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2. Calcule la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discretaMedia:μ =∑[ X P ( x )]Remplazando:μ =∑( 2 x 5 + 8 x 3 + 10 x 2 ) = 54Varianza:[¿( X − μ ) 2 P ( X )] σ 2 =∑¿Reemplazando:σ 2 = 2704 + 2116 + 1936 = 67564. ¿Cuáles de las siguientes variables aleatorias son discret...

Description

2. Calcule la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta

Media: μ=∑ [ X P (x)]

Remplazando: μ=∑ (2 x 5+8 x 3+10 x 2) = 54

Varianza: 2 [¿ ( X−μ ) P(X )] 2 σ =∑ ¿

Reemplazando:

σ 2 =2704+2116 +1936= 6756

1

4. ¿Cuáles de las siguientes variables aleatorias son discretas y cuáles continuas? a) El número de cuentas nuevas conseguidas por un vendedor en un año. Variable discreta b) El tiempo que transcurre entre la llegada de cada cliente en un cajero automático. Variable continua c) El número de clientes en la estética Big Nick. Variable discreta d) La cantidad de combustible que contiene el tanque de gasolina de su automóvil. Variable continua e) La cantidad de miembros del jurado pertenecientes a una minoría. Variable discreta f ) La temperatura ambiente el día de hoy. Variable continua

6. El director de admisiones de Kinzua University en Nueva Escocia estimó la distribución de admisiones de estudiantes para el segundo semestre con base en la experiencia de años pasados. ¿Cuál es el número de admisiones esperado para el segundo semestre? Calcule la varianza y la desviación estándar del número de admisiones.

[ xP ( x ) ] 600 360 150

[ ( x−μ )2 P (x) ]

7260 2430 15210

Media μ=∑ [ xP ( x ) ] μ=600 + 360 + 150 μ=1110 se espera1110 alumnos para el segundo semestre Varianza σ 2 =∑ [ (x−μ )2 P (x) ] 2

2

σ =7260+ 2430+15210 2 σ =24900 Desviación estándar σ =157.8

8. La Downtown Parking Authority, de Tampa, Florida, reportó los siguientes datos de una muestra de 250 clientes relacionados con el número de horas que se estacionan los automóviles y las cantidades que pagan

NUMERO DE HORAS 1 2 3 4 5 6 7 8

FRECUENCIA 20 38 53 45 40 13 5 36 250

PAGO $ 3.00 $ 6.00 $ 9.00 $ 12.00 $ 14.00 $ 16.00 $ 18.00 $ 20.00

a) Convierta la información del número de horas de estacionamiento en una distribución de probabilidad. ¿Es una distribución de probabilidad discreta o continua? HORAS(x) 1 2 3 4 5 6 7 8

P(x) 0.080 0.152 0.212 0.180 0.160 0.052 0.020 0.144

Presenta una distribución continua b) Determine la media y la desviación estándar del número de horas de estacionamiento. ¿Qué respondería si se le pregunta por el número de horas que se estaciona un cliente normal? HORAS(x) FRECUENCIA P(x)

μ(x*P(x))

1 2 3 4 5 6 7 8

0.080 0.304 0.636 0.720 0.800 0.312 0.140 1.152 4.144(μT)

20 38 53 45 40 13 5 36 250

0.080 0.152 0.212 0.180 0.160 0.052 0.020 0.144

(xμT) -3.144 -2.144 -1.144 0.144 0.856 1.856 2.856 3.856

(x- μ)2

(xμ)2P(x) 9.885 0.791 4.597 0.699 1.309 0.278 0.021 0.004 0.733 0.117 3.445 0.1793 8.157 0.163 14.869 2.141 4.368

Media(µ)=4Media(µ)=4.144 Varianza= 4.368 Desviación= √4.37 = 2.089 Un cliente se estaciona 4horas con 14,4 minutos aproximadamente c) Calcule la media y la desviación estándar del pago. 3 + 6 +9+12 +14 + 16 + 18 + 20 =19 8

Media(X): Desviación

√

estándar(σ):

2

2

2

2

2

2

(19−3) +(19−6 ) +(19−9 ) +(19 −12 ) +( 19 −14 ) +(19 −16 ) +(19 −18 )2 +(19−20 )2 =8.732 8

10. En una situación binomial, n=5 y π =0.40 . Determine las probabilidades de los siguientes eventos usando la fórmula binomial. Usando la fórmula de la probabilidad binomial: n

x

n− x

P (x ) =C x π (1−π ) Para:

a) x=1 P (1) =C15 0.4 1(1−0.4 )5−1 P (1) =0.2592 b) x=2 P (2) =C25 0.4 2 (1−0.4)5−2 P (2) =0.3456

4

Distribución de Probabilidad 0.4 0.35

0.35 0.3 Probabilidad

0.26 0.25

0.23

0.2 0.15 0.1

0.08

0.08

0.05 0.01 0

0

1

2

3

4

5

Número de ensayos

12. Suponga que existe una distribución binomial en la que n = 5 y π

= 0.30.

a) Consulte el apéndice B.9 y elabore una lista de probabilidades para valores de x de 0 a 5. Usando la fórmula de la probabilidad binomial: P (x ) =C x π (1−π ) n

x

n− x

Para : X=0 5

0

P ( 0) =C 0 0.30 (1−0.30 )5−0=0.16807 x=1 P ( 1) =C15 0.301 (1−0.30 )5−1=0.36015 X=2 5

5 −2

2

P (2) =C2 0.30 (1−0.30 )

=0.3087

X=3 5

3

5−3

P ( 3) =C 3 0.30 (1−0.30 )

=0.1323

X=4 5

5

4

5

5

P (4 )=C 4 0.30 ( 1−0.30 )5−4=0.02835

X=5 P (5) =C 5 0.30 (1−0.30 )5−5=0.00243

b) Determine la media y la desviación estándar de la distribución a partir de las definiciones generales de las fórmulas (6-1) y (6-2). Media : μ=∑ [ X P (x)]

Remplazando : μ=¿ 1.5

Desviacion estándar : 2

[¿ ( X−μ ) P(X )] σ 2 =∑ ¿

Reemplazando : 2 σ =¿ 0.378+0.09+0.077+0.298+0.177+0.029 = 1.049

σ =1.024

14. El Servicio Postal de Estados Unidos informa que 95% de la correspondencia de primera clase dentro de la misma ciudad se entrega en un periodo de dos días a partir del momento en que se envía. Se enviaron seis cartas de forma aleatoria a diferentes lugares.

P=0.95

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las seis lleguen en un plazo de dos días? n=6 x=6 6

❑

P (x ) = nC x π (1−π ) x

n− x

P (x ) = ❑6C 6 0.956 ( 1−0.95) 6−6 P (x ) =0.7351

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco lleguen en un plazo de dos días? n=6 x=5 ❑ P (x ) = nC x π (1−π ) x

n− x

5 ❑ 6−5 P (x ) = 6C 5 0.95 ( 1−0.95)

P (x ) =0.2321

c) Determine la media del número de cartas que llegarán en un plazo de dos días. μ=nπ μ=6 x 0.95=5.7 d) Calcule la varianza y la desviación estándar del número de cartas que llegarán en un plazo de dos días. Varianza→ σ 2 =nπ (1−π ) 2 σ =6 x 0.95 x 0.05 =0.285 4 Desviación estándar → σ =√ 0.2854 σ ❑ =0.5342

❑

16. Un agente de telemarketing hace seis llamadas por hora y es capaz de hacer una venta con 30% de estos contactos. Para las siguientes dos horas, determine a) b) c) d)

la probabilidad de realizar exactamente cuatro ventas la probabilidad de no realizar ninguna venta; la probabilidad de hacer exactamente dos ventas la media de la cantidad de ventas durante un periodo de dos horas

Parte A n=6 , π =0.3 , x =4 m−n n P (x ) =m∁ n (π ) ( 1−π ) 6 −4 4 P (x =4 ) =6 ∁ 4 (0.3 ) ( 1−0.3 ) P (x =4 ) =0.0595 7

Parte B n=6 , π =0.3 , x =0 m−n n P (x ) =m∁ n (π ) ( 1−π ) 0

6−0

P (x =0 ) =6 ∁ 0 (0.3 ) ( 1− 0.3 ) P (x =0 ) =0.1176

Parte C n=6 , π =0.3 , x =2 P (x ) =m ∁ n (π ) n ( 1−π )m−n P (x =2 ) =6 ∁ 2 (0.3 )2 (1−0.3 )6−2 P (x =2 ) =0.3241

Parte D Media μ=∑ [ xP ( x ) ] μ=0.1176 x 0+ (0.3025 ) x 1+0.3241 x 2+ 3 x 0.18522+0.0595 x 4 +0.0102 x 5+7,29 x 10−4 x 6 μ=1.8012 18. Se reporta que 16% de los hogares estadounidenses utilizan exclusivamente un teléfono celular como servicio telefónico. En una muestra de ocho hogares, encuentra la probabilidad de que:

Sabemos que:

P (x ) =nnCx π x (1−x )n−x

a) Ninguno use un celular como su servicio exclusivo. n=8 x=0 π =0,16 x n−x P (x ) =Cx π (1−π ) 0 8−0 P (0) =8 C 0( 0.16) ( 1−0.16) P (0) =0.24788 b) Cuando menos uno use sólo el celular.P(x 2=1−¿ 0.238 = 0.762 34.

Un promedio de 2 automóviles por minuto llegan a la salida de Elkhart de la autopista de Indiana. La distribución de llegadas se aproxima a una distribución de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil llegue en un minuto? μ=2 x −μ 20 e−2 μ e = =0.1353 P ( x) = x! 0! b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos llegue un automóvil en un minuto? Por la propiedad del complemento : 20 e−2 P ( x ≥1) =1−P ( x=0 )=1− =1−0.1353 0! P ( x ≥1) =0.8647

38. En cada uno de los siguientes enunciados, indique si la variable aleatoria es discreta o continua. a) El tiempo de espera para un corte de cabello. (Continua) b) El número de automóviles que rebasa un corredor cada mañana. (Discreta) c) El número de hits de un equipo femenil de softbol de preparatoria. (Discreta) d) El número de pacientes atendidos en el South Strand Medical Center entre las seis y diez de la noche, cada noche. (Discreta) e) La distancia que recorrió en su automóvil con el último tanque de gasolina. (Continua) f) El número de clientes del Wendy’s de Oak Street que utilizaron las instalaciones. (Discreta) g) La distancia entre Gainesville, Florida, y todas las ciudades de Florida con una población de por lo menos 50 000 habitantes. (Continua)

40. El gerente de personal de Cumberland Pig Iron Company estudia el número de accidentes laborales en un mes y elaboró la siguiente distribución de probabilidad. 14

Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de accidentes en un mes.

Número de acciones

Número de Accidentes

Probabilidad

0

0.4

1

0.2

2

0.2

3

0.1

4

0.1

P ( x)

x∗ P ( x )

(x−µ)

2

(x−µ)

( x−µ )2∗P(x )

0

0.4

0

-1.3

1.69

0.676

1

0.2

0.2

-0.3

0.09

0.018

2

0.2

0.4

0.7

0.49

0.098

3

0.1

0.3

1.7

2.89

0.289

4

0.1

0.4

2.7

7.29

0.729

µ

1.3

σ2

1.81

σ =√ 1.81 =1.34536 42. Abajo se muestran los premios de la lotería Powerball y sus correspondientes pronósticos y probabilidades de ocurrencia. El precio del boleto es de un dólar. Encuentre la media y la desviación estándar del premio. Sugerencia: No olvide incluir el costo del boleto y su correspondiente probabilidad.

Media :

μ=∑ [ X P (x)] 15

Remplazando : μ=8.974

Varianza : [¿ ( X−μ )2 P(X )] σ 2 =∑ ¿

Reemplazando : 2

σ =146102522.3+ 3563585.977 + 584413.0107 + 14236.05888+ 11908.06028 + 272.3987 + 726.1854 + 10

Desviacion estándar :

σ =12258.79

44. Treinta por ciento de la población de una comunidad del suroeste de Estados Unidos es hispanohablante. Se acusó a un hispanohablante de haber asesinado a un estadounidense que no hablaba español. De los primeros 12 posibles jurados, sólo dos son estadounidenses hispanohablantes y 10 no lo son. El abogado de la defensa se opone a la elección del jurado, pues dice que habrá prejuicio contra su cliente. El fiscal no está de acuerdo y arguye que la probabilidad de esta composición del jurado es frecuente. Calcule la probabilidad y explique los supuestos. n=12 x=2 P (x ) = ❑nC x π (1−π ) x

n− x

❑ P (x ) = 12 C 2 0.30 ( 1−0.30 ) 12−2 2

10 P (x ) =66 x 0.09 x 0.70 =0.1678

46. Tire and Auto Supply contempla hacer una división de 2 a 1 de las acciones. Antes de realizar la transacción, por lo menos dos terceras partes de los 1 200 accionistas de la compañía deben aprobar la oferta. Para evaluar la probabilidad de que la oferta se apruebe, el director de finanzas eligió una muestra de 18 accionistas. Contactó a cada uno y comprobó que 14 aprobaron la propuesta.

16

¿Cuál es la posibilidad de este evento, si dos terceras partes de los accionistas dan su aprobación? 2/3=0.6667 0.7778>0.6667 La probabilidad de este evento si dos terceras partes den su aprobación es alta

48. El Banco de Hawai informa que 7% de sus clientes con tarjeta de crédito dejará de pagar en algún momento. La sucursal de Hilo envió el día de hoy 12 nuevas tarjetas. a) ¿Cuántos de los nuevos tarjetahabientes cree que dejarán de pagar? ¿Cuál es la desviación estándar? μ=12(0.07)=0.84 σ=

√12 (0.07 )(1−0.07 )=0.8839

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tarjetahabientes deje de pagar? P (x ) =

12! (0.07)0 (0.93 )12 =0.4186 0 ! 12 !

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno deje de pagar? P(x)=1- 0.4186=0.581

50. En el capítulo 19 se estudia la muestra de aceptación. El muestreo de aceptación se utiliza para supervisar la calidad de la materia prima que entra. Suponga que un comprador de componentes electrónicos permite que 1% de los componentes se encuentren defectuosos. Para garantizar la calidad de las partes que entran, por lo general se toman 20 partes como muestra y se permite una parte defectuosa. a) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote con 1% de partes defectuosas? 0.01 (¿¿ 1)( 0.99 ) =0.165233724 20 ! =¿ P ( x) = 1 !∗19 ! 19

b) Si la calidad del lote que ingresa en realidad fue de 2%, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte?

17

0.02 (¿¿ 2)( 0.9818 ) =1.81E-27 P ( x )=

20 ! =¿ 1 !∗18 !

c) Si la calidad del lote que ingresa en realidad fue de 5%, ¿cuál es la probabilidad de que se acepte? 0.05 (¿¿ 5)( 0.9515 ) =4.524328E-14 20! =¿ P ( x) = 4 !∗15 !

52. La doctora Richmond, psicóloga, estudia el hábito de ver televisión durante el día de estudiantes de preparatoria. Ella cree que 45% de los estudiantes de preparatoria ve telenovelas por la tarde. Para investigar un poco más, elige una muestra de 10. a) Elabore una distribución de probabilidad del número de estudiantes de la muestra que ven telenovelas.

Experimento Estudiantes ven telenovela por la tarde Estudiantes ven telenovela por la mañana

Probabilidad 45% 55%

b) Determine la media y la desviación estándar de esta distribución Media : μ=10(0.45)=4.5 Desviacion estándar : σ=

√12 ( 0.45 )( 1− 0.45) =0.497

c)¿Cuál es la probabilidad de encontrar que exactamente cuatro vean telenovelas? 10 4 10− 4 =0.238 P (4 )=C 4 0.45 (1−0.45)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de los estudiantes elegidos vean telenovelas? x≤5 P (0) =C 010 0.45 0(1−0.45)10−0=¿ 0.00253

18

P (1) =C1 0.45 (1−0.45 ) 10

1

10−1

=0.0207

2 10−2 P (2) =C10 =0.0763 2 0.45 (1−0.45)

P (3) =C 310 0.453 (1−0.45)10−3 = 0.166 10 4 P (4 )=C 4 0.45 (1− 0.45 )

10−4

=0.238

P (5) =C 510 0.455 (1−0.45)10−5=0.026 x ≤ 5 = 0.47047

54. Suponga que Hacienda estudia la categoría de las contribuciones para la beneficencia. Se seleccionó una muestra de 25 declaraciones de parejas jóvenes de entre 20 y 35 años de edad con un ingreso bruto de más de $100 000. De estas 25 declaraciones, cinco incluían contribuciones de beneficencia de más de $1 000. Suponga que cuatro de estas declaraciones se seleccionan para practicarles una auditoría completa. a) Explique por qué resulta adecuada la distribución hipergeométrica. Porque estamos ante una caso de una población pequeña y finita b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las cuatro declaraciones auditadas tuvieran deducciones de beneficencia de más de $1 000? P (x ) =

( ❑S Cx )(N−S❑C n− x ) ❑ N

Cn

( ❑5 C1 )(25−❑5C 4 −1 ) 5 x 1140 P (x ) = = =0.4506 ❑ 25 4

C

12650

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las cuatro declaraciones auditadas tuvieran deducciones de beneficencia de más de $1 000? P ( x ≥1) =1−P ( x=0 ) P ( x ≥1) =1−

( ❑5 C0)( 25 −❑4C 4−0 ) ❑ 25

C4

P ( x ≥1) =1−0.383 =0.617

56. Información reciente que publicó la Environmental Protection Agency indica que Honda es el fabricante de cuatro de los nueve vehículos más económicos en lo que se refiere al consumo de gasolina. a) Determine la distribución de probabilidad del número de autos Honda en una muestra de tres autos elegidos entre los nueve más económicos. x

P(x)

1

0,119 19

2

0,4762

3

0,3571

4

0,0477

5 b) ¿Cuál es la posibilidad de que en la muestra de tres por lo menos haya un Honda? P(x>=1) = 0.881 58. En la lista siguiente aparece la población por estado de los 15 con mayor población. Asimismo, se incluye información sobre el hecho de que un límite del estado está en el golfo de México, el Océano Atlántico o el Océano Pacífico (línea costera).

Observe que 5 de los 15 estados no tienen costa. Suponga que se seleccionan tres estados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ninguno de los estados seleccionados tenga costa? Entonces 3/15=0.20 3! (0.20)0 (0.80)3=0.512 P (x ) = 0!3! b) exactamente un estado tenga costa? P (x ) ' =1−P ( x ) =1 −0.512=0.488 c) por lo menos un estado seleccionado tenga costa? 3! (0.20)1 (0.80)3 =0.3072 P (x ) = 1 ! 2!

20

60. Suponga que 1.5% de las antenas de los nuevos teléfonos celulares Nokia tiene defectos. En una muestra aleatoria de 200 antenas, calcule las siguientes probabilidades: Datos: x=0;

n=200; π =0.015

Usando: P (x ) =C xn π x (1−π )n− x

a. Ninguna de las antenas se encuentra defectuosa. P (x =0 )=C 0 0.015 (1−0.015) 200

0

200−0

P (x =0 )=0.04866

b. Tres o más antenas se encuentran defectuosas. P (x ≥3 ) =1−P( x ≤ 2 ) P (x ≤2 ) =[ P ( x=0 )+ P ( x=1 ) + P ( x =2 )] P (x =0 )=0.04866 P (x =1 )=0.14822 P (x =2 )=0.22460 P (x ≤2 ) =0.42148 P (x ≥3 ) =0.57852

62. Un estudio interno llevado a cabo por el departamento de Servicios Tecnológicos de Lahey Electronics reveló que los empleados de la compañía reciben un promedio de dos correos electrónicos por hora. Suponga que la recepción de estos correos obedece aproximadamente a una distribución de Poisson. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Linda Lahey, presidenta de la compañía, haya recibido exactamente 1 correo entre las 4 y 5 de la tarde del día de ayer? P (X ) =

X −μ

μ e x!

Reemplazando : P (1) =

21 e−2 = 0.271 1!

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido 5 o más correos durante ese horario? 21

x≥5 0 −2

P (0) =

2 e 0!

P (1) =

21 e−2 = 0.271 1!

P (2) =

22 e−2 0.271 2!

P (3) =

23 e−2 =0.18 3!

P (4 )=

24 e−2 =0.09 4!

P (5) =

25 e−2 =0.036 5!

=0.135

x ≥ 5 = 0.017 c)¿Cuál es la probabilidad de que no haya recibido correos en ese horario? P (0) =

0 −2

2 e 0!

=0.135

64. New Process, Inc., proveedor grande de venta por correo de ropa para dama, anuncia sus entregas de pedidos el mismo día. Desde hace poco, el movimiento de los pedidos no corresponde a los planes y se presentan muchas quejas. Bud Owens, director de servicio al cliente, rediseñó por completo el sistema de manejo de pedidos. El objetivo consiste en tener menos de cinco pedidos sin entregar al concluir 95% de los días hábiles. Las revisiones frecuentes de pedidos no entregados al final del día revelan que la distribución de pedidos sin entregar se rige por una distribución de Poisson con una media de dos pedidos.

a) ¿Alcanzó New Process, Inc., sus objetivos? Presente evidencias. μ=2 P ( ...