TEMA 7 Transf Fourier - tema PDF

Preview

Summary

Warning: TT: undefined function: 32 TRANSFORMATA FOURIER  Determinați, prin integrare directă, transformata Fourier pentru fiecare dintre următoarele funcții  (utilizați și paritatea funcțiilor): a) 2 ,0, 0t et ft...

Description

TRANSFORMATAFOURIER 1. Determinați,prinintegraredirectă,transformataFourierpentrufiecaredintreurmătoarelefuncții (utilizațișiparitateafuncțiilor): 

e 2 t , t  0 a) f t      0, t  0

 t , t  1  0, t  1

d) f t   

t 2  t , 0  t  1  g) f  t    în rest  0,

2i t e ,  0,

1, 0  t  a b) f  t     0, in rest

c) f  t   

t 1  t 1

e 3t ,  1  t  0 e 2t  t  1, 0  t  1   f) f t     e) f  t    t  1, 0  t  1  în rest 0,  0, în rest  h) f  t   e   ,    t   și a  0  a t

 2. Determinațifuncțiaoriginal f  t  ,datăprinecuațiaintegrală:

, 0    1 ;  1

  f  t  cos t dt  g   ,cu g     0, 

a)

0



 2 , 0    1 f  t  cos t dt  g   ,cu g      ;  1  0,

b)



c)

 sin  f  t sin t dt  g  ,cu g      0,

0

, 0     .  

 0

 3. DeterminațitransformataFourier F   ,careestedatăprinecuațiaintegrală:

 cost , 0  t   F    cos t d   g t  ,cu g  t    ; 0 t   0, 0 t 1   1, ; b)  F    sin t d   g t  ,cu g  t    0 2 t, 1  t  2 a)

c)









0

1  t 2, 0  t  1 . F    sin t d   g t  ,cu g  t    t 1  0,

 4. CalculațitransformataFourierpentruurmătoarelefuncții,folosindteoremareziduurilor:  a) f t  

2  2 t 9

b) f  t  

t

t

2

     1 

 9 t  1 2



c) f  t  

1

t

2

4

2



Indicațiișirăspunsuri: 1. a)

e cos a 1 i  sin a i  ei(2 ) i ;c) ;d) ;b)  2  2i  

i 

1  i  ; 2

 i i 3 i 2 i i e i  1 2 i  e 1 1  e  e   i  1 e   1 e  i  1    ;h)sescrie e) ;f) ;g) 2 3 2 2 3  i 2  i   e i t  cos t  i sin t ,sefoloseștefaptulcăfuncțiasinesteimparășiintegralaeipeundomeniu   2a  a t cos tdt  2  e  a t cos tdt  2 simetriceste0,șiobținem: F     e   0 a  2 2. a)Seprelungescprinparitate,peintervalul  ,0 funcțiile f  t  și g   ,obținîndu‐seastfel

1 funcțiilepare f  t  și g   pe  ,   .Ecuațiainițialădevine:

2





f  t  cos t dt  g    .Se

 cos  t  i sin t șiseînlocuiește cos  t  e i t  i sin t înecuația integralășisefoloseștefaptulcă f  t  sin t esteofuncțieimpară(deciintegralaeivafizero).Seobține  i t

foloseșteformulaluiEuler: e 





i t f t  e  dt  2 g   ,adică F    2 g   .Conformteoremeideinversiune,

 1  1  f t   1 F   e i t d   g   e i t d   g   cos t  i sin  t d     2     1    g   cos t d ( i  g  sin t d   0 datorităsimetrieidomeniuluideintegrareșia    faptuluică g   sin t estefuncțieimpară).Sefoloseșteșiparitateafuncței g   cos t șiseobține:

2 f t  

2 2 g  cos t d     cos t d   ...   cos t t sin t 1 ;Funcțiaoriginalinițială    t 

1

0

0

este f t  

2

2 cos t  t sin t 1 ,pentru t  0 ;  t2

2 2 2 t cos t  t  2 sin t b)Seprocedeazăanalogcua)șiseobține: f  t    pentru t  0 ; t3 

c)Seprocedeazăanalogcua),darseprelungescfuncțiileprinimparitate ,0  ;Seajungela

2 f t  





0

g  sin t d  

2





0

sin  sin t d   ...  

2 t sin  t (s‐aufolositformulele  1  t 2 

1  cos a  b   cos a  b  șiapoipentruprelucrarearezultatului 2 2 t  sin  t ,pentru t  0 , t  1 . sin  a  b   sin a  cos b  sin b  cos a );seobțineînfinal: f  t    1  t 2 

trigonometrice: sin a  sin b 

3. a)Seprelungescprinparitate,peintervalul  ,0  funcțiile g  t  și F   ,obținîndu‐seastfel

1 funcțiilepare g  t  și F   pe  ,  .Ecuațiainițialădevine:

2





F  cos t d   g  t  .Se

foloseșteformulaluiEuler: ei t  cos  t  i sin  t șiseînlocuiește cos t  e i t  i sin t înecuația

   sin t esteofuncțieimpară(deciintegralaeivafizero).Se integralășisefoloseștefaptulcă F

2 

1   1 F   cos t d  g  t  ,adică f t   g t  (conformteoremei  2     deinversiune).PentruaobținetransformataFourierafuncției f t  folosimdefiniția: 1

înmulțeștecu

F    

1  1  f  t  e i t dt   g  t  ei t dt   g    cos  t  isin  t dt 









1



șiseobține

 

g  t  cos t dt (





i







g  t  sin t dt  0 datorităsimetrieidomeniuluideintegrareșia





faptuluică g t  sin t estefuncțieimpară).Sefoloseșteșiparitateafuncței g t cos t șiseobține:

2 F   



2  g t  cos t dt    

0



0

cos t  cos t dt  ... 

2  sin  ;s‐aufolositformulele  1   2 

1  cos a  b   cos a  b  șiapoipentruprelucrarearezultatului 2 sin  a  b   sin a  cos b  sin b  cos a );TransformataFourierafuncțieioriginalinițialăeste

trigonometrice: cosa  cosb 

F   

2  sin  ,pentru   0,   1 ;   1  2 

b)Seprocedeazăanalogcua),darseprelungescfuncțiileprinimparitate ,0  ;Seajungela

2 F   



2 2  g  t  sin  t dt     1  sin  t dt    2  t   sin  t dt  ...   

1

0

2

0

1

TransformataFourierafuncțieioriginalinițialăeste F   

  sin   sin 2   2

2    sin   sin 2  

2

,pentru   0 ;

c)Analogcub),seprelungescfuncțiileprinimparitate  ,0 șiseajungela

2 F   







0

g t  sin t dt 

1 t   sin t dt  ...     2

1

2

2 2  4  cos    sin  1

0

Fourierafuncțieioriginalinițialăeste F   

 3

2 2  4 cos    sin   1

3

.Transformata

,pentru   0 .

2  ei z .Funcțiaarepoliisimpli z  i 5 (însemipl.inf., z 5 1 pentru   0 )și z  i 5 (însemipl.sup.,pentru   0 ).Avem: Res f  z   e 5 și z 5 i i 5 1  5 Res f  z    e .Seobține,conformteoremeireziduurilor: z  5i i 5 4. a)Seasociazăfuncțiacomplexă: f  z  

2

 2 5 5 e , 0  2 5   5  5 ,adică F     sgn    F     e . 5  2 5   5 e ,  0  5 1  e i z .Funcțiaarepoliisimpli z   i și z  3i b)Seasociazăfuncțiacomplexă: f  z   2 2 z z 9 1      (însemipl.inf.,pentru   0 )și z  i și z  3i (însemipl.sup.,pentru   0 ).Avem:

3 

1 3 1 1 1 e , Res f  z   e  , Res f  z    e  3 și Res f  z  e   .Valoarea z  3 i z i z i 16 16 16 16 transformateiFourierpentru   0 (semipl.sup)este,conformteoremeireziduurilor:  i  3 i  3 F1      e  e  .Similar,pentru   0 (semipl.inf)avem: F2     e   e  .Seobțineîn 8 8 Res f  z    z  3i

final:

 i  3 0  8  e  e  , i  3 F     ,adică F    e e  .  i 8  e    e 3 ,   0  8



c)Seasociazăfuncțiacomplexă: f  z  

1

z

2

 4

2

e

 i z



.Funcțiaarepoliideordin2: z  2i (însemipl.

inf.,pentru   0 )și z  2i (însemipl.sup.,pentru   0 ).Avem: Res f  z    z  2i

Res f  z 

i  e 2  1  2 

z  2 i

32

 16

2

1  2  32

 16

e 2  1  2  .Similar,pentru   0 (semipl.inf)avem:

 e 2  1 2  .Seobțineînfinal:

  2  0  16  e 1  2 ,  2  F     ,adică F      sgn      e 1 2  . 16     e 2   1 2  ,   0  16

4 

și

.ValoareatransformateiFourierpentru   0 (semipl.sup)este,conform

teoremeireziduurilor: F1   

F2    

ie...