TIN HỌC NẦN CAO - Lý thuyết tin học PDF

Preview

Summary

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG CƠ SỞ II TẠI TP--------BÀI TIỀU LUẬN GIỮA KỲMÔN TIN HỌCChủ đề: LÝ THUYẾT XÁC SUẤTVÀTHỐNG KÊ TOÁN HỌCGiáo viên hướng dẫn: Trần Anh TàiMỤC LỤC Lớp: K58CLC TP. HCM, tháng 09 năm Phần 1 LÝ THUYẾT.................................................................................

Description

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG CƠ SỞ II TẠI TP.HCM

--------

BÀI TIỀU LUẬN GIỮA KỲ MÔN TIN HỌC Chủ đề: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Giáo viên hướng dẫn: Trần Anh Tài

Lớp: K58CLC5 TP. HCM, tháng 09 năm 2020

DANH SÁCH THÀNH VIÊN STT 1 2 3 4 5 6 7

Họ và tên Vũ Thành Nam Liêu Võ Huy Liêu Nguyễn Thị Trà My Bùi Thị Thùy Liên Trần Minh Luận Nguyễn Duy Minh Nguyễn Nhật Trường

MSSV 1911155053 1911155039 1911155052 1911155043 1911155046 1911155049 1911155092

MỤC LỤC Phần 1 LÝ THUYẾT.............................................................................................1 Chương 1. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng.................................1 1.1

Bất đẳng thức Trê bư sép.........................................................................1

1.2

Định lý Trê bư sép...................................................................................1

1.3

Định lý Bernoulli.....................................................................................2

1.4

Định lý giới hạn trung tâm.......................................................................3

Chương 2. Biến ngẫu nhiên hai chiều..................................................................5 2.1

Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên thành phần............................5

2.2

Hiệp phương sai và hệ số tương quan......................................................6

2.3

Kỳ vọng toán có điều kiện và hàm hồi quy.............................................9

Phần 2 BÀI TẬP..................................................................................................12 Chương 1. Biến cố và xác suất của biến cố.......................................................12 Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất..............................14 Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng...............................17 Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều................................................................21 Phần 3 ỨNG DỤNG............................................................................................23 Chương 1. Trong y học......................................................................................23 Chương 2. Trong kinh tế...................................................................................26 Chương 3. Trong đời sống thường ngày............................................................39

PHỤ LỤC BẢNG BIỂU BRng 1.....................................................................................................................14 BRng 2.....................................................................................................................15 BRng 3.....................................................................................................................21 BRng 4.....................................................................................................................29 BRng 5.....................................................................................................................30 BRng 6.....................................................................................................................31 PHỤ LỤC HÌNH HSnh 1......................................................................................................................10 HSnh 2......................................................................................................................17 HSnh 3......................................................................................................................23 HSnh 4......................................................................................................................26 HSnh 5......................................................................................................................34 HSnh 6......................................................................................................................39

Phần 1

LÝ THUYẾT

Chương 1. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN: Khi thực hiện phép thử, chúng ta khó có thể dự đoán trước một cách chắc chắn rằng biến ngẫu nhiên sẽ nhận giá trị nào trong các giá trị có thể có của nó. Tuy nhiên, khi ta tổng hợp một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên, tính ngẫu nhiên của chúng dần mất đi và quy luật tất nhiên được bộc lộ. Thực tế, ta phRi xác định các điều kiện mà sự đồng thời tác động của các nguyên nhân ngẫu nhiên dẫn đến kết quR gần như không phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên. Các điều kiện này được chỉ ra trong các định lý giới hạn mà tiêu biểu là một số định lý của quy luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm.

1.1 Bất đẳng thức Trê bư sép Nếu X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán và phương sai hữu hạn thS với mọi số dương ɛ tùy ý ta đều có: P (|X −E ( X )|>ε ) ≤

V (X ) ; ∀ℇ >0 2 ε

1.2 Định lý Trê bư sép Nếu dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sai đều bị chặn trên bởi

(|

n

n

X (¿¿ n) ¿

và có k ỳ vọng hữu hạn và phương

(V (X i )≤C ;i=1 ´, n) , khi đó, với mọi

|)

1 1 P ∑ X i− ∑ E (X i ) 0 ta có:

GiR thiết trên là các biến ngẫu nhiên

X 1 , X 2 ,... X n có các kỳ vọng toán khác nhau.

Thực tế, ta thường gặp trường hợp các biến ngẫu nhiên có cùng một kỳ vọng toán. Lúc đó ta có hệ quR: X

Nếu ¿ ) độc lập, cùng phân phối, có kỳ vọng μ và phương sai σ 2 thS: ¿ ¿

P

(|

|)

X 1 + X 2 +...+X n −μ 0 ta có:

P (|f n ( A)− p|< ε) =1

Định lý trên được gọi là luật số lớn của Bernoulli. Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử độc lập và xác suất xuất hiện biến cố đó trong mỗi phép thử khi số phép thử tăng lên vô hạn. Nó chứng tỏ sự ổn định của tần suất xung quanh giá trị xác suất của biến cố đó. Lý giRi rõ hơn cho điều trên, vào thế kỉ 18, nhà toán học người Pháp Buffon đã tiến hành gieo đồng xu 4040 lần và ghi nhận được 2048 lần xuất hiện mặt ngửa, với tần suất 2

0,507. Một nhà thống kê người Anh cũng gieo đồng xu 12000 lần và thu được 6019 lần xuất hiện mặt ngửa, tần suất là 0,5016. Lần khác, ông lại gieo 24000 lần và ghi lại được 12012 lần mặt ngửa xuất hiện, tần suất tương ứng 0,5005. Như vậy, ta thấy rằng khi số phép thử tăng lên thS tần suất sẽ càng gần về 0,5. Định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết của định nghĩa thống kê về xác suất nên nó đóng vai trò quan trọng trong thực tế. Tuy nhiên, trong các định lý của quy luật số lớn, ta chỉ đề cập đến sự hội tụ theo xác suất chứ không phRi sự hội tụ theo nghĩa thông thường trong toán học. Như theo định lý Bernoulli, không thể kết luận

f ¿

= p), nghĩa là khi n

đủ lớn thS f chưa chắc sẽ luôn luôn sai lệch không đáng kể so với p. Sự hội tụ theo xác suất là khi n đủ lớn thS việc f và p sai lệch nhau không đáng kể sẽ có thể xem như có xác suất bằng 1. Như vậy thS với từng giá trị riêng biệt của n, f và p vẫn có thể sai lệch nhau đáng kể. VS vậy, định lý Bernoulli có thể viết ngắn gọn: khi

n→∞

thS f hội tụ theo xác

suất về p.

1.4 Định lý giới hạn trung tâm GiR sử các biến ngẫu nhiên X1 , X2,…, Xn,… độc lập cùng phân phối với kỳ vọng E(Xi) = µ, phương sai V(Xi) = σ2 (hữu hạn khác 0).

Đặt Tn =

X 1 + X 2+…+X n −μ n √n σ

Khi đó, với mọi x thuộc R ta có: x

1 P( T n < x )= ∫e 2 √ π −∞

−t 2

2

dt

Nói cách khác, khi n đủ lớn (n > 30), phân phối xác suất của Tn xấp xỉ phân phối chuẩn tắc. Định lý này giRi thích mối liên hệ giữa phân phối của tập tổng thể và phân phối của tập mẫu. Nó chỉ ra rằng nếu có một tập mẫu đủ lớn thS khi đó phân phối mẫu của giá trị 3

trung bSnh sẽ tiệm cận phân phối chuẩn. Sự quan trọng của định lý giới hạn trung tâm được khái quát lại bởi Richard.I.Levin như sau: Tầm quan trọng của định lý giới hạn trung tâm nằm ở thực tế là nó cho phép chúng ta sử dụng thông số của mẫu để suy luận về các tham số của tập tổng thể mà không cần biết gS về hSnh dạng của mật độ phân phối từ tập tổng thế đó ngoại trừ số mẫu mà ta có được. Nó là kết quR về sự hội tụ yếu của các biến ngẫu nhiên.Tuy nhiên, cũng tồn tại sự hội tụ trong trường hợp các biến ngẫu nhiên không cùng phân phối. Lúc này, phRi đRm bRo không có biến ngẫu nhiên nào có phân phối trội hơn hoặc Rnh hưởng đến phân phối của các biến ngẫu nhiên khác.

4

Chương 2. Biến ngẫu nhiên hai chiều

2.1 Kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên thành phần Cho X, Y là biến ngẫu nhiên rời rạc

2.1.1

Kỳ vọng

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là trung bSnh của biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng được tính bằng công thức: n

n

E ( X )=∑ xi p ( xi )=∑ i=1

m

∑ x i p( x i , y j )

i=1 j=1

m

m

n

E ( Y )=∑ y i p ( y i )=∑ ∑ y i p(x i , y j) j=1

j=1 i=1

Kỳ vọng còn có những tên gọi khác như : giá trị trung bSnh, giá trị trung bSnh có trọng lượng, giá mong đợi hay moment bậc một. Ứng dụng thực tế của kỳ vọng toán: -

Trong các trò chơi may rủi, kỳ vọng dùng để tính giá trị mà người chơi mong đợi sẽ nhận được.

- Trong kinh doanh và quRn lý, kỳ vọng toán được dùng như một tiêu chuẩn để ra quyết định trong tSnh huống cần lựa chọn giữa nhiều chiến lược khác nhau. Tiêu chuẩn này thường được biểu diễn dưới dạng lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng để làm căn cứ lựa chọn chiến lược kinh doanh.

2.1.2

Phương sai

Phương sai V(X), V(Y) là trung bSnh của bSnh phương khoRng cách của biến ngẫu nhiên X, Y đến giá trị trung bSnh: V ( X )=E [ ( X−E [ X ])

2

]

V (Y )= E [( Y −E [Y ]) ] 2

5

Ngoài ra, ta có các công thức tương đương sau: m

x i2 p ( x i , y j )− ¿ [E ( X )] ∑ j=1

2

n

2 V ( X )=E ( X ) −[ E ( X ) ] =∑ ¿ 2

i=1

n

∑ y j2 p ( xi , y j ) −¿ [ E ( Y )]

2

i =1

m

2 V (Y )=E ( Y )− [ E (Y )] =∑ ¿ 2

j=1

Phương sai luôn là một giá trị không âm. Ý nghĩa: Phương sai thể hiện mức độ phân tán dữ liệu. Phương sai càng lớn thS mức độ phân tán dữ liệu càng rộng hay nói cách khác mức độ ổn định càng nhỏ. Ứng dụng thực tế của phương sai: Phương sai được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, tiêu biểu như: - Trong quRn lý và kinh doanh, phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định. - Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của các chi tiết gia công hay sai số của thiết bị.

2.2 Hiệp phương sai và hệ số tương quan 2.2.1

Hiệp phương sai

Hiệp phương sai (hay còn là covariance) là đại lượng phRn ánh mức độ tương quan tuyến tính của hai biến số và được tính bằng công thức: Cov(X,Y) = E{[ X - E(X) ][ Y - E(Y) ]} Có thể phát biểu như sau: Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X,Y (Cov(X,Y)) 6

là kỳ vọng của tích các sai lệch của các biến ngẫu nhiên đó với kS vọng của chúng. Hiệp phương sai có thể âm hoặc dương, phRn ánh mối quan hệ thuận hay nghịch giữa hai biến số. Nếu 2 biến có xu hướng thay đổi cùng nhau (nghĩa là, khi một biến có giá trị cao hơn giá trị kỳ vọng thS biến kia có xu hướng cũng cao hơn giá trị kỳ vọng), thS hiệp phương sai giữa hai biến này có giá trị dương. Mặt khác, nếu một biến nằm trên giá trị kS vọng còn biến kia có xu hướng nằm dưới giá trị kS vọng, thS hiệp phương sai của hai biến này có giá trị âm. Tính chất: (i) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (ii) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (iii) Cov(X,X)=V(X) (iv) Nếu X,Y độc lập thS Cov(X,Y)=0. Điều ngược lại không đúng. (v) Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y) (vi) Cov(X+X’,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X’,Y) (vii) Cov(aX,Y)=acov(X,Y) (viii) V(aX+bY)=a2V(X)+b2V(Y)+2abCov(X,Y) Nếu X,Y rời rạc có bRng phân bố đồng thời như ở phần 2 thS : n

Cov(X,Y) =

m

∑ ∑ xi y j p ( x i , y j ) −E ( X ) E (Y ) i=1 j=1

Nếu X, Y liên tục thS: +∞ −∞

Cov(X,Y) =

2.2.2

∫ ∫ xyf ( x , y ) dxdy − E ( X )E (Y ) −∞ +∞

Hệ số tương quan

Hệ số tương quan là một chỉ số đo lường của một số loại tương quan, nghĩa là mối liên hệ thống kê giữa hai biến số. Các biến có thể là hai cột của một bộ dữ liệu quan sát 7

đã cho, thường được gọi là mẫu hoặc hai phần của một biến ngẫu nhiên đa biến số có phân phối đã biết trước. Về nguyên tắc, tương quan sẽ tSm ra một đường thẳng phù hợp nhất với mối quan hệ tuyến tính của 2 biến. Có một số loại hệ số tương quan, mỗi loại lại có định nghĩa riêng, phạm vi sử dụng và đặc tính riêng. Tất cR đều giR định các giá trị nằm trong phạm vi chạy từ −1 đến +1, trong đó ± 1 biểu thị hai biến số có mối tương quan tuyệt đối có thể và 0 chỉ hai biến số không có liên hệ gS với nhau. Là công cụ phân tích, các hệ số tương quan thể hiện một số vấn đề nhất định, bao gồm khuynh hướng của một số loại yếu tố nhiễu bởi ngoại lai và khR năng được sử dụng tương đối để suy ra mối quan hệ nhân quR giữa các biến số. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X,Y được kí hiệu và định nghĩa bởi công thức: ρ XY =

Cov (X , Y ) σ ( X) σ ( Y )

Trong đó: σ (X ) =√ V ( X ) ; σ (Y ) = √ V (Y ) Tính chất: (i)|ρ XY|≤ 1

với mọi X,Y.

(ii) Nếu X,Y độc lập thS ρ XY = 0. Điều ngược lại không đúng. (iii) Nếu Y=aX+b,a≠0 thì |ρ XY| = 1. Ý nghĩa: Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. Khi gần 1 thS mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa chúng càng chặt, khi mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa chúng càng yếu. 8

|ρ XY| càng

|ρ XY| càng gần 0 thS

Khi ρ XY =0 ta nói X, Y không tương quan. Ứng dụng trong tài chính: Sức mạnh của mối quan hệ dựa trên giá trị của hệ số tương quan. Ví dụ: Giá trị 0,2 cho thấy có mối tương quan đồng biến, nhưng nó yếu và không đáng kể. Các chuyên gia cho rằng tương quan có ý nghĩa khi ít nhất đạt giá trị 0,8. Tuy nhiên, hệ số tương quan với giá trị tuyệt đối là 0,9 hoặc lớn hơn sẽ thể hiện mối quan hệ rất mạnh mẽ.

2.3 Kỳ vọng toán có điều kiện và hàm hồi quy 2.3.1

Kỳ vọng toán có điều kiện

 X,Y rời rạc: Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X=xi được kí hiệu và tính theo công thức sau:

E (Y|X = x) =

y j∨x i y j p(¿) m

¿ ∑ j =1

Tương tự ta có kS vọng có điều kiện của X với điều kiện Y=yj : x i p ( x i| y j

E (X|Y = y i ¿ =

n

∑ ¿¿ i=1

 X,Y liên tục: Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X=x Trong đó f ( y | x) là hàm mật độ xác suất có điều kiện của Y với X=x

9

E (Y|X = x) =

f ( y|x ) dy y¿ −∞

∫¿ +∞

Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y=y:

E (X|Y = y) =

f ( x|y ) dx x¿ −∞

∫¿ +∞

2.3.2

Hàm hồi quy

Hàm hồi quy của Y đối với X là kS vọng có điều kiện của Y đối với X:

f(x) = E( Y|X = x ) Hàm hồi quy của X đối với Y là kS vọng có điều kiện của X đối với Y:

g(y) = E( X|Y = y ) Ví dụ: Hồi quy tiêu dùng Y theo mức thu nhập X.

10

H4nh 1

Trong đồ thị, ta thấy được mối quan hệ đồng biến giữa tiêu dùng và thu nhập, nói cách khác, trong trường hợp này thu nhập tăng thS tiêu dùng cũng sẽ tăng. Trong phân tích hồi quy chúng ta xem biến độc lập X có giá trị xác định trong khi biến phụ thuộc Y là biến ngẫu nhiên. Điều này ban đầu có vẻ như bất hợp lý nhưng khi chọn ngẫu nhiên người thứ i thS chúng ta thu được đồng thời hai giá trị: x là thu nhập và y là tiêu dùng của người đó. Vậy tại sao lại xem giá trị y là ngẫu nhiên? Xét một mức thu nhập x xác định, cách lấy mẫu của chúng ta là chọn ngẫu nhiên trong số những người có thu nhập là x. Thu nhập góp phần chính yếu quyết định tiêu dùng như thể hiện ở đồ thị, tuy nhiên còn nhiều yếu tố khác cũng tác động lên tiêu dùng. Ứng với một cách lấy mẫu thS với nhiều lần lấy mẫu với tiêu chí X = x ta nhận được các giá trị y khác nhau. Chính xác hơn, biến phụ thuộc Y là một biến ngẫu nhiên có điều kiện theo biến độc lập X. Ước lượng tốt nhất cho Y trong trường hợp này là giá trị kỳ vọng của Y ứng với điều kiện X nhận giá trị x xác định. 11

Phần 2

BÀI TẬP

Chương 1. Biến cố và xác suất của biến cố Bài 1: Một hộp có 10 quR bóng bàn. Ngày thứ nhất lấy 3 quR ra sử dụng rồi bỏ lại vào hộp. Ngày thứ 2 lấy từ trong hộp ra 3 quR để dùng. Tính xác suất để trong 3 quR lấy ra ngày thứ 2 có quR đã dùng ở ngày đầu tiên. GiR sử trong 3 quR sử dụng ngày thứ 2 đã có quR dùng trong ngày thứ nhất. Tính xác suất khi đó đã có 2 quR dùng ở ngày thứ nhất. Bài giải: Gọi A là biến cố lấy 3 quR bóng bàn cho ngày thứ 2 đã có quR dùng trong ngày thứ nhất

A´

là biến cố lấy 3 quR bóng bàn cho ngày thứ 2 không có quR dùng trong ngày

thứ nhất. 3

P( A´ ) =

C7

=

3 10

C

7 24

17 24

Ta có: P(A) = 1 – P( A´ ) =

Gọi X là biến cố có 2 quR đã được sử dụng ở ngày thứ nhất Ta có: P(X) =

C17 .C 23 C

3 10

=

7 40

P(A|X) = 1 (trong điều kiện X đã xRy ra thS biến cố A là hiển nhiên)

P(X|A) =

P ( X ). P( A∨X ) P( A )

=

21 35

Bài 2: Xác suất để một bSnh ắc quy đRm bRo cho một ô tô mới hoạt động trên 10000km là 0,8; trên 20000km là 0,4; trên 30000km là 0,1. Nếu 1 bSnh ắc quy đã đRm bRo cho ô tô hoạt động 10000km thS xác suất để nó đRm bRo cho ô tô hoạt động tất cR trên 12

20000km là bao nhiêu? Xác suất để nó đRm bRo cho ô tô hoạt động thêm trên 20000km là bao nhiêu? Bài giải: Gọi A₁ , A₂ , A₃ lần lượt là biến cố bSnh acquy đRm bRo cho ô tô hoạt động trên 10000km, 20000km, 30000km. Ta có: A ₁ ⸦ A ₂ nên A ₁.A ₂=A₂ Gọi B là biến cố acquy đRm bRo cho ô tô chạy được trên 20000km

P(B) = P(A₂|A₁) =

P( A ₂. A ₁) P( A ₁)

=

P( A ₂ ) P( A ₁)

0,4

= 0,8

= 0,5

Gọi C là biến cố acquy đRm bRo ô tô chạy được 30000km VS A ₁ ⸦ A ₃ Nên A ₁.A₃=A₃ P(C) = P(A₃|A₁) =

P( A ₃. A ₁) P( A ₁)

=

P( A ₃) P( A ₁)

13

=

0,1 0,8

= 0,125

Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Bài 1: Tiến hành khRo sát số khách trên một ô tô buýt tại một tuyến giao thông, người ta thu được bRng số liệu sau (số xe khRo sát là 500) Bmng 1 Số

khách

trên

25

30

35

40

45

0,15

0,2

0,3

0,25

0,1

một chuyến Tần suất

GiR sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 200 ngàn đồng không phụ thuộc vào số khách đi trên xe thS công ty phRi quy định giá vé (đơn vị: ngàn) là bao nhiêu để có thể thu được số tiền lời bSnh quân cho mỗi chuyến là 100 ngàn đồng? Bài giải: Gọi M là giá vé mà công ty quy định để đạt lợi nhuận cao nhất Số khách trung bSnh trên một chuyến là: E(x)=34,75 Ta có: Thu nhập - Chi phí = Lợi nhuận → 34,75.M - 200 = 100 → M = 8,633 (ngàn đồng) Bài 2: Một người có thể lựa chọn giữa hai vị trí làm việc. Vị trí thứ nhất là tại một văn phòng và nhận một mức lương tháng cố định là 6 triệu đồng. Vị trí thứ hai là tại một đơn vị kinh doanh và nhận lương tháng theo số hợp đồng ký được. Mỗi hợp đồng ký được sẽ được nhận 5 triệu đồng. Biết rằng, số hợp đồng ký được trong 1 tháng có thể là 0, 1, 2 hoặc 3 hợp đồng với khR năng tương ...