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• Introducción.
• Bucle típico de regulación.
• Sistemas físicos.
• Modelado en función de transferencia....

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REGULACIÓN AUTOMÁTICA

• • • •

Introducción. Bucle típico de regulación. Sistemas físicos. Modelado en función de transferencia.

Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

1

Introducción •

2

OBJETIVO: Se pretende controlar de forma automática, una Variable analógica de un sistema (Y), mediante una Variable de Mando o consigna (U), analógica, y que este control no se vea afectado por perturbaciones.

consigna

resultado

U

Y

U

t

Proceso t

Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

Introducción •

•

3

Se pretende estudiar, y modificar si es necesario, el comportamiento dinámico de un sistema (DE UNA VARIABLE ANALOGICA DEL SISTEMA) frente a órdenes de mando, perturbaciones e incertidumbres – Mediante el análisis se establece la calidad del funcionamiento del sistema en base a ciertas propiedades comunes. – Mediante el diseño se modifica el comportamiento del sistema para mejorar la calidad de algunas o de todas sus propiedades. La mejora del comportamiento dinámico conlleva – Productos de mayor calidad. – Minimización de desperdicios. – Protección del medio ambiente. – Mayor rendimiento de la capacidad instalada. – Mayores márgenes de seguridad. – Reducción del consumo energético. – Disminución de costes.

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Utilidad •

Presente en múltiples campos y con una larga historia – Procesos industriales. – Generación y transmisión de energía. – Instrumentación y dispositivos electrónicos. – Transporte. – Mecatrónica. – Economía. – Medicina. – …

Regulador centrífugo de Watt Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

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Componentes •

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Conjunto de elementos interconectados, que al ser configurados proporcionarán una respuesta deseada – Planta-proceso-sistema a controlar: Conocimiento del sistema físico. – Objetivos del control: • • •

– – – – –

Especificaciones a alcanzar. Variables a controlar. Nivel de calidad pretendido.

Sensores: Medición de variables significativas. Actuadores: Evolución de las variables. Algoritmos de control: Influencia en cómo evoluciona el sistema. Perturbaciones e incertidumbres: Eliminación/minimización de su efecto. Otros: Comunicaciones, cómputo, configuración e interfaces.

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Bucle de regulación: Lazo abierto •

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En la configuración de lazo abierto, la disposición de los componentes del sistema de control es tal que – El actuador controla directamente el proceso, sin que exista verificación del estado de la salida. – Funcionamiento correcto en ausencia de perturbaciones. – Incumplimiento de especificaciones con perturbaciones o incertidumbres. – Fácil de ajustar, sencillo y económico. Perturbaciones p(t) u(t)

Regulador Entrada / Referencia / Consigna

w(t)

v(t)

Actuador Variable de control

y(t)

Proceso Actuación

Salida / Variable a controlar

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Lazo abierto: Ejemplo

Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

7

Bucle de regulación: Lazo cerrado •

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En la configuración de lazo cerrado, la disposición de los componentes del sistema de control es tal que – Se mide la salida actual y se compara con la salida deseada. La diferencia entre ambas señales se utiliza para generar nuevos valores de la variable de control, que tienden a reducir dicha diferencia. – Eliminación o minimización de la influencia de las perturbaciones. – Difícil de ajustar, complejo y caro. p(t) u(t)

e(t)

v(t)

Regulador

w(t)

Actuador

y(t)

Proceso

ym(t)

Sensor

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Lazo cerrado: Ejemplo

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Lazo cerrado: Componentes

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10

Bucle de regulación: Lazo cerrado

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•

Ejemplos: Especificar el objetivo y la arquitectura de los siguientes sistemas – Climatizador automático de un vehículo. – Control de velocidad de un vehículo. – Horno de cocina. – Control de temperatura de viviendas. – Piloto automático de un barco.

•

Buscar ejemplos de sistemas continuos de bucles cerrados en los siguientes entornos: – Sistemas fisiológicos (cuerpo humano). – Sistemas económicos.

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Bucle de regulación: Lazo cerrado • •

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Cómo se Hace? 1- Se estudia el sistema en bucle abierto. ¿Cómo se comporta ante variaciones de consigna Tipo?

Y

t •

Entrada

Proceso

2- Se diseña e inserta un dispositivo controlador y se ajusta su funcionamiento en función de: • •

Información que se ha extraído del punto 1. El comportamiento que se desea para el sistema (rápido y nervioso, suave pero lento, etc)

U U

Y Controlador

Proceso

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t

Bucle de regulación: Lazo cerrado •

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Cómo se Hace? 1- Se estudia el sistema en bucle abierto. Dada una entrada, cómo es la salida? es decir, antes de modificar el funcionamiento de un sistema a voluntad, hay que saber como responde a los estímulos/ordenes que después le vamos a dar. Para hacer esto de forma sistemática, hay que obtener un Modelo de Comportamiento del sistema que representa la variación de la salida en función de la variación de la entrada. Se puede modelar el funcionamiento de a mayoría de los sistemas físicos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias.

y(t)

x(t) t

x(t)

Proceso

y(t)=?

y(t)=f(x(t)) Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

Sistemas físicos •

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El comportamiento dinámico de los sistemas físicos viene determinado por las leyes físicas fundamentales del proceso, expresadas generalmente en ecuaciones diferenciales ordinarias.

d n y (t ) d n−1 y(t) dy (t ) d mu (t ) dm −1u (t ) du (t ) an a a b b m−1 1 1 0 y (t ) = b m ... ... + an − 1 + + + + + + + b 0u (t ) n 1 − m − dt dt n dt dt m dt 1 dt

•

Un sistema lineal verifica las propiedades de y1 = f (u1 ); y2 = f (u 2 ); ⇒ y1 + y 2 = f (u1 + u 2 ) – Superposición: y = f (u); ⇒ Ky = f ( Ku) – Homogeneidad: ⇒ Lineal y = Ku – Ejemplos: y = K u2

⇒

y = K1u + K 2

•

No lineal ⇒

No lineal

Un sistema es lineal si todas sus ecuaciones diferenciales son lineales.

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Sistemas eléctricos: Componentes •

Elementos básicos – Resistencia:

v(t) = R i(t) ;

– Bobina:

v(t) = L

d i(t) ; dt

– Condensador:

i(t) = C

dv (t ) ; dt

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Sistemas mecánicos de traslación •

Elementos básicos – Resorte:

f (t ) = k x (t ) ;

– Rozamiento:

f (t ) = B

– Masa:

f ( t) = M

d x(t) = B x (t ) ; dt

d2 x (t ) = M x(t) ; d t2

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Ejemplos de funciones de salida de sistemas

• Sistemas mecánicos de translación. • Ejemplo (Leyes de Newton). dy (t ) d 2 y (t ) f (t ) − Ky (t ) − B =m dt 2 dt f = Ky

f = Bv

F(t)=f(y(t))

F(t)

y(t)=? Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

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Ejemplos de funciones de salida de sistemas

• Sistemas eléctricos. i

R

Entrada vi(t)

vi (t ) = Ri (t ) + L

Vi=f(Vo(t))

L C

di + vo (t ) dt

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Salida vo(t)

Vo(t)=? i (t ) = C

dvo (t ) dt

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Ejemplos de funciones de salida de sistemas

• Cómo Resolvemos ecuación? •Cómo despejamos?

la

–Dada U(t), y la Ec diferencial, cómo llegamos a la expresión de Y(t)?

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U(t)=f(Y(t)) Y(t)=?

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Funciones de transferencia u(t) U(s)

•

y(t) G(s)

Y(s)

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La función de transferencia, G(s), de un sistema lineal es la relación entre las transformadas de Laplace de la salida y de la entrada.

Y (s) bm s m + bm−1 sm −1 +  + b1 s + b0 N ( s) ; = G (s ) = = U ( s) an sn + an −1 sn −1 +  + a1 s + a0 D (s)

• • • • •

En general, es una relación entre polinomios en la variable de Laplace, s. Las raíces/soluciones del polinomio numerador, N(s), se denominan ceros. Las raíces/soluciones del polinomio denominador, D(s), se denominan polos. La función de transferencia puede ser de lazo abierto o de lazo cerrado, en función de la configuración del sistema. La salida del sistema se obtiene aplicando la transformada inversa de Laplace y (t ) = L

−1

[Y (s)] = L −1[G (s).U (s)];

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Función de transferencia.

N (s ) D( s)

R(s)

G (s ) =

C(s)

C (s ) N ( s ) = R ( s ) D ( s)

C ( s ) = G ( s) R (s )

c (t ) = L− 1[G (s )R (s )] Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

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La transformada de Laplace. •Transformada de Laplace. ∞

F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt 0

• La señal f(t) puede recuperarse desde F(s) usando la expresión: σ + j∞

1 f (t ) = F ( s) e st ds ∫ 2πj σ − j∞

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Transformada de Laplace •

Definición

•

Ejemplo

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∞

L [ f (t )] = F (s) = ∫0 e− st f (t) dt ;

2 0< t≤ 2   f ( t) =  − 2 + 2 t 2 < t ≤ 3 6 − (2 / 3) t 3 < t ≤ ∞ 

2

3

∞

0

2

3

F (s) = ∫ e− st 2 dt + ∫ e −st ( −2 + 2 t) dt + ∫ e − st[6 − (2 / 3) t] dt 2

3

∞

2 1  2  2 1 4 t 1   2  = − e −st  +  1− t − e −st  +  − 3 + + e −st  = 1 + e − 2s − e −3s  ; s s  2 s  3 3s   3 s  s 3s 0 s   Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

Ejemplos de funciones de transferencia

• Sistemas mecánicos de translación. • Ejemplo (Leyes de Newton). dy (t ) d 2 y (t ) f (t ) − Ky (t ) − B =m dt 2 dt f = Ky

f = Bv

F(t)

1 ms 2 + Bs + K

F ( s ) = KY (s ) + BsY (s ) + ms 2Y ( s )

G( s) =

Y (s ) 1 = 2 F (s ) ms + Bs + K

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Ejemplos de funciones de transferencia

• Sistemas eléctricos. i

R

L C

Entrada vi(t)

vi (t ) = Ri (t ) + L

di + vo (t ) dt

Vi ( s) = RI ( S ) + LsI ( s) + Vo ( s)

G( s) =

1 Lcs 2 + Rcs +1

Salida vo(t)

i (t ) = C

dvo (t ) dt

I ( s ) = CsVo ( s )

Vo (s ) 1 = Vi ( s) Lcs 2 + Rcs + 1

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Transformada de Laplace: Tabla

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f(t)

F(s)

f(t)

F(s)

Impulso unitario

1

t n e −α t

n! ( s + α ) n+1

Escalón altura H

H s

senωn t

ωn s + ωn2

Rampa pendiente β

β s2

cos ωnt

s s + ωn2

n

n! sn+1

1− cos ωn t

ω n2 s(s 2 + ωn2 )

t

e

−α t

1 s +α

ωn 1− δ 2

e −δ ω ntsen (ωn 1− δ 2 t )

2

2

ωn2 s2 + 2δ ω n s + ω 2n

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La transformada de Laplace. •Transformada de Laplace de funciones típicas • Función impulso

f(t)

f ( t ) = δ (t ) F (s) = 1

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La transformada de Laplace.

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•Transformada de Laplace de funciones típicas • Función escalón

f(t) f(t)=M

f (t ) = Mu0 (t ) 1 t ≥ 0 u0 (t ) =  0 t < 0 ∞

∞

e −st −st − st L[ f (t )] = F ( s ) = ∫ f (t )e dt = ∫ Me dt = −M s 0 0

F ( s) =

M s

∞

= 0

M s

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La transformada de Laplace. •Transformada de Laplace de funciones típicas • Función rampa

f(t)

f (t ) = Mtu0 (t ) 1 t ≥ 0 u0 (t ) =  0 t < 0

f(t)=Mt

M F ( s) = 2 s Fundamentos de Automática – Organización Industrial – Tema 7: Conceptos básicos de regulación automática

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La transformada de Laplace. •Transformada de Laplace de funciones típicas • Función parabólica

f (t ) = Mt u0 (t ) 2

F ( s) =

f(t) f(t)=Mt2

M s3

• Y en general,

f (t ) = Mt n u0 (t ) F ( s) = M

n! s n+1

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Transformada de Laplace: Propiedades •

Linealidad

L [k1 f1 (t) ± k2 f2 (t) ] = k1 F1 (s) ± k2 F2 (s) ;

•

Derivación

 d n f (t)  n  n−1 d n −1 f (t )  n− 2 d f (t ) + + ; L  n  = s F (s) − lim  s f (t ) + s n −1  t t t t d d d → 0    

•

Integración

t F (s) ; L  ∫0 f (τ ) dτ  =

•

Desplazamiento en el tiempo

L [ f (t − T )] = e −sT F (s) ;

•

Desplazamiento complejo

L [ e α t f (t)] = F ( s ± α ) ;

•

Teorema del valor inicial

lim f (t ) = lim s F (s) ;

•

Teorema del valor final

lim f (t ) = lim s F (s) ;





s

t→0 t →∞

s→∞ s →0

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La transformada de Laplace.

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•Propiedades de la TL. • Si L[f1(t)] = F1(s) y L[f2(t)] = F2 (s):

L[ af1 ( t) + bf2 (t )] = aF1 ( s) + bF2 ( s)  df (t )  L  1  = sF1 ( s) − f1 (0)  dt 

{

L∫

t

0

}

1 f (t )dt = F1 ( s) s

L[ e− at f1 (t )] = F1 ( s + a)  d 2 f (t )  df (0) 2 L = − s F s s ( )  2 dt  dt 

L[ f (t − d ) ] = e − sd F ( s )

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La transformada de Laplace. •Propiedades de la TL. Demostración • Si L[f(t)] = F(s) y L[g(t)] = G (s): L[af ( t ) + bg( t ) ] = aF(s) + bG (s) ∞

∞

∞

L[af ( t ) + bg ( t ) ] = ∫ [af ( t ) + bg( t ) ]e dt = a ∫ f ( t )e dt + b ∫ g( t )e −st dt = aF(s) + bG (s) − st

− st

0

 df ( t )  = sF(s) − f (0) L  dt 

∫ u dv = uv − ∫ v du

0

0

∞

df ( t ) −st  df ( t )  =∫ L e dt   dt  0 dt df ( t ) dv = dt u = e − st ⇒ v = f (t ) du = −se − stdt dt

∞ df ( t ) −st  df ( t )  L e dt = e−st f (t ) =∫   dt  0 dt

[

∞

∞

] + ∫ f (t)se 0

− st

dt = − f (0) + sF(s)

0

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La transformada de Laplace.

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•Propiedades de la TL. Demostración L [f ( t − d ) ] = e −sd F(s) ∞

L [f ( t − d ) ] = ∫ f ( t − d )e −st dt

t − d = τ t = 0 ⇒ τ = −d; t = ∞ ⇒ τ = ∞

0 ∞

∞

∫ f ( t − d)e dt = ∫ f ( τ)e −st

0

−d

∞

−s ( τ +d )

d τ = ∫ f ( τ)e 0

∞

− sd − sτ

e dτ = e

− sd

− sτ −sd f ( ) e d e F(s) τ τ = ∫ 0

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Transformada de Laplace: Aplicación •

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Ejemplo de aplicación de las propiedades de la transformada de Laplace. f2 ( t) = 2( t − 2) f1 (t ) = 2

f (t) = f1(t) + f2 (t) + f3 (t) ; F (s) = L [ f1 (t ) + f2 (t) + f3 (t)] = L [ f1 (t)] + L [ f2 (t)] + L [ f3 (t)]

f 3 (t ) = −

16 6

(t − 3)

1 1 16 1 = 2 ⋅ + 2 ⋅ 2 ⋅ e −2 s − ⋅ 2 ⋅ e −3 s s s 6 s

2 1 4  = 1 + e − 2s − e − 3s  ; 3s s s 

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Transformada inversa de Laplace

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•

La descomposición en fracciones simples, permite diferenciar la con...