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Tema 1. - Ecuaciones de primer grado Pregunta 1.- Identificar el concepto y el proceso de resolución de las ecuaciones lineales: Enteras, Fraccionarias, Con signos de agrupación, Con literales. Una ecuación de primer grado es aquella en la que solo hay una o más incógnitas y estas están elevadas a la potencia 1 (sin embargo, no se escribe el numero 1). ENTERAS: son aquellas que en los términos no hay un denominador que divida a los términos de la ecuación ej. 5x+33=8 Primero pasamos los términos sin literal a la parte del segundo miembro de la ecuación con la operación contraria 5x=8-33 5x=-25 Despejamos la literal pasando el 5 con la operación contraria (multiplicación a división) x= -25/5 x= -5 FRACCIONARIAS: son aquellas en las que al menos uno de los términos tiene un denominador ej. x-1/x=1/2 *Multiplicamos cruzado entre las dos fracciones 2(x-1) = x *Multiplicamos el 2 por todo lo que esta adentro del paréntesis 2x-2= x

*Agrupamos las X en el primer miembro y todo lo demás en el segundo miembro con operación contraria 2x-x= 2 *A 2x le restamos “x” y tenemos como resultado “x” el resultado es: x = 2

SIGNOS DE AGRUPACIÓN: Es cuando se encuentran paréntesis o corchetes que alteran la forma en la que se realizan las operaciones, estos corchetes son la punta en la jerarquía de las operaciones por lo que es lo primero a lo que tenemos que mostrar atención y eliminarlos primero para poder seguir resolviendo la ecuación.

LINEALES: Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras. Por lo general, dichas cantidades conocidas se representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c... y las incógnitas con las letras finales x, y, z .

Pr egunt a2. -Expl i carelpr ocesodepl ant eami ent oyval i daci ónde ecuaci onesl i neal es. La mayoría de los investigadores coinciden en plantear la resolución de problemas como una secuencia de pasos o etapas donde la primera constituye la base fundamental ya que de allí dependerá la consecución o no del cometido planteado. Es a partir de la publicación de George Polya en 1945 de su obra "How to solve it" que se ilustra por primera vez un camino didáctico hacia la enseñanza de la resolución de problemas. Redescubre y desarrolla la heurística, y precisa una serie de estrategias que deben constituir una herramienta fundamental en la enseñanza de la resolución de problemas. Con su propuesta de las cuatro etapas abrió el camino de una didáctica de la resolución de problemas: I. Comprensión del problema. II. Concebir el plan de solución. III. Ejecutar el plan de solución. IV. Evaluar la solución. A partir de estos trabajos otros matemáticos han propuesto etapas, pasos, estrategias para facilitar la resolución de los mismos, pero en su mayoría están destinado a los problemas matemáticos y no a los problemas escolares los cuales Campistrous-Rizo, en su libro l "Aprende a resolver problemas aritméticos" expresan que los problemas escolares tienen características específicas en cuanto a que por lo general son situaciones didácticas que asumen, en mayor o menor grado, una forma problémica cuyo objetivo principal es la fijación o aplicación de los contenidos y que aparecen regularmente en el contexto de los programas que se quieren trabajar. Una vez que tengamos resuelto nuestra operación, podemos validarla de una manera muy fácil, en la ecuación inicial sustituimos la literal por el resultado que hayamos obtenido, después de hacer esto realizamos las operaciones ya con el valor sustituido y si los resultados son iguales en los dos miembros significa que nuestro resultado es correcto.

TEMA 2.- Desigualdades lineales. Pregunta 1.- Identificar el concepto de desigualdad lineal e intervalo DESIGUALDAD LINEAL: Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. La desigualdad puede ser de diferentes tipos. La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales. Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; -2(x + 3) < -9. Se denomina inecuación a una desigualdad algebraica en la cual sus miembros se encuentran vinculados por los signos < (menor que), ≤ (menor o igual que), > (mayor que) o ≥ (mayor o igual que). INTERVALO: Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real. Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos. Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos. Sean a y b dos números reales tales que a < b.

Pregunta 2.- Describir las propiedades de las desigualdades lineales TRANSITIVIDAD: Para números reales arbitrarios a, b y c, lo que hacemos es usar nuestro pensamiento lógico para entender cuál de los términos es el mayor y a partir de ahí, el valor mas alto lo podemos hacer transitar hasta el otro valor con el que queremos hacer la comparación como se muestra en los siguientes ejemplos:

Si a > b y b > c entonces a > c. Si a < b y b < c entonces a < c. Si a > b y b = c entonces a > c. Si a < b y b = c entonces a < c.

Ejemplo: Si 3x+2>5 y 5>x+2 entonces 3x+2>x+2 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número para eliminar algún número o quizás hacer más fácil la ecuación, la inecuación resultante es equivalente. Ejemplos: 3x + 4 < 5 3x + 4 - 4 < 5 - 4 3x < 1

3x-8>2x-3 3x-8-2x>2x-3-2x x-8>-3 x-8+8>-3+8 x>5

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Existen 2 casos distintos para cuando multiplicamos o dividimos estos son: 1.- Por un número positivo Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. Ejemplos: 2x < 6 2x / 2 < 6 / 2 x3 2(8x+0.5)>2(3) 16x+1>6

2.- Por un número negativo Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. Ejemplo

-x 5 · (−1) x > −5

Pregunta 3.- Identificar la representación del conjunto solución de una desigualdad lineal por: Intervalo, Gráfico. POR INTERVALOS:

Por medio gráfico:

TEMA 3.- Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Pregunta 1.- Identificar el concepto de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas. Al ser ecuaciones lineales de segundo grado estas cuentan con dos incógnitas además en la ecuación se cuenta con un signo igual con el que sabemos que esto será una igualdad, en algunos casos podemos obtener 2 resultados de la misma ecuación como cuando lo resolvemos por la formula general.

Pregunta 2.- Describir gráficamente los tipos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Solución única, Infinita de soluciones, Sin solución.

Sistema compatible indeterminado El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Sistema incompatible: El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución en común.

Pregunta 3.- Explicar los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: Eliminación, Sustitución, Igualación. Método de Sustitución Sea el sistema 3x + y = 11 5x – y = 13 Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Hallemos la y en la primera ecuación supuesto conocido el valor de x. y=11-3x Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado. 5x-(11-3x)=13 Ahora tenemos una ecuación con una sóla incógnita; la resolvemos. 5x-11+3x=13. 5x+3x=13+11. 8x=24. x=3 Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema y=11-3x. y=11-9. y=2 Así la solución al Sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

Método de igualación. Sea el sistema 3X + Y = 11. 5X - Y = 13

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita. y= 11 - 3x. y= -13 + 5x. Igualamos ambas ecuaciones. 11-3x=-13+5x. 8x=24. x=3. Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y. y=11-9. y=2.

Método de reducción o eliminación Sea el sistema. 3X + Y = 11. 5X - Y = 13. Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema. 3x + y = 11. 5x - y = 13. 8x + 0 = 24. 8x=24 x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos. y=2

Cuando dicha suma no logra eliminar alguna literal lo que se hace es multiplicar alguna de las dos ecuaciones por algún numero que al hacerlo nos de como resultado la posibilidad de eliminar alguna literal para poder seguir con el procedimiento. 3x - y = 7. 2x + 3y = 12.

Multiplicamos por 3 la primera ecuación para igualar las Y (3x – y = 7) 3. Obtenemos 9x - 3y = 21. Hacemos la misma operación de sumar como en el primer ejemplo 9x -3y = 21. 2 x +3y = 12. 11x + 0 = 33. 11x = 33. x=3 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos. y=2

Pregunta 4.- Explicar el proceso de planteamiento y validación de sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones (en nuestro caso serán dos ecuaciones) y varias incógnitas (en nuestro caso dos) que aparecen en una o varias de las ecuaciones. Una ecuación que tiene más de una incógnita nos informa de la relación que existe entre éstas. Por ejemplo, la ecuación x - y = 0 nos dice que x e y son el mismo número. No podemos resolver una ecuación con dos incógnitas ya que una de ellas queda en función de la otra. Por ejemplo, si tenemos la ecuación x - 2y = 0 y aislamos x obtenemos que x = 2y. Es decir, que el valor de x es el doble que el de y. Pero continuamos sin saber los valores de x e y. Para poder resolver un sistema de N incógnitas necesitamos tener N ecuaciones. En realidad, también necesitamos que las ecuaciones sean linealmente independientes, pero no tendremos en cuenta esta necesidad en este nivel.

TEMA 4.- Ecuaciones de Segundo Grado. Pregunta 1.- Identificar el concepto y tipo de ecuaciones cuadráticas: Completas, Mixta, Pura. Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, ax 2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0. Ecuación completa: Son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 que tienen un término x2, un término x y un término independiente de x. Así, 2x 2 + 5x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática completa. Ecuación mixta: Las ecuaciones cuadráticas mixtas son aquellas que poseen solamente el término cuadrático y el término lineal. También se les llama ecuaciones incompletas. Ecuación pura: Las ecuaciones cuadráticas puras son aquellas que poseen

los términos cuadrático e independiente, y el resultado de estas solo es real si el signo de a no es igual al del signo c.

Pregunta 2.- Describir gráficamente los tipos de solución de una ecuación cuadrática

Pregunta 3.- Explicar los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas FACTORIZACIÓN:

a=16, b=-128 y aprovechando que c=0, factorizamos mediante factor común: 16x² – 128x = 0

Ecuación dada

16x ( x – 8) = 0

Factor común es 16x (Propiedad distributiva)

16x = 0 y ( x – 8) = 0

Aplicación del Teorema del factor cero

x=0 y x=8

Solución

Aplicando el tanteo para encontrar los dos factores tenemos x² – 16x + 63 = 0

Ecuación dada

(x – 9)(x -7) = 0 63

Tanteo: dos números cuya suma sea -16 y producto

x=9 y x=7 para x

Aplicando el Teorema del factor cero y despejando

FORMULA GENERAL:

Sea la ecuación 4x² -5x -11 = 0 Tenemos que a=4, b=-5 y c=-11

Al sustituir en la fórmula y simplificando obtenemos

Es importante recordar que 

Si el valor que está adentro de la raíz cuadrada (discriminante) nos resulta negativo, no hay solución real



Si el discriminante es cero, habrá una solución



Si es positivo, habrá dos soluciones, como en este caso.

Cabe mencionar que toda ecuación cuadrática es posible solucionarla mediante la fórmula general, sin embargo, si se logra comprender los dos primeros métodos, nos ahorramos considerablemente parte del procedimiento.

DESPEJE DIRECTO:

Despejar para la variable x (o la variable involucrada) como se muestra en nuestro ejemplo: 25x² – 121=0

Ecuación dada

25x² = 121

Transponiendo -121

x² = 121/25

Transponiendo 25

x = ±√121/25

Aplicando raíz cuadrada en ambos lados

Es importante comprender el porqué de los símbolos ±, pues recordemos que todo número real positivo tiene dos raíces reales, una positiva y otra negativa. Ejemplo: √4 = ± 2 ya que (-2)(-2) = 4 y también (2)(2) = 4

Pregunta 4.- Explicar el proceso de planteamiento y validación de ecuaciones cuadráticas Para resolver los problemas de ecuaciones de segundo grado debemos: 

En primer lugar, realizar una lectura detenida del mismo. Antes de empezar debemos familiarizarnos con los problemas de ecuaciones de segundo grado.



Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea. Debemos realizar el planteamiento del mismo.



Si es necesario, realizaremos un representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.



Para plantear la ecuación volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica.



El siguiente paso es resolver la ecuación.



Por último y muy importante, es interpretar la solución. En este tipo de problemas tenemos que buscar la solución acorde a lo que nos pide el enunciado. Nos pueden dar dos soluciones y no siempre las dos son la correcta.



Para la validación de nuestro problema solo tenemos que sustituir las literales por el resultado o los resultados que hayamos obtenido, sí al hacer las operaciones ya con la sustitución nos da números iguales en ambos miembros de la ecuación significa que el resultado es correcto.

dibujo,

una

tabla,

o

una

LINKOGRAFIA Y DERECHOS DE AUTOR Ecuaciones cuadráticas: https://yosoytuprofe.20minutos.es/2017/12/03/20problemas-de-ecuaciones-de-segundo-grado-resueltos/ Métodos y validación:https://pensamientomath.wordpress.com/2018/05/19/4metodos-para-resolver-una-ecuacion-cuadratica-cual-es-el-mejor/ Grafica de ecuaciones cuadráticas: https://www.google.com/search? q=tipos+de+solucion+grafica+de+ecuasiones+cuadraticas&tbm=isch&ved=2 ahUKEwiKzrLpycbsAhUVY60KHZLeC7sQ2cCegQIABAA&oq=tipos+de+solucion+grafica+de+ecuasiones+cuadraticas& gs_lcp=CgNpbWcQAzoECAAQQzoFCAAQsQM6AggAOgYIABAKEBg6BAgAE BhQkaMRWLKkE2DnpRNoCnAAeACAAbkBiAGzUpIBBTIwLjc3mAEAoAEBq gELZ3dzLXdpei1pbWewAQDAAQE&sclient=img&ei=CKGQX4qqIZXGtQWSva _YCw&bih=657&biw=1366&rlz=1C1CHZL_esMX761MX762&hl=es#imgrc=yhK DcfFw1wZuFM Tipos de ecuaciones cuadráticas: https://sites.google.com/site/matematicasptm/algebra/ecuacionescuadraticas#:~:text=Las%20ecuaciones%20cuadr%C3%A1ticas%20son %20de,dos%20formas%2C%20completas%20e%20incompletas.&text=La %20ecuaci%C3%B3n%20es%20incompleta%20cuando,ax2%20%2B%20bx %20%3D%200. Que es una ecuación cuadrática: https://miprofe.com/ecuacioncuadratica/#:~:text=Una%20ecuaci%C3%B3n%20cuadr%C3%A1tica%20o %20de,de%20la%20inc%C3%B3gnita%20es%202.&text=En%20esta %20ecuaci%C3%B3n%20La%20%E2%80%9Cx,%2C%20excepto%20que%20a %20%3D%200. Planteamiento de ecuaciones con dos incógnitas: https://blog.unitips.mx/solucion-de-ecuaciones-con-dos-incognitas Graficas de ecuaciones con dos incógnitas: https://es.wikiversity.org/wiki/Sistema_lineal_de_dos_ecuaciones_con_dos_i nc%C3%B3gnitas Graficando desigualdades: https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP -9-14_RESOURCE/U13_L2_T4_text_final_es.html Desigualdad lineal...