Tasso Interno di Rendimento PDF

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Tasso Interno di Rendimento Esercizio 1 Si consideri la seguente operazione finanziaria: una posta monetaria in entrata oggi di 4800 euro oggi e tre poste monetarie costanti in uscita di 1700 euro esigibili, rispettivamente, tra 3 mesi, 5 mesi e 7 mesi. Si determini il TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (TIR).

Svolgimento. Si noti che il TIR, in questo caso, è un tasso mensile.

Sia: 𝑡 = 0, 𝑡1 = 3, 𝑡2 = 5, 𝑡3 = 7;

𝐶 = 4800;

𝑥1 = 1700, 𝑥2 = 1700, 𝑥3 = 1700; Ponendo: 𝑖0 = (

1

∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 𝑡𝑛−𝑡 𝐶

)

− 1;

𝑓 (𝑖) = ∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 (1 + 𝑖)𝑡−𝑡𝑗 - C;

′(

𝑛

𝑓 𝑖) = ∑ 𝑥𝑗 (𝑡 − 𝑡𝑗 )(1 + 𝑖)𝑡−𝑡𝑗−1 𝑗=1

si ottiene: 1

5100 7 ) − 1 = 0,00869827228 𝑖0 = ( 4800 𝑓 (𝑖) = 1700(1 + 𝑖)−3 + 1700(1 + 𝑖)−5 + 1700(1 + 𝑖)−7 − 4800; 𝑓 ′ (𝑖) = 1700 (−3)(1 + 𝑖)−4 +1700(−5)(1 + 𝑖)−6 + 1700(−7)(1 + 𝑖)−8 .

Utilizzando la formula di Newton 𝑖𝑛 = 𝑖𝑛−1 − e, conoscendo 𝑖0 , segue che:

𝑓 (𝑖𝑛−1 ) , 𝑓 ′ (𝑖𝑛−1 )

𝑖1 = 𝑖0 −

𝑓(𝑖0 )

𝑓 ′ (𝑖0 )

𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 1

.

Sostituendo 𝑖0 = 0,008698 (arrotondato alla sesta cifra decimale) in 𝑓 (𝑖) e 𝑓 ′ (𝑖) al posto di 𝑖 si ottiene che: 𝑓(𝑖0 ) = 1700(1,008698)−3+1700 (1,008698)−5 + 1700(1,008698)−7 − 4800 = = 84,361587 𝑓 ′ (𝑖0 ) = 1700(−3)(1,008698)−4 + 1700(−5)(1,008698)−6 + 1700(−7)(1,008698)−8 = = −24099,39576.

Segue che: 84,361587 ) = 0,01219856856 𝑖1 = 0,008698 − ( −24099,39576 In modo analogo, si ottiene il valore di 𝑖2 sostituendo in 𝑓 (𝑖) e 𝑓 ′ (𝑖) al posto di 𝑖 il valore di 𝑖1 (arrotondato alla sesta cifra decimale).

Svolgendo i calcoli si ottiene: 𝑖2 = 0,012199 − (

0,934555 ) = 0,01223866362. −23562,02221

Iterando il procedimento, si ottiene il valore di 𝑖3 sostituendo in 𝑓 (𝑖) e 𝑓 ′ (𝑖) al posto di 𝑖 il valore di 𝑖2 = 0,012239 (arrotondato alla sesta cifra decimale). Poiché dai calcoli si ottiene che: 𝑖3 = 𝑖2 = 0,012239

si assume, come TIR (su base mensile) dell’operazione finanziaria considerata, il valore 𝑖 ∗ =0,012239 Ricordando la teoria, si noti che, partendo dal valore 𝑖0 , si ottiene una successione di punti strettamente crescente : 𝑖1 < 𝑖2 < 𝑖3 < ⋯ < 𝑖𝑛−1 < 𝑖𝑛 < ⋯.

Tale successione è anche limitata superiormente e converge ad un numero 𝑖 ∗ (TIR dell’operazione finanziaria). Di fatto, le successive approssimazioni forniscono un valore approssimato del Tir. Nella pratica, quando si trova n, per cui dal calcolo si ottiene 𝑖𝑛 = 𝑖𝑛−1 si accetta come TIR il valore 𝑖 ∗ = 𝑖𝑛 = 𝑖𝑛−1.

Esercizio 2 Si determini il Tir della seguente operazione finanziaria: una posta monetaria in entrata oggi di 6500 euro e 3 poste monetarie in uscita rispettivamente di 3500 euro tra 3 mesi, di 2800 fra 8 mesi e 1700 euro tra 13 mesi. (Risultato 𝑖 ∗ = 0,03174 mensile).

Esercizio 3 Si determini il Tir della seguente operazione finanziaria: una posta monetaria in entrata oggi di 5900 euro oggi e 4 poste monetarie in uscita rispettivamente di 1500 euro tra 3 mesi, di 1900 fra 9 mesi, di 2300 fra 13 mesi e 2100 fra 15 mesi. (Risultato 𝑖 ∗ = 0,027251 mensile)....