒ ( x +h ) −ƒ(x−h) 2h

ƒ'(y)=

ƒ ( 0+ 0.25)−ƒ(0−0.25) 2(0.25) Desarrollando:

ƒ(0)= 03 +4 (0 )−15 = -15 ƒ(0.25)= 0.253+4 (0.25 )−15 = -13.984375 3 ƒ(0.25)= (− 0.25 ) +4 (−0.25 )−15 = -16.015625 Ahora: ƒ ( 0+0.25)−ƒ(0−0.25) 2(0.25)

ƒ(0)=

=

−13.984375−(−16.015625) 2(0.25)

= 4.0625

Derivación exacta: 3

y = x +4 x −15

y ' =3 x 2+4 ƒ(y)= 3 x2 + 4

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

ƒ’(0)= 3(0)2 +4 ƒ’(0)= 4 Error: Error = 4.0625 - 4 = 0.0625 En GNU Octave:

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VI.

EJERCICIO 2

Utilice Trapecio compuesto y Simpson compuesto 1/3 para estimar el valor del integral 0

∫ √1+ x 2 dx −1

; n= 4 ; y estime el error

|En|

.

TRAPECIO COMPUESTO: 0

∫ √1+ x 2 dx

; n= 4

−1

SOLUCIÓN FORMULAS:

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA



Como:

√ 1+ x 2

a= -1, b=0 y ƒ(x)= ∆x=

0−(−1) =0.25 4

X 1 = -1; 

X 2 = -0.75;

X 3 = -0.50; X 4 = -0.25;

Remplazando valores en la función: ƒ(x)=

X1 =

√ 1+(−1)2

X2 =

√ 1+(−0.75)2

=1.25

X3 =

√ 1+(−0.50)2

= 1.118

X4 =

√ 1+(−0.25)2

= 1.0308

X5 =

√ 1+(0)2



X5 = 0

√ 1+x 2

= 1.4142

=1

Por regla de trapecios:

(1.4142+2( 1.25+1.118 +1.0308 ) +1) 0 = 1.15147 0.25 ∫ √ 1+ x 2 dx ≈ 2 ¿ −1

Estimación del error:



Comenzando con ƒ(x)= 2

x +1 ¿ ¿ ƒ’(x)= x ¿ 

1 2

2

y

√ 1+x 2

x +1 ¿ ¿ ƒ’’(x)= 1 ¿

, calculamos las derivadas:

3 2

x El máximo valor de ƒ ’ ’¿ ¿| en -1 ≤ x ≤ 0 es ¿

0 ƒ ’ ’¿ ¿| = 1 ¿

por lo tanto tenemos: M= 1; a=-1; b=0 y n=4

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA



Remplazando:

0−(−1)¿ ¿ 2 4¿ 12¿ 1¿ ǀ E 4 ǀ≤ ¿

3

= 0.0052083

RESPUESTA: Esto muestra que el error de la aproximación del ejercicio por el método del Trapecio compuesto no es mayor a 0.0052083. En GNU Octave:

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

SIMPSON COMPUESTO 1/3: 0

∫ √1+ x 2 dx

; n= 4

−1

SOLUCIÓN FORMULAS:



Como:

a= -1, b=0 y ƒ(x)= ∆x=

0−(−1) =0.25 4

X 1 = -1;



√1+ x 2

X 2 = -0.75;

X 3 = -0.50; X 4 = -0.25;

Remplazando valores en la función: ƒ(x)=

X1 =

√1+(−1)2

X2 =

√1+(−0.75 )2

X5 = 0

√ 1+ x 2

= 1.4142 =1.25

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

X3 =

√1+(−0.50 )2

= 1.118

X4 =

√1+(−0.25 )2

= 1.0308

X5 =

√1+(0)2

=1

Por regla de Simpson:

 0

(1.4142 + 4 ( 1.25 + 1.0308 )+2 ( 1.118 )+1) ∫ √1+x 2 dx ≈ 0.25 3

= 1.14778

−1

Estimación del error:

Comenzando con ƒ(x)=



√ 1+ x 2

, calculamos las derivadas:

1

3

5

x +1 ¿ 2 ¿ ƒ’(x)= x ¿

x +1 ¿ 2 ¿ ƒ’’(x)= 1 ¿

x +1 ¿ 2 ¿ (x)= −3 x ¿

2

2

;

2

;

ƒ

3

; ƒ4

(x)=

7 2

x +1 ¿2 ¿ −−12 x 2 +3 ¿ 

Reemplazando: −1 ¿ ¿ ¿ 2+ 3 4 ¿ ƒ (-1)= 2

7 2

= 0.79549512

(−1 ) +1 ¿ −12 ¿ −¿

7

ƒ



4

(0)2 +1¿ 2 ¿ (0)= −−12(0 )2+ 3 ¿

= -3

x El máximo valor de ƒ4 ¿ ¿| ¿

en -1 ≤ x ≤ 0 es

1 ƒ ¿ ¿| = 0.79549512 ¿ 4

por lo tanto tenemos: M= 0.79549512; a=-1; b=0 y n=4

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA



Remplazando: 5

0−(−1)¿ ¿ 4 ¿4 = 0.00001726 180 ¿ 0.79549512¿ ǀ E 4 ǀ≤ ¿ RESPUESTA: Esto muestra que el error de la aproximación del ejercicio por el método del Simpson compuesto 1/3 no es mayor a 0.00001726. En GNU Octave:

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