Tarea 2 deducción Ergun PDF

Preview

Summary

NO REQUERIDO...

Description

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

Tarea No.2: “Deducciones y resolución de Ecuación Ergun”

Materia: Ingeniería de Reactores I Alumno: Carlos Enrique Tena Ordaz Catedrático: Dr. Jose Salmones Blasquez

Ciudad de México a 22 de marzo del 2021

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz Dentro del presente trabajo, se aborda lo siguiente:

    

Demostrar la ecuación de Ergun mediante la metodología de Bird Demostrar de la ecuacion 4.21 a la ecuación 4.34 Plantear solución numérica para la Ecuación de Ergun Demostrar la ecuación E4-6.10 Demostrar la ecuación 4-37



ECUACIÓN DE ERGUN

La ecuación de Ergun proviene de juntas las ecuaciones de Blake- Kozeny (flujo laminar) y BurkePlummer. Primero. Definimos el factor de fricción para el lecho de relleno:

P 0−PL L ∙4f = 1 2 Dp ρv 2 0 P 0−PL L 2 1 = ∙ 4 f ∙ v0 ∙ Dp ρ 2 2

∆ P L ∙ v0 ∙ 2 f = Dp ρ Para definir la ecuación de Blake-Kozeny, requerimos definir la velocidad media.

2π R

∫ ∫ V z rdrdθ ¿ V z> ¿

0 0 2π R

P 2 (¿ ¿ 0−PL ) R 8 μL ¿

→

∫ ∫ rdrdθ 0

0

(1)

Como son tubos que no son circulares debido al relleno, tomamos la consideración de utilizar un “radio hidráulico medio” ( Rn ¿

D=4 Rh

(2)

D=Diametro de tubo circular .

1

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

Rh ¿ ¿ P0−P L ¿ v >¿ ¿ 8 μL

∴

P 0−PL 2 4 Rh 8 μL

→

P (¿ ¿ 0−PL ) Rh 2 2 μL ¿ v >¿ ¿

(3)

¿ v >¿ la velocidad media de flujo de la sección disponible para el paso del fluido. Rh es posible expresarse en función de la > ϵ y la superficie mojada a, por unidad de volumen de lecho.

Siendo

Rh =

∴

ε=

Volumen huecos volumen de lecho

a=

superficie mojada volumen de lecho

disp . para el flujo volumen disp para el flujo =( ( Seccion ) perimetro mojado superficie mojada total )

Volumen huecos ε volumen de lecho Rh = = a superficie mojada volumen de lecho

La magnitud “a” está relacionada con

av

a =a v (1−ε ) av=

(4)

(5)

¿ . total de particulas volumen de las particulas

Y conociendo que el diámetro medio de partículas

D p=

6 av

Dp

se define como:

(6)

2

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz Ahora bien, el interés no radica en conocer el valor medio de la velocidad en los intersticios , si no la velocidad superficial v 0

v0 =

flujo volumetrico áreade sec .transversal delreactor v 0 =¿ v >∙ ε

∴

(7)

Combinando (7) con (3) obtenemos:

P 2 0−P ¿ (¿ L ) Rh ∙ε 2 μL v 0=¿

(8)

Incluyendo las definiciones (4), (5) y (6) en (8)

v0 =

()

∆P ε ε 2 μL a

P 3 (¿ ¿ 0−PL )ε

2

P 3 (¿ ¿ 0−P L )ε 2 μL av 2 (1−ε )2 v 0=¿

→

2 μL ( a2 ) v 0 =¿

P a v [ 1−ε ] ¿ ¿ 2 μL ¿ 3 (¿ ¿ 0−PL )ε ¿ ¿

=

P (¿ ¿ 0−PL ) ε 3 2 μL (1−ε )2

→

1 6 Dp

2

( )

v 0=¿

P (¿ ¿ 0−PL ) ε 3 1 2 2 μL (1−ε ) 36 D p2 v 0=¿

→

Reorganizando:

3

P 2 (¿ ¿ 0−PL ) D p ε 3 2 μL 36 (1−ε )2 v 0 =¿

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

P 2 (¿ ¿ 0−PL ) D p ε3 L 36 ( 2 ) μ (1−ε )2 v 0=¿

(9)

Experimentalmente se demostró que para el flujo laminar si el 2 del denominador se sustituye por un valor entre 4 y 5, se mejora el comportamiento, por lo que se definió 25/6 x 4.1666 Introduciendo 25/6 en (9), se obtiene:

P D2p (¿ ¿ 0−PL ) ε3 L 25 (1−ε)2 36 μ 6 v 0=¿

( )

P 2 (¿ ¿ 0−PL ) D p ε3 L 150 μ (1−ε )2 v 0=¿

(10) Ecuación de Blake- Kozeny

La parte del flujo turbulento se rige por la ecuación de Burke-Plummer. El factor de fricción para el flujo turbulento se aproxima a:

f=

(

( )

1 D 4 L

)

P 0−PL . . ..(11) 2 1 ∙ ρ∙ ⟨ v ⟩ 2 ∆P , se obtiene: L

Recomendado para

( P 0− P L ) L

4∙ f =

(12 )∙ ⟨ v⟩ .. . .(12) 2

D

Sustituyendo (2) en (12) para sustituir “radio hidráulico medio

P 0−PL = L

2 1 4 ∙ f ∙ ∙ ρ ∙⟨v ⟩ 2 . .. .(13) 4 Rh

Sustituyendo (4), (5), (6) y (7) en (13) obtenemos:

4

( Rh)

se obtiene:

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

(

2 1 4 ∙ f ∙ ∙ ρ ∙⟨ v ⟩ P 0−P L 2 = ϵ L 4∙ a

)

1 1 2 2 f ∙ ∙ ρ ∙⟨ v ⟩ av ∙ f ∙ ∙ ρ∙⟨ v ⟩ P − P P −P ( 0 L) ( 0 L) 2 2 → = = ϵ ϵ L L ( 1−ϵ ) av ( 1−ϵ )

6 1 2 ∙ f ∙ ∙⟨ v ⟩ ( 1−ϵ ) ∙ ρ P −P 2 D ( 0 L) = p L ϵ

( P 0−P L ) L

( P 0−P L ) L

( P 0−P L ) L

= (6 ∙ f ) ∙

2 1 1 ϵ ∙ ∙ ρ∙ ⟨ v ⟩ ∙ Dp 2 (1−ϵ )

= (6 ∙ f ) ∙

v0 1 ( 1−ϵ ) 1 ∙ ∙ ∙ρ 2 Dp ϵ ϵ

[

( )[

] ( )

]

2

2

v0 1 ( 1−ϵ ) ∙ 1 = (6 ∙ f ) ∙ ρ∙ 2 Dp 2 ϵ ϵ

Reacomodando:

( P 0−P L ) L

=6 ∙ f ∙

[ ]

1 ( 1−ϵ ) 1 ∙ ∙ ρ ∙ v 02 .. . .(14) ∙ 3 2 Dp ϵ

Datos experimentales indican que:

6 f =3.50 *Solo en estado de régimen turbulento

∴

[ ]

( P0−P L) 3.50 1−ϵ = ∙ ρ ∙ v 02 . . . .(15) 3 L

2 Dp

ϵ

La ecuación (15) es conocida como la Ecuación de Burke-Plummer Como se menciono al inicio, la Ecuacion de Ergun se concibe al cambiar las acuaviones de BurkePlummer y de Blake-Kozeny. Por lo que combinando (10) y (15), despejando el término

( P 0−P L) L

, obtenemos: (Despejada)

5

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

( P 0−P L ) 150∙ μ ∙ ( 1−ϵ )2 ∙ v 0 L

=

2 3 Dp ∙ ϵ

. . .. ( 10− A )

Sumando:

( P 0−P L ) L

2

=v 0 ∙

[ ] [ ]

150 ∙ μ (1 −ϵ ) 3.50 1−ϵ ∙ ρ ∙ v 2 + ∙ 0 2 D p ϵ3 D p2 ϵ3

( P 0−P L ) 150∙ μ ∙ v 0 (1 −ϵ )2 1.75 1−ϵ 2 + ∙ = ∙ ρ ∙ v 0 .. . . (16 ) 3 3 2 L

Dp

ϵ

Dp

ϵ

Ecuación de Ergun

Por ultimo y para adimensionar la ecuación de Ergun, Definimos:

G 0=ρ ∙ v 0 P

( ) {

}

P 0−P ¿ (¿ L) L ¿ ¿ ¿

(17-A)

( 1−ε ) μ (¿ ¿ 0−PL ) D p ε =150 +1.75 2 L 1−ε G0 ( D p G0 ) ¿ 3

Multiplicando por

G 0 ambos lados: P (¿ ¿ 0−PL ) L ¿ ¿ ¿ P (¿ ¿ 0−PL ) L ¿ ¿ ¿

6

(17)

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

P

( ){ {

}

(1−ε ) μ (¿ ¿ 0−PL ) Go 1−ε 150 +1.75 G0 = ρ D p ε3 L (D p ) ¿ P

( ){ {

}

d (¿ ¿ 0−P L ) Go 1−ε ( 1−ε ) μ 150 +1.75 G 0 = 3 ρDp ε L ( D p) ¿

}

}

(18)

Donde

P (¿ ¿ 0−PL ) dP = dz L ¿ Comparativa entre 18 y 4.22 Fogler

G 0=G ε =∅= porosidad



DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÍN 4.21 A 4.34

Un proceso isotérmico (T=T0) muestra que la conversión estará en función únicamente de la conversión y la presión:

dX =F1 ( X , P) dW

(4−21)

La mayoría de las reacciones en fase gaseosa se catalizan haciendo pasar el reactivo por un lecho empacado de partículas de catalizador:

7

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

La expresión más empleada para calcular la caída de presión en un lecho empacado de tipo poroso es la ecuación de Ergun:

(

)[

dP −G 1−∅ 150 (1−∅ ) μ +1.75 G = Dp dz ρ gc D p ∅3 (4−22)

)[

(

−G 1−∅ 150 (1−∅ ) μ dP = +1.75 G dz ρ gc D p ∅3 Dp

]

]

Parte de flujo laminar

Parte de flujo turbulento

Cuando se trabaja en perfil laminar, la parte turbulenta se vuelve casi 0, viceversa cuando se trabaja en estado turbulento, el ajuste de flujo laminar se vuelve casi 0. En donde: 2

P= presión , l bf / pie s (kPa)

Ø = porosidad=

volumen de vacío , fracción de vacío volumen global del lecho

1−∅=fracción de vacío=1− gc =32.174 l bm ∙

volumen de vacío volumen global del lecho

pies 8 2 ∙ l b f , ( factor de conversión ) =4.17 ×10 lb m ∙ pies/h ∙ l bf 2 s

D p=diametro de particulas en el lecho , pies(m) μ=viscosidad del gas que pasa por el lecho,

lb m pie s

m3 ¿ kg ¿ ρ=densidad del gas ,

lb m pie s3

¿ 8

∙h

( kgm ∙ s)

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

G=ρμ=densidad de flujo másico ,

lb m pie s

2

∙h

( kgm ∙ s) 2

Al calcular la caída de presión por la ecuación de Ergun, el único parámetro que varía con la presión en el lado derecho de la ecuación (4-22) es la densidad del gas, ρ. Ahora calcularemos la caída de presión a través del lecho. Como el reactor se opera en estado estacionario, el flujo másico en cualquier punto a lo ´ 0 (es decir, la ´ (kg/s), es igual al flujo masico de entrada, m largo del reactor, m ecuación de continuidad).

m ´ 0= m ´ …A ρ0 v 0= ρv … B Recordando la ecuación (3-41)

v =v 0

( ) ( )

FT P0 T (3−41) FT 0 P T 0

Despejamos

ρ=

de “…B”:

ρ

v0 ρ0 v 0 =ρ 0 v v v0 : v

Y reacomodando la Ec. 3-41 en términos de

( ) ( )

v0 F T P T 0 = v FT P0 T 0

Sustituyendo ρ= ρ0

v0 v

v0 v

Obtenemos a ρ ρ= ρ0

en

en función de Temperatura,Presión y Flujos:

( ) ( ) FT P T 0 FT P0 T 0

Reacomodando para dar forma a la Ec. (4-23):

9

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

ρ= ρ0

( )

P T 0 FT (4−23) P0 T FT 0

Combinando (4-22) con (4-23), se obtiene que:

)[

(

]

dP −G 1−∅ 150 (1−∅ ) μ +1.75 G (4−22) = Dp dz ρ gc D p ∅3

ρ= ρ0

dP = dz

( )

P T 0 FT (4−23) P0 T FT 0

(

)[

−G 1−∅ 150 ( 1−∅ ) μ +1.75G Dp ∅3 P T 0 FT g D ρ0 P 0 T FT c p

( )

0

)[

] ( )

P T FT dP 1−∅ 150 (1−∅ ) μ −G + 1.75G 0 = 3 Dp P T 0 FT dz ρ0 gc D p ∅

(

La ecuación se simplificará con el parámetro

β 0=

[

] 0

β0 :

]

G ( 1−∅ ) 150 ( 1−∅ ) μ +1.75 G (4−25) Dp ρ 0 g c D p ∅3

Sustituyendo el parámetro en la Ecuación de Ergun tenemos:

( )

P0 T F T dP =−β 0 (4−24) dz P T 0 FT 0

En el caso de los reactores tubulares empacados, nos interesa más el peso del catalizador que la distancia z a lo largo del reactor. El peso del catalizador(w) hasta una distancia z a lo largo del reactor es:

W = ( 1−∅ ) A c z × ρc (4−26)

Vol. sólidos

Densidad catalizador sólido

A c es el área de la sección transversal. La densidad volumétrica del Donde catalizador, ρ b (masa de catalizador por volumen de lecho en el reactor), es 10

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz simplemente el producto de la densidad de las partículas del catalizador sólido, la fracción de sólidos, ( 1−∅ ) :

ρc , por

ρb= ρc ( 1−∅ ) Usando la relación entre z y W [Ec. 4-26] podemos cambiar las variables para expresar la ecuación de Ergun en términos de peso de catalizador:

W = ( 1−∅ ) A c z × ρc W = (1−∅ ) A c ρ c z Sacando límite obtenemos:

dW = ( 1−∅) A c ρc dz despejamos en función de

dz=

para el cambio de variable:

dz

dW ( 1−∅ ) A c ρc

Sustituimos en la Ecuación 4-24

( )

dz :

P T FT dP =−β 0 0 (4−24) dz P T 0 FT 0

( )

P0 T F T dP =−β 0 P T 0 FT dW ( 1−∅ ) Ac ρc

( )

0

P0 T FT −β 0 dP = dW ( 1−∅ ) A c ρc P T 0 F T

0

Para simplificar más la ecuación utilizaremos dos valores sin afectarla.

( )

−β 0 2 P0 P 0 T F T dP = dW ( 1−∅ ) A c ρc 2 P0 P T 0 F T

0

Reacomodando

( )

0

( )

0

P0 T F T −2 β0 dP = dW 2 P0 ( 1−∅ ) A c ρc P/ P0 T 0 FT

P0 T F T −2 β0 dP = dW 2 P0 ( 1−∅ ) A c ρc P/ P0 T 0 FT

11

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

( )

dP −∝ P0 T F T (4−27) = 2 P /P0 T 0 FT dW 0

If :

y=

P P0

Sustituyendo

y=

P P0

en la Ec. 4-27 tenemos:

( ) ( )

dP −∝ P0 T F T = (4−27) dW 2 P /P0 T 0 FT dP −∝ P0 T F T = 2 y T 0 FT dW

0

0

Para darle la forma de la derivada dy se cambia de posición P0:

( )

dP −∝ T F T = P 0 dW 2 y T 0 FT

( )

0

dy −∝ T F T (4−28) = dW 2 y T 0 F T

Donde el parámetro

∝=

0

∝ , es:

2 β0 (4−29) A c ρc( 1−∅) P0

Usaremos la ecuación (4-28) cuando ocurran reacciones múltiples o cuando haya caída de presión en un reactor de membrana. Sin embargo, para reacciones únicas en reactores empacados, es más conveniente expresar la ecuación de Ergun en términos de la conversión X. Recordando la ecuación (3-43) para FT,

(

FT =F T + F A δX = FT 1+ 0

0

0

FA δX FT 0

0

) 12

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz Dividiendo entre

FT

0

FT FT F A = + δX F T FT F T 0

0

0

0

0

FA FT =1+ δX FT FT 0

0

0

Y utilizando la ecuación 3-35 tenemos:

ε = y A 0 δ=

FA δ FT 0

0

Sustituir:

FT =1+εX FT 0

Sustituimos la proporción

FT , la ecuación (4-28) puede escribirse como sigue: FT 0

( ) ( )

dy −∝ T F T = (4−28) dW 2 y T 0 F T 0

dy −∝ T = ( 1+εX ) dW 2 y T 0

( )

T dy −∝ (4−30) ( 1+εX ) = T0 dW 2 y

Solución analítica:

ε =0 , es decir, se puede despreciar ( εX ¿

en comparación con 1.0 (o sea, 1>> εX ) es posible obtener una solución analítica de la ecuación (4-30) para operación isotérmica con ε=0, la ecuación (4-30) se transforma como sigue:

Si

( )

T dy −∝ = (4−30) ( 1+εX ) dW 2 y T0 ε =0 , isotérmico T0=T Sustituir: 13

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

dy −∝ ( 1+(0) X ) ( 1 ) = dW 2 y

dy −∝ (4−32) = dW 2 y

dy =−∝ dW

2y

Introduciendo y a la derivada, tenemos: 2

2 y dy =d y

d y2 =−∝ dW Integrando con y=1 (P=P0) en W=0, se obtiene: 2

dy =−∝ dW 2

d y =−∝ dW y

W

∫ d y =−∝∫ dW 2

1

0

2 y |y =−∝ W|W 0 1 2

2

y − ( 1) =−∝ W +(0 ) 2

y −1=−∝W 2

y = 1− ∝ W 1

y=

P = ( 1−∝ W ) 2 (4−33) P0

Asegúrese de no usar esta ecuación cuando isotérmicamente, caso en el cual:

∝=

2 β0 A c ρc( 1−∅) P0

ε≠0

o si la reacción no se realiza

(4−29)

La ecuación (4-33) puede emplearse de nuevo para sustituir la presión en la ley de velocidad, en cuyo caso el balance de moles llega a escribirse exclusivamente en función

14

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz de la conversión y el peso del catalizador. La ecuación resultante logra resolverse con facilidad en forma analítica o numérica. Si se desea expresar la presión en términos de la longitud del reactor z, es posible emplear la ecuación (4-26) para sustituir W en la ecuación (4-33). Entonces:

1

y=

P 2 = ( 1−∝ W ) (4−33) P0

Sustituimos

( ( (

W =( 1−∅ ) A c z × ρ c

∝ y

2 β0 P y= = 1− ( (1−∅ ) Ac z × ρc ) P0 A c ρc (1−∅ ) P 0 y=

)

1

2 β0 P 2 = 1− ( (1−∅ ) Ac z ρc ) P0 A c ρc (1−∅ ) P 0

)

1

2β z P y= = 1− 0 2 (4−34) P0 P0

15

)

1 2

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz

 Demostrar la ecuación E4-6.10 X

∫

F A 0 (1+ εX )

0

k ´ ( 1− X )

W

1 2

dX =∫ ( 1−αW ) dW 0

Separar en dos integrales distintas: X

1)

∫ 0

F A 0 (1+ εX ) k ´ ( 1− X )

W

2)

dX

1

∫ ( 1−αW ) 2 dW 0

Para resolver 1, tendremos que expandir la ecuación:

X

∫ 0

F A 0( 1+εX ) ´

k ( 1−X )

dX →

F A0 k

´

X

) dX ∫ ((1+εX 1−X ) 0

F A0 k F A0 k´

Simplificando

F A0 k

´

X

(

∫ 0

´

X

∫ 0

(

)

1 εX dX + ( 1−X ) (1−X )

)

X

(

)

F A0 1 εX dX + ´ ∫ dX ( 1−X ) k 0 ( 1−X )

se tiene y separando, se resolvería como: F A0 k´

[ I 1 +I 2 ] 16

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz X

I 1 =∫ 0 X

I 2 =∫ 0

I1

La resolución de X

I 1 =−∫ 0

(

)

1 dX ( 1−X )

εX dX ( ( 1−X ))

es:

( ( 1−1 X ) ) dX '

∫ uu dx=ln( u )+C

De manera directa:

I 1 =−ln ( 1−X )− ( −ln( 1−0 ) ) I 1 =−ln ( 1−X )

X

I 2 =∫

Para la segunda integral:

0 X

∫ 0

Multiplicando por el factor X

(

)

X

−1 −1

(

(

X

)

(

se transforma:

)

Reacomodando para la próxima resolución de la integral: X

(

X

dX ( −−X X+1 )

)

ε ∫ − X dX −1 0 (−X +1) −ε ∫ 0

)

εX X dX → ε∫ dX ( 1−X ) (1−X ) 0

−1 1 −X X dX dX=ε ∫ 0 −1 (1− X ) 0 −1 ( 1−X )

ε∫

εX dX ( ( 1−X ))

Sumando +1 y restando -1

17

Ing. Carlos Enrique Tena Ordaz X

−ε ∫ 0

X+1−1 dX ( −−X +1 )

Separando en dos “subintegrales” obtenemos:

X

−ε ∫ 0

(...