Tiểu luận hình học giải tích PDF

Preview

Summary

---------ᴥᴥڃ ڃᴥᴥ-------TIỂU LUẬNHÌNH HỌC GIẢI TÍCHGVHD: NGUYỄN HÀ THANHNHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN:1. ĐỖ THỊ THANH TRÚC2. NGUYỄN THANH HÀ3. NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH4. TRƯƠNG THỊ NGỌC TÂM5. NGUYỄN YẾN LINH6. DƯƠNG KIM VÂN7. TRẦN THỊ THU PHƯỢNGMỤC LỤCCHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ.....................................

Description

TIỂU LUẬN --

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

-------ᴥᴥ ‫ڃ‬

‫ڃ‬ᴥᴥ-------

GVHD: NGUYỄN HÀ THANH NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: 1. ĐỖ THỊ THANH TRÚC 2. NGUYỄN THANH HÀ 3. NGUYỄN THỊ MỸ HẠNH 4. TRƯƠNG THỊ NGỌC TÂM 5. NGUYỄN YẾN LINH 6. DƯƠNG KIM VÂN 7. TRẦN THỊ THU PHƯỢNG

MỤC LỤC CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ....................................................................................................................8 I-Vecto và các phép toán:...................................................................................................................................8

II- Vecto đ ộc l ập và ph ụthu ộc tuyếến tnh:............................................................................................................9 III- Hệ t ọa độ, hệ t ọa đ ộ của vecto va của điểm:................................................................................................9 IV- Phương trình đường thẳng:........................................................................................................................11 V- V trí ị t ươ ng đốếi của 2 đường thẳng, chùm đường thẳng.............................................................................12 VI- Góc và kho ảng cách giữa hai đ ường th ẳng: ................................................................................................12 VII- Hệ t ọa đ ộ de-cac, tọa độ củ a vecto và điể m:..............................................................................................12 VIII- Tích có h ướng c ủa 2 vecto và ứng d ụng : ..................................................................................................13 IX- Khoảng cách.................................................................................................................................................14 X- Góc...............................................................................................................................................................14 CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG BẬC HAI..........................................................................................................................15 I-Định nghĩa:.......................................................................................................................................................15 II-Cống thức đổi tọa độ và 2 cách đổi trục tọa độ: Phép tịnh tiếến và phép quay................................................15 III-Phân loại đường bậc 2, các dạng phương trình chính tắếc..............................................................................11 IV-Sự tương giao của một đường thẳng và đường bậc hai.................................................................................21 V- Tâm và cách xác định tâm:............................................................................................................................23 VI- Ph

ươ ng trình tiếếp tuyếến của đường b ậc hai:................................................................................................25

VI-Đường kính liến hợp và cách xác định :.........................................................................................................27 VII- Lập phương trình đường bậc hai với điếều ki ện cho tr ước ...........................................................................29 CHƯƠNG 3: MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN.......................................................................................32 I-Định nghĩa...........................................................................................................................................................32 1.Tâm của mặt bậc hai....................................................................................................................................32 2.Phương ti ệm c ận.........................................................................................................................................32 3.M tặ ph ng ẳ tiếếp xúc......................................................................................................................................32 4.Mặt kính liến hợp với một phương.............................................................................................................33 5.D ng ạ ph ươ ng trình chính tắếc của mặt bậc hai.............................................................................................33 6.M ộ t sốế mặt thường gặp..............................................................................................................................35 II- Các mặt kẻ thường g ặp:...............................................................................................................................39 1. Mặt trụ : Từ mọi điểm M trến mặt trụ đếều có thể veẽ 1 đường thẳng song song với đường cao nắềm hoàn toàn trến mặt.................................................................................................................................................39 2. Mặt nón: Từ mọi điểm M trến mặt đếều có thể veẽ 1 đường thẳng nắềm hoàn toàn trến m ặt ......................39 3.Mặt hypeboloid 1 tâềng:...............................................................................................................................39 4.Mặt paraboloic hypebolic (mặt yến ngựa) : .................................................................................................40 

CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:...................................................................................................41

Lời

Cuốn tiểu luận được biên soạn theo chương trình Hình học giải tích trong chương trình giảng dạy ở trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.Cuốn tiểu luận được chia làm ba chương lớn:  Chương 1: Nhắc lại kiến thức về vectơ.  Chương 2: Đường bậc hai(Xét trong mặt phẳng)  Chương 3: Mặt bậc hai (Xét trong không gian) Chương 1: Nhắc lại các khái niệm về vectơ, các phép toán liên quan đến vectơ một cách tổng quát và cụ thể nhất để làm nền tảng lý thuyết và ứng dung cho các chương sau. Chương này chủ yếu là lý thuyết song sau mỗi định lý quan trọng chúng tôi đều đưa ra các ví dụ cụ thể để thấy rõ ứng dụng và khắc sâu kiến thức. Chương 2: Mở rộng về đường bậc hai mà ta chỉ xét trong mặt phẳng Oxy.Các khái niệm, định nghĩa tưởng chừng rất quen thuộc từ thời phổ thông như tiếp tuyến, tiệm cận, tâm hay đường kính đều được nói đến một cách tổng quát và có phần mới mẻ, kĩ lưỡng hơn.Để người đọc nắm kĩ kiến thức, các bài tập được phân theo dạng và có phương pháp cụ thể cho mỗi dạng sau đó là phần bài tập ứng dụng có lời giải. Chương 3: Đề cập tới khái niệm hoàn toàn mới mẻ:Mặt bậc hai.Tuy nhiên với nhiều nét có phần giống với kiến thức phần bậc hai nên ở phần này chúng tôi đi sâu vào khái niệm mặt kẻ và đường sinh.Để mô phỏng rõ tính chất hình học, mỗi loại mặt bậc hai đều có hình vẽ minh họa trực quan sinh động dễ hiểu. Xin cảm ơn tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh đã giúp đỡ tận tình chúng tôi trong quá trình thực hiện tiểu luận này. Xin cảm ơn các tác giả những tài liệu tham khảo mà chúng tôi đã sử dụng. Trong quá trình thực hiện tiểu luận còn có một vài sai sót, xin bạn đọc thông cảm. Xin trân trọng cảm ơn quý bạn đọc.

LỊCH SỬ MÔN HỌC

Hình học giải tích, cũng được gọi là hình học tọa độ hay hình học Descartes, là môn học thuộc hình học sử dụng những nguyên lý của đại số. Thường sử dụng hệ tọa độ Descartes cho những phương trình theo mặt phẳng, đường, đường cong, và đường tròn, nhiều khi có hai hay ba chiều đo. Theo một số người, hình học giải tích là nguồn gốc của toán học hiện đại. Tiếng Anh “Hình học giải tích” là "Analytic geometry". Từ giải tích ở đây không liên quan đến môn học giải tích của chúng ta bây giờ, vì ở thời Descartes chưa có môn giải tích. Theo một số quan niệm thì hình học giải tích có lẽ là phát minh vĩ đại vào bậc nhất của toán học nói chung và hình học nói riêng vì nó cho hình học thêm không những một công cụ là Đại số như ta biết, mà sau này hình học đã được thêm nhiều công cụ khác, tất cả ý tưởng là của René Descartes và Hình học giải tích. Trong toán học thời kỳ mới bắt đầu - Thế kỷ XVII - đánh dấu bởi các cuộc cách mạng trong suy nghĩ và các phương pháp nghiên cứu, trong đó không thể không nhắc đến phương pháp Hình học giải tích gắn liền với tên tuổi nhà toán học, triết học vĩ đại René Descartes.

René Descartes cha đẻ của hình học giải tích René Descartes là người Pháp, sinh ra tại Hà Lan năm 1596, thuộc một gia đình quý tộc. Ông học tiểu học ở trường Dòng và nổi tiếng là học sinh có năng khiếu. Năm 1612 ông đến Paris để tiếp xúc với giới tri thức và sau đó tham gia binh nghiệp, đi nhiều nơi, mãi đến năm 1626 ông mới định cư ở Paris và đi sâu vào nghiên cứu triết học và khoa học. đó ông trở lại Hà Lan sống ẩn dật, miên man trong suy nghĩ, sống xa lánh mọi người trong 20 năm. Năm 1649, theo lời mời của hoàng hậu Christine nước Thụy Điển, ông sang giúp Hoàng hậu tăng vốn hiểu biết và do không chịu nổi thời tiết khắc nghiệt giá lạnh ở Thụy Điển, ông đã qua đời năm 1650.Chính trong thời gian sống ẩn dật tại Hà Lan, ông đã để lại cho đời tác phẩm lừng danh "Phương pháp luận" và ba phụ lục về "Quang học"," Thiên văn học", "Hình học". Phụ lục thứ ba mà ngày nay chúng ta thường gọi là hình học giải tích đã tôn ông lên hàng bất tử vì ông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học rất tuyệt vời: Kết hợp giữa Hình học và Đại số.

Descartes là nhà toán học đầu tiên của nhân loại đưa ra phương pháp xác định tọa độ một điểm bằng hệ trục vuông góc mà mọi học sinh phổ thông đều đã quen biết với tên gọi "Hệ tọa độ Descartes". Descartes đã chứng tỏ được khi một điểm chuyển động vạch nên một đường thì mối quan hệ giữa các tọa độ x,y của nó thể hiện bằng f(x,y) = 0. Ý tưởng vĩ đại này sản sinh ra môn hình học giải tích. Triết học gọi đây là mối quan hệ biện chứng trong toán học. Từ khi có hình học giải tích, việc nghiên cứu hình học đã qua được một chặng đường dài phát triển. Vinh quang mà người đời dành cho Descartes là ở phương pháp luận nghiên cứu khoa học của ông, mà thể hiện tiêu biểu chính là hình học giải tích.

CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN VÉCTƠ  Kiến thức cơ bản : I-Vecto và các phép toán: 1. Định nghĩa : AB là một đoạn thẳng có định hướng. 2. Hai vacto bằng nhau : có cùng hướng và cùng độ dài. 3. Hai vecto đối nhau : ngược hướng và cùng độ dài. 4. Cộng vecto : ta có A, B , C ta có : AC  AB  BC *Nếu ABCD là hình bình hành thì : AB  AD  AC Tính chất : a  b b  a (giao hoán ) (a  b)  c a  (b  c )

(kết hợp )

a  0 a

(phép cộng có phần tử trung hòa: phần tử không )

a  ( a) 0

(cộng với phần tử đối ) *Hai vecto đối nhau là 2 vecto cùng phương, ngược chiều, modum bằng nhau. 5. Hiệu 2 vecto : OB  OA  AB 6. Tích một số thực với một vecto :

b k a  b  k a

và a , b cùng hướng nếu k 0

a, b ngược hướng nếu k  0 a cùng phương b  k  R : b ka Tính chất : m( a  b) ma  mb (phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng trong không gian vecto ) (m  n)a ma  na (phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng các số thực ) m( na) ( mn) a (phép nhân vô hướng có tính kết hợp) 1a a 7. Tích vô hướng :

 

ab  a b cos a, b

8. Vecto đồng phẳng : 3 vecto đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng : Với a, b, c đồng phẳng  m, n   : c ma  nb 9. Phân tích một vecto theo một vecto không đồng phẳng : x ,x ,x Với a, b, c không đồng và vecto e , có duy nhất 3 số thực 1 2 3 : e x1a  x 2 b  x 3c

 1        ABCD  OG  OA  OB  OC  OD 4 10. Định lí : G là trọng tâm tứ giác, tứ diện





II- Vecto độc lập và phụ thuộc tuyến tính: 1.Định nghĩa : 



Cho n vecto a1 , a2 , a3 ,......an và n vecto k1 , k 2 , k3 ,...........k n . Ta gọi vecto k1a1  k2 a2  k 3a3 ......  k na n là một tổ hợp tuyến tính của các vecto a1 , a2 , a3 ,........an k , k , k ,...........k n với các hệ số 1 2 3 . Hệ vecto a1 , a2 , a3 ,......an gọi là độc lập tuyến tính khi : k1a1  k2 a2  k 3a3 ......  k na n

=0 

k1 k 2 k 3 .......... k n  0

.

a , a , a ,......an gọi là độc lập tuyến tính khi : Hệ vecto 1 2 3 k a k a k a k a k i 0 sao cho 1 1 2 2 3 3 ...... n n =0. 2.Định lí về điều kiện để các vecto phụ thuộc tuyến tính a a a a n Các vecto 1 , 2 , 3 ,...... n ( 1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một trong các vecto ấy là một tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại. Chứng minh : Điều kiện cần : Giả sử các vecto a1 , a2 , a3 ,......an phụ thuộc tuyến tính, ta có 

k1a1  k2 a2  k 3a3 ......  k na n

=0. Trong đó có một hệ số khác 0, chẳng hạn

ki 0 . Ta suy ra

: a i 

 Vậy

 k1  k k k a1  2 a2  3 a3 .......  n a n ki ki ki ki











k1 k 2 k 3 k ;  ;  ;..............;  n ki ki k i k i là các hệ số của tổ hợp tuyến tính.

Điều kiện đủ : Giả sử an l1a1  l2 a2  l3a3 .......  l n 1a n 1  a n 0 a , a , a ,......an phụ thuộc tuyến tính. Vậy tồn tại hệ số thứ n là  1 0. Vậy các vecto 1 2 3 3.Định lí về sự phân tích : 

Trong mặt phẳng cho trước 2 vecto bất kì

e1 , e2 độc lập tuyến tính, mọi

vecto

a khác của mặt phẳng để được phân tích duy nhất theo e1 , e2 : !( x, y ) : a  xe1  ye2 

Trong không gian : tồn tại 3 vecto

e1 , e2 , e3

độc lập tuyến tính, mọi vecto a khác

trong không gian được phân tích duy nhất theo e1 , e2 , e3 như sau : !( x, y, z ) : a  xe1  ye2  ze3





III- Hệ tọa độ, hệ tọa độ của vecto va của điểm: 1. Hệ tọa độ : Hai trục x’Ox, y’Oy vuông góc với nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đề-các Oxy : O là gốc tọa độ, x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung. Trong đó : vecto đơn vị trên các trục. Ta có :

i  1, 0  , j   0,1 

là các

i  j 1, i. j 0

2. Tọa độ của vecto :

u  x, y  u  xi  y j

3. Tọa độ của điểm :

OM  x, y   M  x, y 

. Trong đó x là hoành độ, y là tung độ của M. A x ;y ,B x ; y 4. Các kết quả : Trong hệ tọa độ Oxy, cho  A B   B B  và các vecto a  a1 ; a2  , b  b1 ; b2 

. Ta có :

a )a b  a1 b1 ; a 2 b2     b )ka  ka1 ;k a2 , k    c) a.b a1b1  a 2b2





Hệ quả : 1) a  a12 a 22   2) cos a; b 





a1 b1  a2 b2 2

a1  a2 2 . b1 2  b2 2  3) a.b  a1b1  a2 b2  0

d ) a b  a 1 b1, a 2 b 2

e) a , b cùng phương f)Tọa độ của vecto g)Khoảng cách :

  b b  : k b ka     1  2   a1 a2   a1 a2 0   b1 b2 AB  x B  x A ; y B  x A 

AB  AB 

 xB 

x A    yB  y A  2

2

h)Điểm M chia AB theo tỉ số k (k khác 1)  MA k MB . Khi đó,tọa độ của M tính bởi: x  kx B y  ky B ;y M  A xM  A lk lk x x y  yB xM  A B ; y M  A 2 2 M là trung điểm AB ta có : 5. Kiến thức về tam giác : A  x A ; y A  , B  x B ; y B  ,C  x C ; y C  . Cho a)Trọng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến ) :

G là trọng tâm tam giác ABC :

xG 

xA  xB  xC y  yB  yC ; yG  A 3 3

b)Trực tâm của tam giác (giao các đường cao ) :  AH  BC  AH .BC 0         BH .CA 0 H là trực tâm của tâm giác  BH CA c)Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các đường trung trực ) : I(a;b) là tâm của  ABC  AI  BI CI  R (R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC ). 2 2 2 2 Giải hệ AI BI  CI  R suy ra tọa độ tâm I. d)Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ( giao của các đường phân giác trong

của các góc tam

giác ). Tâm K của đường tròn nội tiếp tam giác ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k : DB  AB k 1 k AC Vì DC nên D chia BC theo tỉ số 1 , suy ra tọa độ điểm D. KA  BA k 2 k BD nên K chia AD theo tỉ số 2 , suy ra tọa độ điểm K. Vì KD e)Diện tích tam giác : 1 1 1 S  a .ha  b.hb  c .hc 2 2 2 1 1 1 S  ab sin C  ac sin B  bc sin A 2 2 2 abc pr  p ( p  a )( p  b)( p  c ) S  4R   1 1  S  AB 2 .AC 2  (AB .AC )2  det(AB , AC ) 2 2  a1 a2  a1b2  a2b1 det( AB, AC )  b1 b2 AB (a1; a 2 ), AC (b1; b2 ). với Trong đó : IV- Phương trình đường thẳng: 1.Định nghĩa : Cho các vecto u, n 0. 

u là một vecto chỉ phương của đường thẳng d khi u nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với d.



n là một vecto pháp tuyế của đường thẳng d khi n nằm trên một đường thẳng



vuông góc với d. Mọi vecto pháp tuyến của d đều có dạng kn,( k 0) . Một đường thẳng d hoàn toàn được xác định khi biết M o  d và một vecto chỉ phương u hoặc một vecto pháp tuyến n của d.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a)Định lí : 2 2 Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng Ax  By  C  0, A  B  0. n ( A, B), u ( B,  A)  n ( A, B ) Chú ý : d có VTPT VTCP là : 2 2 A( x  x0 )  B( y  y0 ) 0, A  B 0.

3. Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng : a) phương trình tham số của đường thẳng : M (x ; y ) u ( a; b) Phương trình tham số của đường thẳng d qua 0 0 0 và có VTCP là :  x  x 0  at 2 2 , a  b 0,t  .   y  y0  bt b) Phương trình chính tắc của đường thẳng : Phương trình chính tắc của đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u ( a; b) là : x  x0 y  y 0 2 2  ,a b 0. a b V- Vị trí tương đối của 2 đường thẳng, chùm đường thẳng. 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng : Cho 2 đường thẳng d 1, d 2 : d1 : A1x  B1 y  C1 0(1), d 2 : A2x  B 2 y  C 2 0(2)( A12  B12 0, A 22  B 22 0).

Giải hệ (1), (2) ta có kết quả sau :  A1B 2  A2B1  0  d 1, d 2 cắt nhau. -Hệ có duy nhất nghiệm  A1B2  A2B1  0 B C  B2C1  0  d 1 d 2 -Hệ vô nghiệm và 1 2 // . A B  A2 B1  B1C2  B1C1 C1 A2  C 2 A1  0 d 1  d 2 . -Hệ có vô số nghiệm 1 2 2. Chùm đường thẳng : Hai hay nhiều đường thẳng cùng đi qua 1 điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I. d : A x  B1y  C 1  0,d 2 : A 2x  B 2y  C 2  0 Nếu 1 1 cắt nhau I ( A1B2  A2 B1 ) tại thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là: m( A1 x  B1 y  C1 )  n( A2 x  B2 y  C2 ) 0, m 2  n 2 0. VI- Góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng: 1.Góc giữa 2 đường thẳng : Cho 2 đường thẳng

d 1 : A1x  B1y  C 1  0, d 2 : A 2x  B 2y  C 2  0. cos  

Nếu gọi

A1 A2 B1B2

A12  B12 . A22  B22  (00  900 ) là góc giữa d 1 và d 2 thì : d 1  d 2  A1A 2  B 1B 2  0. Hệ quả : 2.Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng : a) Công thức : Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến Ax+By+C=0 là :

d (M ; d ) 

Ax0  By0  C A  B2 2

, A 2  B 2 0.

.

b) Hệ quả : Nếu d1 : A1x  B1y  C1  0,d 2 : A2x  B 2y  C 2  0 cắt nhau tại I ( A1B2  A2B1 ) thì phương trình các phân giác tạo bởi d1 , d 2 là : A1x  B 1y  C A 2x  B 2y  C  2 2 2 2 A1  B1 A2  B2 VII- Hệ tọa độ de-cac, tọa độ của vecto và điểm:  Hệ tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian : Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ trục tọa độ Oxyz với Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao, trên Ox, Oy, Oz lần lượt có các vecto đơn vị i (1, 0,0), j (0,1, 0), k (0,0,1)

Tọa độ của vecto :

u ( x, y, z )  u xi  y j  zk

Tọa độ của điểm : M ( x, y, z)  OM ( x, y, z) x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ của M.  Các kết quả : Trong hệ Oxyz cho b ( x 2; y 2; z 2)

A( xA ; yA ; zA )

a b ( x1 x 2 ; y 1  y 2; z 1 z 2 )



ka  (kx1; kx 2; kx 3)

 Tích vô hướng :  Hệ quả :



B( xB ; yB ; z B )

a ( x1 ; y1 ; z1 )

,

a.b  x1 x2  y1 y2  z1 z2

a  x1 2  y1 2  z 1 2  cos(a ; b) 

x1 x2  y1 y2  z...