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Tablas de Probabilidades Ernesto Barrios Zamudio ´ Garc´ıa P´erez Jos´e Angel Jos´e Matuk Villaz´on Departamento Acad´emico de Estad´ıstica Instituto Tecnol´ ogico Aut´ onomo de M´ exico Mayo 2016 Versi´on 1.00

1

Barrios et al.

Tablas de Probabilidades

2

Notas La idea de elaborar unas tablas de probabilidades surgi´o del af´an de uniformar las tablas empleadas dentro de un mismo curso y entre distintos cursos. Para esto se construyeron las tablas de los cursos Estad´ıstica I, Estad´ıstica II e Inferencia Estad´ıstica, con el mismo contenido de las empleadas oficialmente. Se incluyeron los mismos formularios y distribuciones de probabilidad. Con las primeras versiones de las tablas nos dimos cuenta de las ventajas de contar con el correspondiente documento electr´onico. Se puede extraer exclusivamente el material de inter´es e incluirlo en otro documento. As´ı pues, en este traba jo hemos compilado los formularios y las tablas de probabilidades utilizadas en los cursos mencionados y algunas distribuciones m´as para apoyo de cursos optativos. El c´alculo de las probabilidades y las gr´ aficas fueron generadas utilizando el lengua je estad´ıstico R. Para algunas distribuciones se programaron los correspondientes algoritmos que en un caso implic´ o incluso la liga de R con fortran. El documento fue preparado con LATEX y el uso del paquete-R xtable. Si tiene alg´ un comentario agradeceremos que nos lo haga llegar a: ebarrios at itam.mx. Copia electr´ onica de este documento y sus actualizaciones las encontrar´ a en http://allman.rhon.itam.mx/˜ebarrios/TablasProbabilidad

Barrios et al.

Tablas de Probabilidades

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´Indice I

Formularios

5

1. Estad´ıstica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. An´ alisis exploratorio de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Algunas distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 9

2. Estad´ıstica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Algunas distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Estimaci´ on puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Algunos estad´ısticos y su distribuci´ on de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Pruebas no param´ etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 11 12 13

3. Probabilidad, Inferencia Estad´ıstica y Econometr´ıa 3.1. Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . 3.3. Distribuciones bivariadas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Distribuci´ on normal bivariada . . . . . . . . . . . . . .

II

. . . .

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Tablas de Probabilidades

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. . 15 . 15 . 16 . 17 . 18

19

4. Distribuci´ on Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5. Distribuci´ on Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6. Distribuci´ on Normal Est´ andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7. Distribuci´ on χ2 Ji-Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 8. Distribuci´ on t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 9. Distribuci´ on F

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.Distribuci´ on del estad´ıstico d de Durbin-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 11.Distribuci´ on del estad´ıstico U de Corridas (Wald-Wolfowitz) 12.Distribuci´ on del estad´ıstico ρs de Spearman

. . . . . . . . . . . . . . . 51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

13.Distribuci´ on del estad´ıstico U de Mann-Whitney

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

14.Distribuci´ on del estad´ıstico D de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 15.Distribuci´ on del estad´ıstico W + de Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 16.1050 N´ umeros Seudoaleatorios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Barrios et al.

Tablas de Probabilidades

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Barrios et al.

Parte I

Formularios

Tablas de Probabilidades

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Barrios et al.

Tablas de Probabilidades

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Barrios et al.

1.

Tablas de Probabilidades

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Estad´ıstica I

1.1.

An´ alisis exploratorio de datos

• Datos no agrupados

Medida descriptiva

Poblaci´ on

Media

µ=

Muestra

N 1 X xi N

x¯ =

n 1X xi n i=1

i=1

Mediana∗

ℓ(md ) = 0.5N + 0.5

ℓ(˜ x) = 0.5n + 0.5

Cuartil inferior∗

ℓ(Q1 ) = 0.25N + 0.5

ℓ(q1 ) = 0.25n + 0.5

Cuartil superior∗

ℓ(Q3 ) = 0.75N + 0.5

ℓ(q3 ) = 0.75n + 0.5

Amplitud intercuart´ılica

A.I. = Q3 − Q1

a.i. = q3 − q1

Desviaci´ on media a mediana

D.M. =

N 1X |xi − md | N

d.m. =

i=1

σ2 = Varianza

1 N

N X i=1

(xi − µx )2

N 1 X 2 = xi − N µ2 N i=1

Coeficiente de variaci´on

C.V. =

σ µ

n 1 X |xi − x˜| n−1 i=1

n X

1 (xi − x¯)2 n − 1 i=1 ! n X 1 x2 = xi2 − n¯ n − 1 i=1 s2 =

c.v. =

s x¯

n N 1 X 1 X (xi − µX )(yi − µY ) sxy = (xi − x¯)(yi − y¯) N n − 1 i=1 i=1 ! n N X 1 1 X xi yi − n¯ xy¯ xi yi − µY µY = = N n − 1 i=1 i=1

σ xy = Covarianza

Coeficiente de correlaci´ on

xi : N: n: ℓ(q): md : x˜: ∗

ρ=

σ xy σx σy

r=

sxy sx sy

i-´esima observaci´ on de la variable X . n´ umero de elementos en la poblaci´ on. n´ umero de observaciones en la muestra. posici´ on o ´ındice de q, redondeado. mediana poblacional. mediana muestral. Determinadas por la l-´esima observaci´ on de la poblaci´ on o muestra ordenada.

Barrios et al.

Tablas de Probabilidades

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• Datos agrupados

Medida descriptiva

Poblaci´ on

Media

µ=

Muestra

k 1 X f i mi N

k 1X f i mi n

x¯ =

i=1

i=1

Mediana

0.5 − C (B − A) D

md = A +

D.M. =

Desviaci´ on media a mediana

σ2 =

x˜ = A +

k k 1 X 1X fi |mi − md | d.m. = fi |mi − x˜| N i=1 n − 1 i=1

k 1 X fi (mi − µ)2 N

k

s2 =

i=1

Varianza

k 1 X = fi m2i − N 2 µ2 N

1.2.

1 X fi (mi − x¯)2 n − 1 i=1

k 1 X fi mi2 − n2 x¯2 n − 1 i=1

=

i=1

fi : k: mi : A: B: C: D:

0.5 − C (B − A) D

frecuencia absoluta de la i-´ esima clase. n´ umero de clases en la distribuci´ on de frecuencias. marca de la i-´ esima clase. frontera inferior del intervalo de clase que contiene a la mediana. frontera superior del intervalo de clase que contiene a la mediana. frecuencia relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene a la mediana. frecuencia relativa de la clase que contiene a la mediana.

Variables aleatorias

• Esperanza, varianza y covarianza Discretas X

µ = E(X)

Continuas Z

xP (X = x)

X

σ 2 = var(X)

x∈R X

σ XY = Cov(X, Y )

Z

(x − µ)2 P (X = x)

X X

RX

Z

xyP (X = x, Y = y)

RX

x∈R X y∈R Y

−

X

x∈R X

xP (X = x)

xfX (x)dx

RX

x∈R X

X

y∈R Y

yP (Y = y) −

Z

RX

(x − µ)2 fX (x)dx

Z

xyf (x, y)dydx

RY

xfX (x)dx

Z

RY

yfY (y)dy

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• Propiedades E(aX + b) =

aE(X) + b h i 2 var(X) = E (X − E(X )) =

var (aX + bY )

=

Cov(X, Y ) =

E(X 2 ) − E(X)2 2

Cov(aX + b, cY + d)

2

a var(X) + b var(Y )

=

E(XY ) − E(X )E(Y )

=

acCov(X, Y )

ρ = Corr(X, Y ) =

+ 2abCov(X, Y )

1.3.

E [(X − E(X))(Y − E(Y ))]

σX Y σX σY

Algunas distribuciones de probabilidad

E(X)

var(X )

K 1 X xi K i=1

K 1 X (xi − E (X))2 K i=1

p

p(1 − p)

np

np(1 − p)

λx e−λ x!

λ

λ

Distribuci´ on

Notaci´ on

Soporte R X

Funci´ on de probabilidad

Uniforme discreta

Unif{x1 , . . . , xK }

x ∈ {x1 , . . . , xK }

1 K

Bernoulli

Be(p)

x ∈ {0, 1}

Binomial

Bin(n, p)

x ∈ {0, 1, . . . , n}

Poisson

Po(λ)

x ∈ {0, 1, 2, . . .}

px (1 − p)1−x ! n x p (1 − p)n−x x

Uniforme continua

Unif(a, b)

a≤x≤b

1 b−a

a+b 2

(b − a)2 12

Normal

N(µ, σ 2 )

−∞ < x < ∞

   1 x − µ 2 1 √ exp − σ 2 σ 2π

µ

σ2

Exponencial

Exp(θ)

0≤x...