Testi di esami ed esercitazione per il corso di analisi PDF

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Sono esercizi d'esame di esercitazione per il corso di analisi due, molto utili e adatti per gli studenti di ingegneria in particolare...

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ANALISI MATEMATICA 2 (9 CFU) 2 Parte 12.6.2017 Cognome..................... Nome.................... n.matricola ................... Esercizio 1 Data la funzione f (x, y) =

(

x2 (y−1) x4 +(y−1)2

se (x, y) 6= (0, 1)

0

se (x, y) = (0, 1)

a determinare il suo insieme di definizione e dire che tipo di insieme `e (aperto, limitato, connesso); b calcolare le derivate direzionali in (0, 1); c stabilire se f `e continua nell’origine. Esercizio 2 Data la funzione

f (x, y) = x2 (y − 1)(x − y + 2) determinare tutti i punti critici e studiarne la natura; Esercizio 3 Data la funzione

f (x, y) = 4(x − 1)2 − 4(y − 2)2 soggetta al vincolo (x−1)2 +(y− 2)2 = 14 . Verificare che il vincolo non abbia punti critici e determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione. Esercizio 4 Dato il campo vettoriale   y−1 x−2 , F= − , (x − 2)2 + (y − 1)2 (x − 2)2 + (y − 1)2 a stabilire il suo insieme di definizione; b verificare se il campo `e irrotazionale e, dove `e possibile, calcolarne un potenziale; c calcolare il lavoro di F lungo la circonferenza r(t) = (2 + cos t , 1 + sin t); c calcolare, senza fare calcoli, il lavoro di F lungo la circonferenza di raggio unitario e centro l’origine e lungo una qualunque curva chiusa regolare contenente il punto (2, 1) al suo interno. Esercizio 5 Calcolare il lavoro del campo ~F = (y2 , x) lungo la curva γ utilizzando il teorema di Gauss-Green, quando a γ `e il bordo del quadrato di vertici (1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1); b γ `e l’ellisse x2 + 4y2 = 4. Esercizio 6 Sia Σ la superficie (chiusa) del cilindro V descritto da x2 + (y − 1)2 = 1 e 1 ≤ z ≤ 2. Calcolare il flusso uscente da V del campi vettoriale F = x ˆi − (y − 1) ˆj + (z − 1) ˆ k a direttamente dalla definizione di flusso; b utilizzando il teorema della divergenza....