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Tema 7 Distribuciones de probabilidad continua: Distribución uniforme y distribución normal • OA1 Enumerar las características de la distribución uniforme. • OA2 Calcular probabilidades con la distribución uniforme. • OA3 Enumerar las características de la distribución de probabilidad normal. • OA4 Convertir una distribución normal en una distribución normal estándar. • OA5 Encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria normalmente distribuida se ubique entre dos valores. • OA6 Encontrar las probabilidades por medio de la regla empírica. • OA7 Aproximar la distribución binomial mediante la distribución normal. Repaso: Variables (aleatorias) discretas y continuas VARIABLE ALEATORIA DISCRETA : Variable aleatoria que adopta sólo valores claramente separados. Resultado de contar algo VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Si la variable aleatoria es continua, es una distribución de probabilidad continua. El resultado de medir algo Función Densidad de Probabilidad • P(x) 0 para todo x (probabilidad no puede ser negativa) • P(x)dx = 1 (El área total bajo la curva entre a y b es 1) • P(x=c)=0 (Las probabilidades puntuales son 0) – Sólo tiene sentido calcular intervalos P(a < X < b).

Distribución uniforme continua La distribución de probabilidad uniforme es, tal vez, la distribución más simple de una variable aleatoria continua. La distribución tiene forma rectangular y queda definida por valores mínimos y máximos.

EJEMPLO: • La Southwest Arizona State University proporciona servicio de transporte de autobús a los estudiantes mientras se encuentran en el recinto. Un autobús llega a la parada de North Main Street y College Drive cada 30 minutos, entre las 6 de la mañana y las 11 de la noche entre semana. Los estudiantes llegan a la parada en tiempos aleatorios. El tiempo que espera un estudiante tiene una distribución uniforme de 0 a 30 minutos. • 1. Trace una gráfica de la distribución. • 2. Demuestre que el área de esta distribución uniforme es de 1.00. • 3. ¿Cuánto tiempo esperará el autobús “normalmente” un estudiante? En otras palabras, ¿cuál es la media del tiempo de espera? ¿Cuál es la desviación estándar de los tiempos de espera? • 4. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante espere más de 25 minutos? • 5. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante espere entre 10 y 20 minutos? • 5. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante espere exactamente 15 minutos?

•

´ −σ , X´ +σ ) , ( X´ −2 σ , X ´ +2 σ ) 6. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante espere ( X ( X´ −3 σ , X´ +3 σ )

1 · ( 30 −0 ) =1 30−0

•

área= ( altura) ( base )=

•

μ=

•

( b−a ) ( 30) = =8.66 σ= 12 12

a+ b 30 = =15 2 2

√

2

√

2

P (25 < x< 30 )=( altura )( base )=

• • • • • • •

y

( 301 ) ( 30−25 )= 305 =0.1667

( 301 ) ( 20−10 ) = 3010 =0.333 1 P ( x =15 )= ( altura )( base ) =( ) ( 15−15 )=0 30 P ( 10 < x< 20 ) =( altura )( base ) =

( X´ −σ , X´ +σ ) =( 15 −8.66,15 + 8.66 ) = ( 6.34,23.66 )

23.66−6.34 17.32 = =0.58 30 30 ´ +2 σ ) =( 15 −2∗8.66,15+ 2∗8.66 )= (−2.32,32 .32 ) ( X´ −2 σ , X P ( −2.32< X 1 )=0.5 −0.16=0.34 Recueda que P ( Z 0,84 )=0.20 650 3000−2454 3500 −2454 P (3500 > X > 3000 ) =P >z > =P ( 1,61 > z> 0,84 ) =P( z >0.84 )−P ( z>1.61 )=0.20−0.05=0 650 650 P ( X >3000 )=P z>

(

P (2500 > X > 3500 ) =P

)

−2454 =P 1.61 > z> 0.07 =P z >0.07 −P z >1.61 =0.47−0.05=0 ) ( ) ( ) ( 3500650−2454 >z > 2500650 ) (

Ejercicio 27, pág.241 27. De acuerdo con una investigación de medios de comunicación, el estadounidense común escuchó 195 horas de música durante 2004. Esto se encuentra por debajo de las 290 horas en 1999. Dick Trythall es un gran aficionado de la música country y del oeste. Escucha música mientras trabaja en casa, lee y maneja su camión. Suponga que la cantidad de horas que escucha música tiene una distribución de probabilidad normal, con una desviación estándar de 8.5 horas. • a) Si Dick se encuentra por encima de 1% en lo que se refiere al tiempo que escucha música, ¿cuántas horas al año escucha música?

•

b) Suponga que la distribución de tiempos para 1999 también tiene una distribución de probabilidad normal, con una desviación estándar de 8.5 horas. ¿Cuántas horas en realidad escucha música 1% de los que menos escuchan música?

Ejercicio 33, pág. 245 33. Dottie's Tax Service se especializa en declaraciones del impuesto sobre la renta de clientes profesionistas, como médicos, dentistas, contadores y abogados. Una auditoría reciente de las declaraciones que elaboraba la empresa, que llevó a cabo el Internal Revenue Service, IRS, indicó que 5% de las declaraciones que había elaborado durante el año pasado contenía errores. Si esta tasa de error continúa este año y Dottie's elabora 60 declaraciones, ¿cuál es la probabilidad de que cometa errores en: a) más de seis declaraciones? b) por lo menos seis declaraciones? c) seis declaraciones exactamente?

Problema 1 Un informe reciente publicado en el periódico indicaba que una familia común de cuatro miembros gasta €490 al mes en alimentos. Suponga que la distribución de gastos de alimento para una familia de cuatro miembros sigue una distribución normal, con una media de €490 y una desviación estándar de €90. a) ¿Qué porcentaje de familias gasta más de €30 y menos de €490 en alimentos al mes? b) ¿Qué porcentaje de familias gasta menos de €430 al mes en alimentos? c) ¿Qué porcentaje de familias gasta entre €430 y €600 mensuales en alimentos? d) ¿Qué porcentaje de familias gasta entre €500 y €600 mensuales en alimentos?

e) Repite los puntos anteriores suponiendo que el gasto se rige mediante una distribución uniforme con un mínimo de 30€ y máximo de 950€. Compara y comenta los resultados. ¿Qué distribución te parece más adecuada? Problema 2 Un estudio de llamadas telefónicas de larga distancia realizado en las oficinas centrales de Telefónica demostró que las llamadas, en minutos, se rigen por una distribución de probabilidad normal. El lapso medio de tiempo por llamada fue de 4.2 minutos, con una desviación estándar de 0.60 minutos. a) ¿Qué porcentaje de llamadas duró entre 4.2 y 5 minutos? b) ¿Qué porcentaje de llamadas duró más de 5 minutos? c) ¿Qué porcentaje de llamadas duró entre 5 y 6 minutos? d) ¿Qué porcentaje de llamadas duró entre 4 y 6 minutos? e) Como parte de su informe al presidente, el director de comunicaciones desea informar la duración de 4% de las llamadas más largas. ¿Cuál es este tiempo? Problema 3 Media Markt promueve una política de devoluciones sin complicaciones. La cantidad de artículos devueltos al día tiene una distribución normal. La cantidad media de devoluciones de los clientes es de 10.3 artículos, y la desviación estándar, de 2.25. a) ¿Cuál la probabilidad que haya 8 o menos artículos devueltos? b) ¿ Cuál es la probabilidad que haya entre 12 y 14 artículos devueltos? c) ¿Existe alguna probabilidad de que haya un día sin devoluciones? Problema 4 Un auditor de Health Maintenance Services of Georgia informa que 40% de los asegurados de 55 años de edad y mayores utilizan la póliza durante el año. Se seleccionan al azar 15 asegurados para los registros de la compañía. a) ¿Cuántos asegurados cree que utilizaron la póliza el año pasado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que diez de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? d) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 de los asegurados seleccionados hayan utilizado la póliza el año pasado? Problema 5 Un estudio informó que 7.5% de los estudiantes de España tiene problemas con las drogas. Una oficina antidroga decidió investigar esta afirmación. En una muestra de 20 trabajadores: a) ¿Cuántos estudiantes cree que presenten problemas de adicción a las drogas? ¿Cuál es la desviación estándar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los estudiantes de la muestra manifieste problemas de adicción? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los estudiantes de la muestra presente problemas de adicción? Problema 6 Hay 100 empleados en el Corte Inglés del centro. Cincuenta y siete de los empleados son trabajadores de la producción, 40 son supervisores, 2 son secretarias y el empleado que queda es el presidente. Suponga que selecciona un empleado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de producción? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado sea un trabajador de producción o un supervisor? c) Respecto del inciso b. ¿Estos eventos son mutuamente excluyentes?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado no sea trabajador de la construcción ni supervisor? Problema 7 La probabilidad de que un misil de crucero dé en el blanco en cierta misión es de 0.80. Cuatro misiles de crucero se envían hacia el mismo blanco. ¿Cuál es la probabilidad: a) de que todos den en el blanco? b) de que ninguno dé en el blanco? e) de que por lo menos uno dé en el blanco? Ejercicio3, pág. 226 3. America West Airlines informa que el tiempo de vuelo del Aeropuerto Internacional de Los Ángeles a Las Vegas es de 1 hora con 5 minutos, o 65 minutos. Suponga que el tiempo real de vuelo tiene una distribución uniforme de entre 60 y 70 minutos. a) Muestre una gráfica de la distribución de probabilidad continua. b) ¿Cuál es el tiempo medio de vuelo? ¿Cuál es la varianza de los tiempos de vuelo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo sea menor que 68 minutos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo sea mayor que 64 minutos?

Autoevaluación 7.4 Los empleados de Cartwright Manufacturing obtienen calificaciones mensuales de eficacia con base en factores como productividad, actitud y asistencia. La distribución de las calificaciones tiene una distribución de probabilidad normal. La media es de 400, y la desviación estándar, de 50. a) ¿Cuál es el área bajo la curva normal para calificaciones mayores de 482? Exprese el área en notación probabilística. b) ¿Cuál es el área bajo la curva normal entre 400 y 482? Exprese el área en notación probabilística. c) Muestre las facetas de este problema en un diagrama.

Autoevalución 7.5 La distribución de ingresos semanales de los supervisores de un turno es naturaleza normal con una media de $1000 y una desviación estándar de $100. a) ¿Qué fracción de los supervisores de turno tiene ingresos entre $750 y $1225? Trace una curva normal y sombree el área correspondiente en el diagrama. b) ¿Qué fracción de los supervisores de turno tiene ingresos semanales entre $1100 y $1225? Trace una curva normal y sombree el área correspondiente en el diagrama....