TEMA 2-2020-6 - apuntes matematicas de clase PDF

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Matemáticas. Primer curso. Facultad de Turismo y Finanzas

TEMA 2: INTEGRACIÓN La integración es la operación inversa a la derivación, por ello, para aprender a integrar funciones debemos conocer y dominar las reglas de la derivación. Este capítulo está dedicado al estudio de la integral de una función real de variable real. El Cálculo Integral permite hallar una función, conocidas sus tasas de cambio, dadas por la derivada. Por tanto, conocida una magnitud marginal, es posible calcular la magnitud total haciendo la integral. Por ejemplo: la función de coste total se puede obtener a partir del coste marginal, la función de ingreso total se obtendría a partir del ingreso marginal, o la función de utilidad se puede calcular si se conoce la utilidad marginal. Ejemplo económico 1. Sea la función de costes marginales de una empresa dada por la siguiente expresión

C´( x) = 8 x 3 + 10 x + 1 donde x es la cantidad producida de un determinado bien. Sabiendo que, si no se produce ninguna unidad, el coste fijo es 100, la función de coste total se puede calcular mediante la integral. El Cálculo Integral también nos permite hallar áreas limitadas por curvas, algo que, en otro caso, tendríamos que hacer por aproximación. 2-1. Integral Indefinida. Cálculo de primitivas. Sean f , F : D  R → R , funciones reales de variable real. Definición.- La función F(x) es una primitiva de f(x) si F ´(x) = f ( x) . El conjunto de primitivas de una función se denomina integral indefinida y se denota

 f (x ) dx = F ( x) + K donde K es una constante (K R)

Es decir, para calcular la integral de la función f(x) se procederá de la siguiente forma: hay que encontrar la primitiva, es decir, la función que se ha derivado, F(x), a la que se le sumará cualquier constante K, dado que la derivada de F(x)+K coincide con la derivada de F(x); de esta manera, se puede comprobar que la integral es correcta si al derivar la función F(x) obtenida coincide con la función dada f(x): F’(x) = f(x)

1

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Economía Aplicada III Propiedades: a) La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función:

 f ( x) dx =  f ( x) dx   R b) La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es la suma (diferencia) de las integrales de las funciones:

 ( f (x ) g (x ))dx =  f (x )dx   g (x )dx Algunas integrales inmediatas:

▪ ▪ ▪ ▪

∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = 1

𝑥 𝑎+1

𝑎+1

+ 𝐾, 𝑎 ≠ −1

∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐾

∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐾 ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑎𝑥

+ 𝐾, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 ln 𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑎 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = ∫

𝑓 ′ (𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑎+1 𝑎+1

𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐾

+ 𝐾, 𝑎 ≠ −1

∫ 𝑒 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 𝑓(𝑥) + 𝐾

∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 =

𝑎𝑓(𝑥) ln 𝑎

+ 𝐾, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1

Resolución del ejemplo económico 1. Sea la función de costes marginales de la empresa del ejemplo inicial: C´( x) = 8 x 3 + 10 x + 1 donde x es la cantidad producida. La función de coste total se calcula como integral de la función marginal: 𝐶(𝑥) =

∫ 𝐶 ′ (𝑥)𝑑𝑥

=

∫(8𝑥 3

𝑥2 𝑥4 + 10 + 𝑥 + 𝐾 = 2𝑥 4 + 5𝑥 2 + 𝑥 + 𝐾 + 10𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 8 4 2

Además, sabiendo que el coste fijo es 100: C( 0) = 100  K = 100 se obtiene la función de coste total:

C( x) = 2 x4 + 5 x 2 + x + 100

A veces, no se pueden aplicar directamente las fórmulas de integrales inmediatas y es necesario aplicar algún método para resolverlas. Por ello, a continuación estudiamos dos métodos de integración: la integración por sustitución, o cambio de variable, y la integración por partes.

Matemáticas. Primer curso. Facultad de Turismo y Finanzas Integración por sustitución (o cambio de variable)

Sea la integral

 f (g ( x))g´ (x )dx

Haciendo el cambio g ( x ) = t  g´ ( x )dx = dt , la integral se reduce a

 f (t )dt

resuelve

 f (t )dt = F (t ) + K Y deshaciendo el cambio

 f ( g( x)) g´( x)dt = F ( g( x)) + K Ejemplo 2. a) Calcule 𝐼 = ∫

1+ln 𝑥 𝑥

𝑑𝑥

1

Se realizará el siguiente cambio de variable: 𝑡 = 1 + ln 𝑥  𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑥 1 + ln 𝑥 1 𝑡2 𝐼=∫ 𝑑𝑥 = ∫(1 + ln 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = +𝐾 𝑥 𝑥 2

Deshaciendo el cambio: 𝐼=∫

1 + ln 𝑥 (1 + ln 𝑥)2 +𝐾 𝑑𝑥 = 2 𝑥

b) Calcule 𝐼 = ∫ 𝑥 √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥

Se hace el cambio de variable: 𝑡 = 𝑥 2 + 1  𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥 ⟹ 𝑥𝑑𝑥 = 𝐼 = ∫ 𝑥 √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 = ∫ √𝑡

Deshaciendo el cambio:

3 𝑡2

𝑑𝑡 2

1 𝑑𝑡 1 3 1 1 + 𝐾 = 𝑡2 + 𝐾 = ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 = 3 2 3 2 2 2

𝐼 = ∫ 𝑥 √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 =

3 1 2 (𝑥 + 1)2 + 𝐾 3

, que se

3

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Economía Aplicada III Integración por partes. Este método se utiliza para integrar el producto de funciones. La fórmula se obtiene integrando la derivada de un producto de dos funciones. Supongamos dos funciones reales de variable real, u(x) y v(x). La derivada del producto u(x)·v(x) sería: d[u(x)·v(x)] = v(x)·du(x)+u(x)·dv(x) Si se integra en ambas partes de la igualdad se obtiene: ∫ 𝑑[𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] = ∫[𝑣 (𝑥)𝑑𝑢(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥)] ⇒ 𝑢 (𝑥)𝑣(𝑥) = ∫ 𝑣 (𝑥)𝑑𝑢(𝑥) + ∫ 𝑢 (𝑥)𝑑𝑣 (𝑥)

Despejando tendríamos: ∫ 𝑢 (𝑥)𝑑𝑣(𝑥) = 𝑢 (𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑣(𝑥)𝑑𝑢 (𝑥)

La fórmula de la integración por partes es:

 f ( x) dx =  u( x) dv( x) = u( x) v( x) − v( x) du( x) Para poder aplicar este método debemos elegir las funciones u( x), dv( x) tales que se pueda expresar f (x )dx = u (x )dv (x ) , y las integrales que hay que realizar para aplicar la fórmula

 dv(x) e  v( x) du( x)

sean más fáciles de calcular que la integral de partida.

Para comenzar, una vez identificadas u( x), dv( x ) , la función u(x) se deriva para obtener du(x), y la función dv(x) se integra para obtener v(x). A continuación se aplica la fórmula. Ejemplo 3. a) Calcule I =

 xe dx

Consideramos

du ( x ) = dx u (x ) = x   v (x ) =  e x dx = e x dv ( x ) = e x dx  

x





I = xe x dx = xe x − e xdx = xe x − e x + K

b) Calcule I =  ln x dx 1 u( x) = ln x du (x ) = dx  x Consideramos   v (x ) = d x = x dv (x ) = dx 

 1 I = ln x dx = x ln x −  x dx = x ln x −  dx = x ln x − x + K x

Matemáticas. Primer curso. Facultad de Turismo y Finanzas 2-2. Integral Definida. Cálculo de áreas. La integral definida es un concepto desarrollado para el cálculo de áreas, especialmente el cálculo de áreas limitadas por curvas, aunque cada vez se utiliza con más frecuencia en numerosos ámbitos de la matemática aplicada. Para calcular áreas limitadas por distintas figuras geométricas (triángulo, cuadrado, rectángulo, trapecio, círculo, etc.) se dispone de las respectivas fórmulas que, muchas veces, proceden del razonamiento del desarrollo de la integral definida. Sin embargo, cuando es necesario calcular un área que no se ajusta ni se puede descomponer en ninguna de las anteriores figuras geométricas, entonces, forzosamente, hay que recurrir a la integral definida, pues en otro caso solamente obtendríamos un valor aproximado, no el real. Supongamos que tenemos que calcular el área limitada por la curva f(x), las rectas x = a y x = b y el eje de abscisas: y f(x)

a

x

b

Se puede conseguir un valor aproximado del área si ésta se descompone en rectángulos, particionando el intervalo [a,b] en pequeños subintervalos y tomando como altura el menor (o mayor) valor de la función dentro de cada subintervalo. La suma de las áreas de todos estos rectángulos, muy fáciles de calcular a partir del producto de la base por la altura en cada uno, permiten obtener un valor aproximado por defecto (o por exceso) del área de la región que se quiere calcular. Si el intervalo se particiona cada vez en un número mayor de subintervalos, se obtendrá un mayor número de rectángulos, la base será cada vez más pequeña, y la suma de todas las áreas de estos rectángulos, tanto por arriba como por abajo, se aproximará más al valor real del área del recinto. Cuando el número de rectángulos en que se descompone esa superficie tiende a infinito, tomando límites, se obtiene el área real del recinto, que sería igual a la integral definida entre a y b de la función f(x): 𝑛−1

𝑏

𝐴𝑟𝑒𝑎 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑛 )∆𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑛→∞

𝑛=0

𝑎

La integral definida permite calcular la variación de una función en un intervalo, conocida la función marginal, lo que supone una interesante aplicación al campo de la economía.

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Economía Aplicada III

Por ejemplo, conocida la función utilidad marginal, se puede calcular cuánto varía la utilidad del consumidor cuando pasa de consumir a unidades a b unidades del mismo bien. En otro caso, podría tratarse de una función de coste marginal y la integral definida permitiría calcular el aumento del coste total cuando la producción actual de x0 unidades pasa a ser de x1 unidades de producto.

Ejemplo económico 4. 2 El coste marginal, C’(x), de producir x unidades de un bien, es x + 7 x u.m. En la actualidad se producen 100 unidades. Se desea determinar el aumento del coste total de producción si se desea alcanzar un nivel de producción de 144 unidades. Si se denota por C(x) al coste de producción de x unidades del bien, la función marginal es C ' ( x) = x 2 + 7 x , y el aumento del coste total se podrá calcular como la integral definida del coste marginal entre 100 y 144.

Sea f una función continua y acotada en el intervalo a , b . La integral definida o integral de Riemann de la función f en el intervalo a , b  se representa por



b a

f (x )dx

Los valores a y b se denominan límite inferior y límite superior de integración, respectivamente.

La integral definida se calcula mediante la Regla de Barrow: Si f es continua en a , b  y existe una función F tal que F ' (x ) = f (x ), x  (a, b ) , entonces

 f ( x) dx = F(b) − F(a) b

a

La notación que se usa normalmente es:

 f (x )dx = F( x)  b

a

b a

= F (b) − F (a )

Para el cálculo de la integral definida, mediante la Regla de Barrow, hay que comprobar en primer lugar que la función f es continua en el intervalo [a, b]. Posteriormente, se integrará la función f(x), identificándola en su caso con una integral inmediata o utilizando alguno de los métodos de integración que se han visto en el apartado anterior, obteniendo F(x). Por último, se sustituye en esta función el límite superior, F(b), y el límite inferior, F(a), siendo el resultado de la integral definida la diferencia entre ambos valores obtenidos, y por lo tanto, un número real.

Matemáticas. Primer curso. Facultad de Turismo y Finanzas

Ejemplo 5. Obtenga la integral definida de f ( x ) = x 2 − x en 0, 2 . f(x) es continua en [0, 2], por ser polinómica, así que podemos utilizar l a Regla de Barrow, que permite calcular la integral de la función en dicho intervalo como x= 2



2 0

8 4 2 x 3 x 2 23 2 2 −  ( x − x ) dx = = − −0= − = 3 2 3 3 2  x= 0 3 2 2

Resolución del ejemplo económico 4. El coste marginal de producir x unidades de un bien, en el ejemplo inicial, es x 2 + 7 x u.m. El aumento del coste total de producción, desde las 100 unidades actuales hasta un nivel de producción de 144 unidades, se calcula como la integral definida de la función coste marginal en el intervalo 100, 144  , utilizando la Regla de Barrow (pues la función coste marginal es continua en el intervalo, ya que x 0), esto es: 𝑥=144

𝑥 3/2 𝑥3 = ] + 14 𝐶(144) − 𝐶(100) = ∫ (𝑥 + 7√𝑥 ⥂) ⥂ 𝑑𝑥 = 3 𝑥=100 3 100 1443 1003/2 1003 1443/2 ) = 665392 = + 14 −( + 14 3 3 3 3 144

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Por tanto, el coste total de producción aumentará 665392 u.m. si se desea alcanzar un nivel de producción de 144 unidades del bien, a partir de un nivel inicial de producción de 100 unidades.

Propiedades.a

 f ( x)dx = 0

a) La integral en un intervalo de un solo punto es nula,

a

b) La integral definida de la suma de funciones es la suma de las integrales definidas:

 ( f + g)( x)dx =  f ( x)dx +  g (x )dx . b

b

b

a

a

a

c) La integral definida del producto de una función por una constante es la constante por la integral de la función. b

 (kf )( x)dx = k  a

b

a

f ( x)dx

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8

Economía Aplicada III

d)

 f ( x )dx = −  f ( x )dx a

b

b

a

e) Si una función es continua en a ,b  ,



b a

f (x )dx =



c a

f (x )dx +



b c

f (x )dx , c  a ,b  .

f) Si una función tiene un número finito de discontinuidades de salto en

d1 , d 2 ,..., d k  [a, b ] , su integral es:



b a

f (x )dx =

d1



a

f (x )dx +



d2 d1

f (x )dx + ...+



dk dk− 1

f ( x )dx +



b dk

f ( x)dx .

Cálculo de áreas. Utilizaremos entonces la integral definida para calcular el área limitada por la curva de una función continua en un intervalo y el eje OX, entre las rectas x=a y x=b. Si f ( x)  0 en a , b  , el área limitada por la curva de la función en el intervalo [a,b] y el eje OX, como se muestra en la siguiente gráfica, f(x)

f(x)

A a

se calcula como: A=



b

a

x

b

f ( x )dx .

Si f ( x)  0 en a , b ,

f(x)

f(x)

a

b

x

A

entonces el área se calcula como

A= −



b

a

f (x )dx .

Matemáticas. Primer curso. Facultad de Turismo y Finanzas Si f es continua en a , b  y es positiva en algunos subintervalos y negativa en otros, entonces el área limitada por la gráfica de la curva, el eje OX y las rectas x = a , x = b se calcula sumando las áreas correspondientes a cada subintervalo. Por ejemplo, el área de la siguiente gráfica

()

f(x)

f(x)

A2 a

A1

c

x

b

se calcula como

A = A1 + A2 = −

c

a

f ( x)dx +

b

c f ( x )dx

Ejemplo 6. Obtenga el área limitada por la gráfica de la función en el intervalo . La siguiente figura representa el área a obtener.

1

Obsérvese que donde es

en

y , , se tiene que

2

en

y el eje horizontal

x

. Por tanto, el área pedida es . Dado que una primitiva de

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Economía Aplicada III

Una aplicación de la integral definida, en economía, es el cálculo del excedente del consumidor. Si se representa la cantidad q en el eje de abcisas y el precio p en el eje de ordenadas, la función de demanda, D(q), representará el precio unitario que el consumidor está dispuesto a pagar cuando la cantidad demandada es q. Simplificando conceptos, se podría decir que el excedente del consumidor viene determinado por el área que queda por debajo de la curva de demanda y por encima del precio que se obtiene participando en el mercado, siendo q no negativa. Para calcularla se utilizará la integral definida. Ejemplo económico 7. La curva de demanda de un producto viene dada por D(q) = 20 – 0.03q2, siendo q la cantidad demandada. Se desea calcular el excedente del consumidor si la demanda asciende a 10 unidades de producto. Como la cantidad demandada es igual a 10 unidades, q = 10  el precio p sería: p = D(10) = 20 – 0.03 (10)2 =17 u.m. Para hallar el excedente del consumidor cuando la cantidad demandada es igual a 10, hay que calcular la integral definida de la diferencia entre la función de demanda D(q) y el precio de mercado para dicho nivel de demanda, p =17: 10

10

∫ (20 − 0.03𝑞 2 − 17)𝑑𝑞 = ∫ (3 − 0.03𝑞 2 )𝑑𝑞 = (3𝑞 − 0

0

p

Excedente del consu mido r p0=17

p=17 D(q)=20-0.03q2

q0=10

q

0.03𝑞 3 10 ] ) = 20 0 3...