Teoria Sumatoria - Símbolo sumatorio, progresión aritmética, progresión geométrica, progresión PDF

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Símbolo sumatorio, progresión aritmética, progresión geométrica, progresión armónica, teorema del binomio....

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Capítulo 2

Sumatoria, Progresiones y Teorema del Binomio

2.1.

Símbolo Sumatorio

P

Es un símbolo muy útil y conveniente que permite escribir sumas en forma abreviada. Este símbolo se representa mediante la letra griega sigma ejemplo, la suma S

= 12 + 22 + 32 +

se puede abreviar S

que se lee "suma de

k

2

desde

1 hasta

n

=

X n

k

que representa la letra

:::

+

n

S

( de suma ). Por

2

2

k =1

". Los números que aparecen encima y debajo de la letra

sigma indican el recorrido de los valores de k . La letra

k

se conoce como

índice de sumación.

Es

claro que no es necesario utilizar precisamente la letra k , sino que se puede tomar en su lugar otra letra cualquiera. Por ejemplo, en vez de

X n

k

2

X n

podemos escribir

i

2

todas representando la misma suma. Las letras

i ; j; k

desea formar la suma de ciertos números reales

a1 ; a2 ; : : : ; an

S

= 1+ 2+ a

a

utilizando el símbolo sumatorio, se escribe S

=

X

:::

n

k =1

48

ak

se llaman

+

j

2

j =1

i=1

k =1

X n

ó

an

índices.

digamos

Más general, cuando se

X3 X5=1

Por ejemplo,

1 + a2 + a3

ak

=

a

k

=



k

k

=1

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Algunas veces es conveniente empezar la sumación por el de

1:

X4

Por ejemplo

l

X4 X4=0

=

l

=0



0

o por algún valor del índice diferente

0 + 1 + 2 + 3 + 4

Existen otras formas de usar el símbolo sumatorio, como por ejemplo



+1

=



1

=

1 + 5 + 25 + 125

i

2

3

4

+ + + +

5

i

=1

5

m

m

De lo anterior se deduce la siguiente de…nición:

X = X+1 X

De…nición 2.1 Sea p un número entero no negativo, entonces se de…ne:



(1 )

p

k



(2 )

ak

=

ak

=

ap

p

n

k

=p

n

k

=p

ak

+ an+1 ,

con n número entero tal que n

p

Observación 2.1

X+1

X

1. De la de…nición se desprende que:

p

n

k

X k

=p

ak

=

k

=

n

2. Dada

=p

ak , con

0

=p

ap

ak

+ ap+1 + ap+2 +

+ ap+1 + ap+2 +

   + an + an+1

   + an + an+1

 p  n, p 2 N [ f0g. El número de términos siempre es igual a n  p + 1.

Para el caso particular de p

= 1,

dicho número es n.

Teorema 2.1 1. Propiedad Aditiva

X

(ak + bk ) =

k

X X n

n

n

=1

k

49

=1

ak

+

k

=1

bk

Xn

2. Propiedad Homogénea

3.

Pn

k=1

c

=

c

Pn

k=1

k=1 1=

c

Xn

Xn

o también

(ak

k =p

Xn k =p

Xn

b)

6. Sea

k =p p

X

n q ak

=

ak

=

Xn k=1

ak ;

8c 2 R

 ak1 ) = an  ap1 , 0  p  n

(ak

k =p

a)

c

 n, 8c 2 R

4. Propiedad Telescópica

5.

(cak ) =

k=pq n+ q

X

k=p+q

1  ak ) = ap1  an , 0  p  n

ak

+q , con p  q  0 y 0  p  n

ak

q , con p + q  0 y 0  p  n

 n, entonces

Xn k =p

ak

=

Xn k=1

ak



X p1

k=1

ak

Teorema 2.2 (Sumatorias Notables) 1.

Xn

k=1

k

=

1 2

n

(n + 1)

Demostración: Sea S

=

Xn k=1

k

=1+2+3+

   (n  1) + n

(A)

Notar que esta suma también se puede escribir como: S

=

n

+ (n

 1) + (n  2) +    + 3 + 2 + 1

Luego, si sumamos término a término las ecuaciones (A) y (B) se tiene que: 2S

=

 1)) + (3 + (n  2)) +    + ((n  1) + 2) + (n + 1) (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +    + (n + 1) + (n + 1)

=

n

=

(1 + n) + (2 + (n

(n + 1)

(¿Por qué?)

50

(B)

Xk

Por tanto,

n

k

X k2 n

2.

k

=1

Xr

=

1 6

3.

k

=

=

k p

1

S = n (n + 1) 2

n (n + 1) (2n + 1)



Demostración:

n

=1

=

rp rnp+1  1 r1

Demostración:



k 3  (k  1)3 = 3k 2  3k + 1)

Ejercicio (Usar:

r 6= 1 y 0  p  n

, con

Sea

S=

Xr n

k

=

=

rp + rp+1 +   + rn1 + rn

(A)

k p

Si múltiplicamos la ecuación (A) por

r, se tiene que:

rS = rp+1 + rp+2 +   + rn + rn+1 Luego, si diferenciamos las ecuaciones (B) y (A) obtenemos:

rS  S (r

 1) S

Xr

Por tanto,

n

=

k

=

= =

S=

    r r  +1  rp + rn+1

rp rnp+1  1 p

n p

r1

k p

1

Ejercicio 2.3

1. Hallar los valores de las siguientes sumatorias :

a)

X5 2 =2 3 X 2 +1 =0 X4 2k

k

b)

2 j

j

c)

2

k (k + 1) k=1

2. Desarrollar las siguientes sumatorias e indicar el número de términos

51

(B)

a)

b)

X8 k=4 n 1

k

(2k

X k=0

(

1)



1)

k k+1 2 + 1 k

+2

3. Escribir, usando el símbolo a) 12 + 32 + 52 +

    

P

, las siguientes sumas:

      

(hasta

b) 2 7 + 5 9 + 8 11 + c)

8

12

3 5

5 7

16

+

7 9

1 = 3; : : : ; an = 6n

4. Sea

a

n

+ 1 términos)



+ 422 287 (hasta

p

3. Calcular:

términos)

X6 k=3

ak

1 ak+1

5. Calcular las siguientes sumatorias

a)

b)

c)

20  X k=1 n+1  X

1 k

+2

2k

k=1

k (k



1 k

 

+1

1

k =p n

X



1



1 2k + 1

1 + 1)

6. Usar las propiedades de sumatorias para deducir las siguientes fórmulas: a)

b)

2.2.

Xn  k=1 Xn 3  (2k

k=1

k

1) =

=

1 2

n

n

2

(n + 1)

2

4

 

!

R

(Indicación:

k

(k

1)4 = 4k 3



Progresiones

De…nición 2.2 Una función a

:

N

a ( n)

n

se llama una

sucesión

en

R.

=

an

Observación 2.2

1. El elemento

an

2R

se llama

n



ésimo término

52

de la sucesión.

6k 2 + 4k



1)

2. Una sucesión se denota por:

fan gn2N

=

fa1 ; a2 ; : : : ; an ; : : :g.

Ejemplo 2.1

1. Son sucesiones reales: a) b)

2

n

1



2+1

=

n2 N fcos (n )gn2N n

2. Dada la sucesión

1;

3

;

;

1 1 1 ;

;

2 3 4



;:::

n

 ak+1

=

ak

;:::

f1; 1; 1; : : :g

a) Determine su término b) Pruebe que



5

2 5 10

=



1



ésimo 1

k

(k + 1)

1  an+1

c) Calcular

a

Solución



a) El

n

b)

 ak+1

c)

ak

ésimo término de la sucesión es: =

1 k



1 k

+1 1

1  an+1 = 1  n + 1

a

2.2.1.

=

=

k

+1k

k

(k + 1)

n

+11 n

+1

1 n

1

=

=

=

an

k

(k + 1) n

n

+1

Progresión Aritmética

De…nición 2.3

Decimos que una sucesión de números reales

fan gn2N es una Progresión Arit-

mética (P.A.) si y solo si se puede expresar por an

1

a

y

d

=

1 + (n  1)d

a

son números reales.

Observación 2.3

De la de…nición anterior se desprende que: a

1

=

a

2 a3

=

1+d a1 + 2d

a

an

=

1

a

.. . =

1 + (n  1)d

a

.. . Donde

1

a

se llama primer término de la progresión aritmética,

de la progresión aritmética y

d

se llama diferencia. 53

an

se llama término enésimo

Teorema 2.4 Una sucesión de números reales

an

Demostración:

fan gn2N

es una P.A. si y solo si

+1  an = d, 8n 2 N

fan gn2N es una P.A. ssi an

+1  an

=

(a1 + nd)

=

d

 (a1 + (n  1)d)

Ejemplo 2.2

1. La sucesión

f4n + 7gn2N es una P.A. porque se puede expresar como an

= |{z} 11 + (n

a1

2. Dada la progresión aritmética Solución

 1) |{z} 4 d

1 = 0; a2 = 3; a3 = 6 : : : determinar su término enésimo.

a

El término enésimo para esta sucesión viene dado por

an

donde su primer término es

0

= 3(n

y su diferencia es

 1)

3:

3. En una progresión aritmética su quinto término es 13 y el octavo es 22: Encontrar el enésimo término. Solución

Para el lo basta encontrar a

y

d: En efecto,

5

=

a

+ 4d = 13

8

=

a

+ 7d = 22

a a

(2.1)

8  a5 = 7d  4d = 3d = 9. De 2.1 se tiene que el primer término es igual a: a = 13  4d =

Luego, a

13

 4(3) = 1: Por tanto, la sucesión aritmética pedida es: an

= 1 + 3(n

 1) = 3n  2

3. Encontrar el décimo quinto término de la progresión aritmética cuyos tres primeros términos 7 1 son ; 2; ; : : : 2 2

54

Solución

Tenemos que:

1

a1

=

a

=

a2

=

a

+d=2

a3

=

a

+ 2d =

2 7 2

:

Entonces el término pedido es:

a15

1

=

+ (14)

2

3



2

1

=

2

+ 21 =

Teorema 2.5 La suma de los n primeros términos de la P.A.

43 2

fan gn2N ,

cuyo primer término es a1

y diferencia d, viene dada por n

=

Sn

n

= Demostración: Sea

Sn

2

n X

=

[2a1 + (n  1)d]

2

(a1 + an )

ak

k=1 n

X

=

k=1 n

X

=

(a1 + (k

a1

+

k=1 =

= =

+d

na1

+d

2

n

=

2

(k

 1) d

k=1 n

na1

n

n X

 1) d)

X

1

k=1 2

n

k



! n X 1

k=1

(n + 1)

n



[2a1 + (n  1)d] (a1 + an )

Ejemplo 2.3

1. Los números enteros pares están en progresión aritmética. Encontrar la suma de los números pares del

Solución esto es n

2

al

100:

El problema se reduce a encontrar la suma de los cincuenta primeros términos

= 50: S50

=

50 2

[2 + 100] = 50  51 = 2550

55

2; 4; : : : ; 2n;

2. Se dispone de

280 palos

…la se coloquen

25

y se quiere ordenarlos en forma de pirámide de manera que en la primera

24;

palos, en la segunda …la se coloquen

en la tercera …la se coloquen

23

y

así sucesivamente. Se desea saber el número de …las y el número de palos de la última …la.

Solución

La disposición de los palos están en progresión aritmética. La progresión aritmética del

ejemplo es la siguiente:

Luego,

n

a

= 25 + (n

  1)( S

n

a1

= 25; a2 = 24; a3 = 23

y d

=



1

1) y

=

2 n

n

[50 + 1



2



n]

= 280

51n + 560 = 0

) )

=

n(51

=

n



= 35

n)

_

= 560

n

= 16

Así, a35

=

25 + 34(

a16

=

25 + 15(

De acuerdo a los resultados anteriores

a35

 

1) =



9

1) = 10

no puede ser un término de esta progresión aritmética.

Luego, el número de …las es 16 y la última …la tiene 10 palos. 3. Encontrar la suma de todos los números entre

Solución

100

y

1000,

que sean divisible por

El primer número, después de 100, divisible por 14 es 112, luego

(¿Por qué?), entonces

n

a

= 112 + 14 (n



a1

14.

= 112 y

d

= 14

1)

Notar que

n

a

<

)

=

Luego,

n

)

1000 = n <

1000

112 + 14 (n



112

14



1)

<

1000

+ 1 = 64: 429

= 64 con lo que S64

=

64 2

(a1 + a64 )

=

32 (112 + 994)

=

35 392

En muchas ocasiones necesitamos obtener el promedio entre dos cantidades. Lo que realmente estamos haciendo es calcular un término de una progresión aritmética.

De…nición 2.4 b

si

a; A; b

Sean

a

y

b

dos números reales. Diremos que

forman una P.A..

56

A

es el

medio aritmético

entre

a

y

Teorema 2.6 A

es el medio aritmético entre

a

Demostración: A es el medio aritmético

y

b

si y sólo si

A

a

=

+b 2

entre a y b si y sólo si los números

a; A; b

forman

una P.A.. Es decir



A

=

b

2A

=

a

+b

a

+b

=

A

Observación 2.4



a

A

2

La proposición anterior se puede generalizar de la siguiente manera: si a2 ; a3 ; : : : ; ak+1

son números reales tales que a;...