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TALLER DE PROBABILIDAD Vanesa Arboleda Sánchez Melissa Vásquez Aristizabal 10 de octubre de 2020

1) Se lanza un par de dados. Calcule la probabilidad de obtener: a) un total de 8

A=

{

( 2,6) ( 3,5 ) ( 4,4) ( 5,3 ) (6,2)

P ( A )=

}

5 ≈ 0.138 36

b) máximo un total de 5.

{

}

B= ( 1,4)( 2,3 ) (3,2 ) (4,1) 1 P ( B )= ≈ 0.111 9

2) Dos eventos A y B son tales que P(A) = 0,20, P(B) = 0,30 y P (A ∪ B) = 0,45. Encuentre lo siguiente: a) P (A ∩ B)

P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P (B ) −P ( A ∩ B ) P ( A ∩ B ) =P ( A )+ P ( B )−P ( A ∪ B ) P ( A ∩ B ) =0.20+0.30−0.45

P ( A ∩ B)=

1 ≈ 0.05 20

b) P (A´ ∪ B)

P ( A ´ ∪ B )=P ( A ´) + P ( B ) −P ( A ´ ∩ B ) P ( A )=1−P (A ´ ) 4 P ( A ´ ) = ≈ 0.8 5 P ( A ´ ∩ B )=P ( B )− P ( A ∩ B) P ( A ´ ∩ B )=0.30−0.05

1 ≈ 0.25 A P ( A ´ ∪ B )=0.8+ 0.30−0.25 17 P ( A ´ ∪ B )= ≈ 0.85 20 P ( A ´ ∩ B )=

c) P (A ∩ B´)

P ( A ∩ B ´ )=P ( A ) −P ( A ∩ B ) P ( A ∩ B ) =0.20−0.05 3 P ( A ´ ∪ B )= ≈ 0.15 20 d) P (A´|B)

P (A ´ ∩ B ) P ( B )−P( A ∩ B) = P(B) P(B) 0.25 P ( A ´ ∨ B )= 0.30 5 P ( A ´ ∨ B )= ≈ 0.83 6 P ( A ´ ∨ B )=

3) En un grupo de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 estudiaron historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que: EVENTOS: A= Estudiaron matemáticas B=Estudiaron historia

P ( A )=

54 =0.54 100

P ( B )=

69 =0.69 100

P ( A ∩ B)=

35 =0.35 100

a) el estudiante haya cursado matemáticas o historia

P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P (B ) −P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) =0.54 +0.69−0.35 P ( A ∪ B ) =0.88 b) el estudiante no haya llevado ninguna de estas materias

P ( A ´ ∩ B ´ ) =1−[ P ( A )+ P (B )−P ( A ∩ B )]

P ( A ´ ∩ B ´ ) =1−0.88 P ( A ´ ∩ B ´ ) =0.12 c) el estudiante haya cursado historia, pero no matemáticas

P ( B ∩ A ´ )=P ( B )− P ( A ∩ B) P ( B ∩ A ´ )=0.69−0.35 P ( B ∩ A ´)=0.34 4) Considere los dígitos 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 a) Cuántos números de tres cifras se pueden construir si ninguno se puede repetir N=10

nPr=

r=3

n! (n−r) !

10 P 3=

10 ! (10 −3 ) !

10 P 3=720 b) Cuántos números de tres cifras son mayores a 652 si ninguno se puede repetir 6

5

3-9

1∗1∗7=7 c) Cuántos números de tres cifras se pueden construir si los dígitos pueden repetirse N=10 r=3

n! r !( n−r )! 10 ! 10 C 3= 3 ! ( 10−3 )! nCr=

10 C 3=120 5) Si dos eventos, A y B, son tales que P(A) = 0,50, P(B) = 0,30 y P(A∩B) = 0,10, encuentre lo siguiente: a) P(A|B)

P (A ∩ B ) P(B) 0.10 P ( A∨B )= 0.30 1 P ( A∨B )= ≈ 0.33 3 P ( A∨B )=

b) P(B|A)

P (A ∩ B ) P( A) 0.10 P ( B∨A )= 0.50 1 P ( B∨A )= ≈ 0.2 5 P ( B∨A )=

c) P (A´ |A ∪ B)

A ´ ∩ ( A ∪ B) ¿ P¿ P ( A ´ |A ∪ B )=¿ P ( A ∪ B ) =P ( A ) + P (B ) −P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) =0.50+ 0.30−0.10 P ( A ∪ B ) =0.70 [ Se denomina a P ( A ∪ B ) como P ( D ) ]

P ( A )=1−P (A ´ ) P ( A ´ ) =0.50 P ( A ´ ∩ B )=P ( B )− P ( A ∩ B) P ( A ´ ∩ B )=0.30−0.10 P ( A ´ ∩ B )=0.20 P( A ´ ∩ B ) 0.20 = P ( A ∪ B ) 0.10 P ( A ´ |A ∪ B )=2 6) Un fabricante de automóviles está preocupado por el posible retiro de su sedán de cuatro puertas con mayor venta. Si fuera retirado habría 0.25 de probabilidad de que haya un defecto en el sistema de frenos, 0.18 de que haya un defecto en la transmisión, 0.17 de que esté en el sistema de combustible y 0.40 de que esté en alguna otra área A= Defecto en frenos B= Defecto en transmisión C=Defecto en combustible D=Defecto en otra área

P ( A )=0.25

P ( B )=0.18 P ( C )=0.17 P ( D )=0.40

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el defecto esté en los frenos o en el sistema de combustible, si la probabilidad de que haya defectos en ambos sistemas de manera simultánea es 0.15?

P ( A ∩ C ) =0.15 P ( A ∪ C )=P ( A ) +P (C ) −P( A ∩ C ) P ( A ∪ C )=0.25+0.17−0.15 P ( A ∪ C )=0.27 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defecto en los frenos o en el sistema de combustible?

P ( A ´ ∪ C ´ ) =1−P( A ∪ C) P ( A ´ ∪ C ´) =1−0.27 P ( A ´ ∪ C ´) =0.73 7) La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad específica es 0.7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente entable una demanda legal es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande? A= Diagnostico correcto B=Diagnostico incorrecto

P ( A )=0.7 P ( B )=0.3 P ( C∨B) =0.9 P (B ∩ C ∨ B ) =P ( B )∗P ( C∨B ) P ( B ∩ C ∨ B) =0.3∗0.9 P ( B ∩ C ∨ B) =0.27 8) Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pintura de látex y semiesmaltada. De acuerdo con las ventas a largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre pintura de látex es 0.75. De los que compran pintura de látex, 60 % también compra rodillos. Sin embargo, sólo 30 % de los que compran pintura semiesmaltada compra rodillos. Un comprador que se selecciona al azar adquiere un rodillo y una lata de pintura. ¿Cuál es la probabilidad de que sea pintura de látex?

A= Compra látex B=Compra semiesmaltada

P ( A )=0.75 P ( B )=0.25 P ( C∨ A )=0.6 P ( B∨C ) =0.3

P ( A∨C )=

P(A )∗P(C∨ A ) ∗P ( ) ( C|A )+ P (B)∗P (B∨C) P A

P ( A∨C )=

0.75∗0.6 ( 0.75∗0.60) +(0.25∗0.3)

6 P ( A∨C )= ≈ 0.86 7

9) De los artículos producidos diariamente por una fábrica, 40 % provienen de la línea I y 60 % de la línea II. La línea I tiene un porcentaje de 8 % de piezas defectuosas en tanto que la II tiene un porcentaje de 10 %. Si se escoge al azar una pieza de la producción diaria, encuentre la probabilidad de que no esté defectuosa. A=Producto línea I B=Producto línea II

P ( A )=0.40 P ( B )=0.60 P ( C∨ A )=0.08 P ( C∨B) =0.10

DEFECTUOSO(C)

0.08

LÍNEA I

0.40

NO DEFECTUOSO(C´)

0.92

PRODUCTO DEFECTUOSO (C) 0.60

0.10

LÍNEA II NO DEFECTUOSO(C´)

P ( C ´ ) =P( A ) ∗P( C ´| A) +P(B)∗P(C ´∨ A ) P ( C ´ ) =( O .40∗0.92 )+ ( 0.60∗0.90 ) P ( C ´ ) =0.908 10) Se observa que hombres y mujeres reaccionan de modo diferente a un conjunto determinado de circunstancias; se sabe que 70 % de las mujeres reaccionan positivamente a estas circunstancias mientras que de este mismo modo reaccionan sólo 40 % de los hombres. Un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres se sometió a estas circunstancias y a los sujetos se les pidió describieran sus reacciones en un cuestionario escrito. Una respuesta escogida al azar de las 20 fue negativa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido de un hombre? A=Ser mujer B=Ser hombre

P ( A )=0.75 P ( B )=0.25 P ( C∨ A )=0.70

P (C ´∨ A )=0.30

P ( C∨B) =0.40

P (C ´∨ B ) =0.60

0.90

0.75

POSITIVA(C)

0.70

NEGATIVA(C´)

0.30

POSITIVA (C)

0.40

NEGATIVA(C´)

0.60

MUJER

REACCIÓN 0.25

HOMBRE

P ( N )= P ( A )∗ P (C ´|A )+ P(B)∗P(C ´ ∨ A ) P ( N )= ( O .75∗0.30 ) + ( 0.25∗0.60 ) 3 P ( N )= ≈ 0.375 8 P ( N ∨C ´ )=

P ( B ) ∗P(C ´∨B) P(N )

P ( N ∨C ´ )=

0.25∗0.60 0.375

2 P ( N ∨C ´ )= ≈ 0.40 5

11) La probabilidad de que un estudiante conozca la respuesta a una pregunta de opción múltiple es 0.5. Si no conoce la respuesta, puede elegir una de 4 opciones, de las cuales solo una es la correcta. Si un estudiante responde correctamente la pregunta, ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sepa la respuesta a la pregunta?

CONOCE RESPUESTA

1

0.25

CORRECTA(C)

CORRECTA (C)

0.5

ADIVINA 0.75

INCORRECTA(C´)

A=Conoce la respuesta B=Adivina la respuesta

P ( A )=0.5 P ( B )=0.5 P ( C∨ A )=1 P ( C∨B) =0.25

P ( C ´∨ B) =0.75

P ( D )= P ( A )∗ P (C| A )+P(B)∗P(C∨ A ) P ( D )= ( O .5∗1 )+ ( 0.5∗0.25) 5 P ( D )= ≈ 0.625 8 P ( D ∨A ) =

P ( A )∗P (C∨A ) P(D)

P ( N ∨C ´ )=

0.5∗1 0.625

4 P ( N ∨C ´ )= ≈ 0.8 5 12) Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad es dada por:

X P(X=x)

0 0.03

1 0.45

2 0.27

3 0.15

4 0.1

Encuentre el valor esperado de X

E ( x ) =∑ X ∗ P (X =x) x

E ( x ) = (0∗0.03 ) +( 1∗0.45 )+ (2∗0.27 ) +( 3∗0.15 ) + ( 4∗0.1 ) E ( x ) =1.84 13) Suponga que un lote de 5000 fusibles eléctricos contiene 5 % de piezas defectuosas. Si se prueba una muestra de 10 fusibles, encuentre la probabilidad n=10

S=Fusible defectuoso

P=0.05 q=1− p

q=0.95

x(fusibles de muestra)=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

( )

0 10 − 0 P ( 0 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95) 0

P ( 0 )=0.598

( )

P ( 1 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95 ) 1 1

10 −1

P ( 1 )=0.315

( )

10 −2 P ( 2 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95 ) 2 2

P ( 2 )=0.075

( )

3 10 −3 P ( 3 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95 ) 3

P ( 3 )=0.0105

( )

P ( 4 ) = 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95)10 −4 4 P ( 4 ) =9.65 x 10

( )

4

−4

5 10 − 5 P ( 5 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95 ) 5

−5

P ( 5 )=6.093 x 10

( )

6 P ( 6 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95)10 −6 6

P(6)=2.67 x 10−6

( )

7 10 −7 P ( 7 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95) 7 −8

P ( 7 )=8.038 x 10

( )

8 10 − 8 P ( 8 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95) 8 −9

P ( 8 )=1.59 x 10

( )

9 10 −9 P ( 9 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95) 9 −11

P ( 1 )=1.85 x 10

( )

10 10−10 P ( 10) = 10 ∗( 0.05 ) ∗(0.95 ) 10 −14

P ( 10) =9.76 x 10

a) de hallar al menos uno defectuoso

P ( x ≥1 ) =1−P(0) P ( x ≥1 ) =1−0.598 P ( x ≥1 ) =0.401 b) de hallar exactamente 2 defectuosos

( )

P ( 2 )= 10 ∗( 0.05 ) ∗( 0.95 ) 2 P ( 2 )=0.075 2

10 −2

c) de que en la muestra se encuentre entre 2 y 5 defectuosos.

P ( 2 ≤ x ≤ 5) =P ( x=2 ) +P ( x=3 )+ P ( x=4 ) +P(x=5) −4 −5 P ( 2 ≤ x ≤ 5) =0.075+0.0105+9.65 x 10 +6.093 x 10 P ( 2 ≤ x ≤ 5) =0.0865 d) de que en la muestra se presenten más de 3 artículos no defectuosos.

P ( x >3 )=1−[ P ( 0)+ P ( 1 ) + P ( 2)+ P ( 3 )] P ( x >3 )=1−[ 0.598+ 0.315+0.075+0.0105 ]

−3

P ( x >3 )=1.5 x 10

14) Una concentración particular de un producto químico detectado en agua contaminada se encuentra que es letal para 20 % de los peces que queden expuestos a la concentración durante 24 horas. Veinte peces se colocan en un tanque que contiene esta concentración del producto químico en agua. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,011529215 0,057646075 0,136909429 0,205364143 0,218199402 0,174559522 0,109099701 0,05454985 0,022160877 0,007386959 0,002031414 0,000461685 8,65659E-05 1,33178E-05 1,66473E-06 1,66473E-07 1,30057E-08 7,65041E-10 3,18767E-11 8,38861E-13 1,04858E-14 a) Encuentre la probabilidad de que exactamente 14 sobrevivan.

( )

14 20− 14 P ( 14) = 20 ∗( 0.20 ) ∗(0.80 ) 14

P ( 14) =1.664 x 10−6 b) Encuentre la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan.

P ( x ≥10 )=1−P( x ≤10) 0.0115 + 0.058 + 0.137 + 0.205 + 0.218 + 0.174 + 0.109 + 0.054 + 0.022 +0.0074 + 0.002 P ( x ≥ 10) =1−¿ P ( x ≥10 )=0.00056

]

c) Encuentre la probabilidad de que a lo sumo 16 sobrevivan.

P ( x ≤16 )=1−P (x ≤ 16) 0.0115 + 0.058 + 0.137 + 0.205 + 0.218 + 0.174 + 0.109 + 0.054 + 0.022 +0.0074 + 0.002 + 0.00046 +8.65 x 10−5 + P ( x ≤16 )=1−¿ ]

P ( x ≤16 )=0 d) Encuentre la media y la varianza del número que sobrevive.

f i∗xi n i=1 n

´x =∑

´x =0.04761905 ( x i− x´ )2 n−1 i=1 n

S =∑ 2

2

S =0.0055133...